高考数学 8.7 抛物线课后限时作业 理(通用版)

高考数学 8.7 抛物线课后限时作业 理（通用版）
一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1. 抛物线y ＝x 2
的准线方程是 ( ) A ．2x ＋1＝0 B ．2y ＋1＝0 C ．4x ＋1＝0 D ．4y ＋1＝0
解析：2p ＝1，所以y ＝－p 2＝－1
4
，
所以准线方程为4y ＋1＝0，选D. 答案：D
2. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2
＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 ( ) A ．2 3 B. 3
C.32
D.34 解析：4x 2
＋y 2
＝1化为标准方程为x 2
14
＋y 2
＝1，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32，所以焦点到准线的距离
为3，所以选B. 答案：B
3.直线l 过抛物线C:y 2
=2px(p>0)的焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A 1,B 1，则∠A 1FB 1是 ( ) A.锐角 B.直角
C.钝角
D.直角或钝角 解析：由|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|易得. 答案：B
4.（2011届·沈阳质检）抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π3
的直线与抛物线在
x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
解析：方法一：(数形结合法)过点A 作抛物线的准线x ＝－1的垂线，垂足为B ，由抛物线定
义，有|AB |＝|AF |，易知AB 平行于x 轴，∠AFx ＝π3，∠BAF ＝π
3
，△ABF 是等边三角形，过
F 作FC 垂直于AB 于点C ，则|CA |＝|BC |＝p ＝2，故|AF |＝|AB |＝4.
方法二：(代数法)焦点F (1,0)，AF 的直线方程为y －0＝tan π
3
·(x －1)，即y ＝3(x －1)，
代入抛物线方程y 2＝4x ，得[3(x －1)]2＝4x ，即3x 2
－10x ＋3＝0，解得x ＝3或13(舍去)，故
点A 的坐标为(3,23)，|AF |＝3－12
＋23－02
＝4. 答案：B
5.已知点P （x,y ）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q （x+y,xy ）的轨迹是 ( ) A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线
解析：点P 的轨迹方程是x 2+y 2=1,令a=x+y ①，b=xy ②,将①式两边平方得a 2=x 2+y 2
+2xy,将x 2+y 2=1及②式代入得a 2
=1+2b ，所以点Q 的轨迹是抛物线. 答案：B
6.（2011届·合肥质检）已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，
P 3(x 3，y 3)在抛物线上，并且2x 2＝x 1＋x 3，则有 ( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|
B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2
C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|
D ．|FP 2|2
＝|FP 1|·|FP 3|
解析：抛物线的准线方程为x ＝－p
2
，根据抛物线的定义，
得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p
2
.
因为2x 2＝x 1＋x 3，所以2⎝
⎛
⎭⎪⎫x 2＋p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 3＋p 2，
即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 答案：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
7.线段AB 是抛物线y 2
=x 的一条焦点弦，且|AB|=4，则线段AB 的中点C 到直线x+1
2
=0的距离是 .
解析：线段AB 的中点C 到准线x=-14的距离为|AB|长的一半，则点C 到直线x+1
2
=0的距离为
9
4
. 答案：
94
8. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是 米．
解析：如图，设抛物线方程为y ＝ax 2
.将(－4，－2)代入方程得a ＝－18
.
则抛物线方程为y ＝－18x 2
.
令y ＝－1，则x ＝±2 2.则水面宽度为4 2. 答案：4 2
9.已知Q(4,0),P 为y 2
=x+1上任一点，则｜PQ ｜的最小值为 .
答案：
192
10.已知抛物线y 2
=4x ，过点P （4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，则y 2
1+y 2
2的最小值是 . 解析：设直线方程x=my+4,
代入y 2
=4x 消去x 得关于y 的一元二次方程， y 2-4my-16=0,Δ=16m 2
+64>0. y 1+y 2=4m,y 1·y 2=-16, y 21+y 22=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=16m 2
+32≥32,
当m=0时，y 21+y 2
2取得最小值32. 答案：32
三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
11.抛物线y 2
=2px(p>0)上有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y=2x,斜边长是53，求此抛物线方程.
解：设△AOB 的抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O ， AO 边的方程是y=2x,则OB 边的方程为y=-12
x. 由y=2x, y 2
=2px 得点A 坐标为（2
p
,p ）. 由y=-12
x, y 2
=2px 得点B 坐标为（8p,-4p ）. 因为|AB|=53,
12. 已知动圆过定点A (1,0)，且与直线x ＝－1相切． (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；
(2)是否存在直线l ，使l 过点B (0,1)，并与轨迹C 交于P 、Q 两点，且满足OP →·OQ →
＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)设M 为动圆圆心，由题意知：|MA |等于M 到定直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中A (1,0)为焦点，x ＝－1为准线．
所以动圆的圆心M 的轨迹C 的方程为：y 2
＝4x .
(2)由题意可设直线l 的方程为x ＝k (y －1)(k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝k y －1，y 2＝4x
得y 2－4ky ＋4k ＝0. 所以Δ＝16k 2
－16k >0⇒k >1或k <0. 又y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4k . 由OP →·OQ →
＝0⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0
⇒k 2
(y 1－1)(y 2－1)＋y 1y 2＝0
⇒(k 2＋1)y 1y 2－k 2(y 1＋y 2)＋k 2
＝0
⇒4k (k 2＋1)－k 2·4k ＋k 2
＝0⇒k ＝－4或k ＝0(舍去)． 又k ＝－4<0，所以直线l 存在，其方程为：x ＋4y －4＝0.
B 组
一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
1.已知抛物线C:y=
14
x 2
的准线为l ,过l 与y 轴的交点M 作抛物线C 的两条切线1l 、2l ，切点分别为A 、B ，则MA 与MB 的夹角为 ( ) A.60° B.75° C.90° D.120°
解析：由题意知M （0,-1），则设过M 点的切线为y=kx-1.由y=kx-1，x 2=4y ⇒x 2
-4kx+4=0.令Δ=16k 2
-16=0⇒k 2
-1=0.所以k=±1，则MA 与MB 的夹角为90°.
答案：C
2.（2011届·日照调研）已知抛物线y 2
＝4x 的准线与双曲线x 2a
2－y 2
＝1(a >0)交于A 、B 两点，
点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( )
A. 3
B. 6 C ．2 D ．3
解析：由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的
交点坐标为⎝
⎛
⎭
⎪⎫－1，±1－a 2
a
，若△FAB 为直角三角形，则只能∠AFB 为直角，△FAB 为等腰直
角三角形，所以
1－a
2
a
＝2⇒a ＝
55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝c
a
＝6， 选B.
答案：B
二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
3. 若点(3,1)是抛物线y 2
＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝__ __.
解析：直线的方程为y ＝2(x －3)＋1＝2x －5，
将⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －5，y 2
＝2px 联立得4x 2
－(20＋2p )x ＋25＝0.
则x 1＋x 2＝20＋2p 4
＝6，解得p ＝2.
答案：2
4.已知抛物线y=2p x 2
(p>0)的焦点为F ，点P(1,
1
4
)在抛物线上，过P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为Q.若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为 .
解析：由P(1,
14)在抛物线上，得p=18
，故抛物线的标准方程为x 2
=4y,点F(0,1)，准线为y=-1,所以|FM|=2，|PQ|=1+14=54，|MQ|=1，则直角梯形PQMF 的面积为12×(54+2)×1=13
8
.
答案：138
三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）
5.（2011届·江苏无锡模拟）已知点P （1，3），圆C ：（x-m ）2+y 2
=9
2
过点A(1，-322)，F 点为抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点，直线PF 与圆相切. (1)求m 的值与抛物线的方程；
（2）设点B （2,5），点Q 为抛物线上的一个动点，求BP ·BQ 的取值范围. 解：（1）点A 代入圆C 的方程
, 得(1-m)2
+(-322)2=9
2
. 所以m=1，圆C ：（x-1）2
+y 2
=
9
2
. 当直线PF 的斜率不存在时不合题意. 当直线PF 的斜率存在时，设为k ， 则PF:y=k(x-1)+3, 即kx-y-k+3=0.
因为直线PF 与圆C 相切， 所以
203
32
2
1
k k k --+=
+,解得k=1或k=-1. 当k=1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为-2，不合题意，舍去. 当k=-1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为4，符合题意. 所以p2=4,所以抛物线方程为y2=16x.
(2) BP =(-1,-2),设Q （x,y ）, BQ =(x-2,y-5),
BP ·BQ =-（x-2)+(-2)(y-5)=-x-2y+12 =-216y -2y+12=-116
(y+16)2+28≤28.
所以BP ·BQ 的取值范围为（-∞,28］.
6. 设抛物线的方程为y 2
＝4x ，过点P(2,0)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，点Q 满足OQ →＝OA
→＋λOB →
(λ∈R )．
(1)当λ＝1时，求点Q 的轨迹方程；
(2)若点Q 在x 轴上，且1<λ<3，求直线l 的斜率k 的取值范围．
解：方法一：设直线l 的方程为my ＝x －2，代入y 2＝4x 得：y 2
－4my －8＝0. 设A 、B 点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8.
(1)设Q (x ，y )，因为OQ →＝OA →＋OB →
， 所以y ＝y 1＋y 2＝4m .
所以x ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝4m 2
＋4.
消去m 得：x ＝y 2
4
＋4，
即点Q 的轨迹方程为：y 2
＝4(x －4)．
(2)因为OQ →＝OA →＋λOB →
＝(x 1＋λx 2，y 1＋λy 2)且点Q 在x 轴上， 所以y 1＋λy 2＝0，即y 1＝－λy 2. ⎩
⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝1－λy 2＝4m ，y 1y 2＝－λy 22＝－8. 消去y 2得：－λ⎝ ⎛⎭⎪
⎫4m 1－λ2＝－8.
2m 2
＝1－λ2
λ＝λ＋1λ
－2.
设f (λ)＝λ＋1λ－2，当1<λ<3时，f ′(λ)＝1－1
λ
2>0恒成立．
所以0<λ＋1λ－2<43，即0<m 2<23，又k ＝1m ，所以k 2>3
2.
所以k <－
62或k >6
2
即为直线l 的斜率k 的取值范围． 方法二：(1)因为OQ →＝OA →＋OB →
，当直线l 的斜率不存在时， 由抛物线的对称性得Q 点坐标为(4,0)．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，
代入y 2＝4x 得k 2x 2－(4k 2＋4)x ＋4k 2
＝0，所以k ≠0.
设A 、B 、Q 点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x ，y )．
因为OQ →＝OA →＋OB →， 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 1＋x 2＝4k 2
＋4k 2，y ＝y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－4k ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋4k 2
，y ＝4
k .
消去k 得：x ＝y 2
4
＋4.又点(4,0)的坐标也满足方程，
所以点Q 的轨迹方程为：y 2
＝4(x －4)．
(2)因为OQ →＝OA →＋λOB →
＝(x 1＋λx 2，y 1＋λy 2)且点Q 在x 轴上， 所以y 1＋λy 2＝0，即k (x 1－2)＋λk (x 2－2)＝0.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
－2＋λx 2
－2＝0，x 1
＋x 2
－4＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫4＋4k 2
－4，
x 1x 2
＝x 1
－2x 2
－2＋2
x 1＋x 2－4＝－4，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1－2＝－λx 2－2，x 1－2＋x 2－2＝4
k 2，
x 1－2
x 2－2＝－2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
4＋4k 2，
整理得：2
k 2＝
1－λ
2
λ＝λ＋1
λ
－2.
设f (λ)＝λ＋1λ
－2，当1<λ<3时，f ′(λ)＝1－1
λ
2>0恒成立．
所以0<λ＋1λ－2<43，0<1k 2<23，所以k 2>3
2
.
所以k <－
62或k >6
2
，即为直线l 的斜率k 的取值范围． 方法三：(1)设A 、B 点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，y 21＝4x 1，y 2
2＝4x 2， 两式相减得：(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．
设Q (x ，y )，因为OQ →＝OA →＋OB →
， 所以y ＝y 1＋y 2且x ＝x 1＋x 2.
所以y ×y 1－y 2
x 1－x 2＝y ×12y 1
2
x －2＝4.
即点Q 的轨迹方程为：y 2
＝4(x －4)． (2)略．。