函数图像中点的存在性问题

专题：函数图像中点的存在性问题
一、因动点产生的等腰三角形
例1、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
练习已知抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，
y）向直线
5
4
y=作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点
3
(1,)
4
F，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并
证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
二、因动点产生的相似三角形问题
例2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P 在x 轴正半轴上，且P A =PC ，求OP 的长；
（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ．
①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标；
②若⊙M 的半径为，求点M 的坐标．
练习如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；
⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；
⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）
三、因动点产生的直角三角形
例3、如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．
练习如图，二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴交于1(,0)2
A -,(2,0)
B 两点，且与y 轴
交于点C.
（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC
的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A C D B
、、、四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A C B P
、、、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.
四、因动点产生平行四边形
例4、如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．
(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明
理由．并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．
图①
B
C
D
P
Q
图②
B
C
D
P
Q
练习、如图1，抛物线b ax ax y +-=221经过点A （－1，0），C （0，2
3）两点，且与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求抛物线解析式；
（2）若抛物线的顶点为点M ，点P 为线段AB 上一动点（不与B 重合），Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x ，MQ=22
2y ，求2y 于x 的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；
（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于E 、G 两点，与（2）中的函数图像交于F 、H 两点，问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求出m 、n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．
图 1
图 2。