井陉矿区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

井陉矿区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数()cos()3
f x x π
=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =
的图象（ ）
A ．向右平移2π个单位
B ．向左平移2π
个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23
π
个单位
2． 若双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
3． 不等式x （x ﹣1）＜2的解集是（ ）
A ．{x|﹣2＜x ＜1}
B ．{x|﹣1＜x ＜2}
C ．{x|x ＞1或x ＜﹣2}
D ．{x|x ＞2或x ＜﹣1} 4． i 是虚数单位，计算i+i 2+i 3=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣i
D ．i
5． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A ．（∁U
B ）∩A B ．（∁U A ）∩B
C ．∁U （A ∩B ）
D ．∁U （A ∪B ） 6． 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A ．y=x+1
B ．y=﹣x 2
C ．
D ．y=﹣x|x|
7． 已知平面向量(12)=，
a ，(32)=-，
b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．1
5
- B ．119 C ．11 D ．19
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．
8． 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n +，则S 2015的值是（ ）
A ．
B ．
C ．2015
D ．
9． 如图，在△ABC 中，AB=6，
AC=4，A=45°，O 为△ABC 的外心，
则
•等于（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
10．若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
0330
33y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）
A ．1-
B ．
C ．3-
D ．3
11．在二项式（x 3
﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ） A ．12 B ．8
C ．6
D ．4
12．若复数满足
7
1i i z
+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -
二、填空题
13．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111]
14．已知x ，y 为实数，代数式222
2)3(9)2(1y x x y ++
-++-+的最小值是 .
【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 15．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：
113=；5323+=；119733++=；1917151343+++=；…
若)(3
+∈N m m 的分解中最小的数为91，则m 的值为 .
【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.
16．给出下列命题：
（1）命题p ：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q ：菱形的对角线相等；则p ∨q 是假命题
（2）命题“若x 2
﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题 （3）“1＜x ＜3”是“x 2
﹣4x+3＜0”的必要不充分条件 （4）若命题p ：∀x ∈R ，x 2
+4x+5≠0，则¬p
：
．
其中叙述正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）
17．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，
则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．
18．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值
是 ．
三、解答题
19．（本小题满分14分）
设函数2()1cos f x ax bx x =++-，0,2
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（其中a ，b R ∈）.
（1）若0a =，1
2
b =-
，求()f x 的单调区间； （2）若0b =，讨论函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上零点的个数.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.
20．（本小题满分12分）
设0
3πα⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，αα=
（1）求cos 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的值；
（2）求cos 212πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD 的中点，求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
22．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求f（x）；
（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；
（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．
23．已知α、β、是三个平面，且c αβ= ，a βγ= ，b αγ= ，且a b O = ．求证：、 、三线共点．
24．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，，E ，F 分别是A 1C 1，
AB 的中点．
（I ）求证：平面BCE ⊥平面A 1ABB 1； （II ）求证：EF ∥平面B 1BCC 1； （III ）求四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积．
井陉矿区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】
试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛
⎫
=+
∴ ⎪⎝
⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以函数 ()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到
5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故选B.
考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换.
2． 【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x ﹣2）2
+y 2
=2的圆心（2，0），半径为
，
双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，
可得：
， 可得a 2
=b 2
，c=
a ，
e==．
故选：B ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
3． 【答案】B
【解析】解：∵x （x ﹣1）＜2， ∴x 2
﹣x ﹣2＜0，
即（x ﹣2）（x+1）＜0， ∴﹣1＜x ＜2，
即不等式的解集为{x|﹣1＜x ＜2}． 故选：B
4． 【答案】A
【解析】解：由复数性质知：i2=﹣1
故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1
故选A
【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．
5．【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，∴对应的集合表示为A∩∁U B．
故选：A．
6．【答案】D
【解析】解：y=x+1不是奇函数；
y=﹣x2不是奇函数；
是奇函数，但不是减函数；
y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．7．【答案】A
8．【答案】D
【解析】解：∵2S n=a n+，∴，解得a1=1．
当n=2时，2（1+a2）=，化为=0，又a2＞0，解得，
同理可得．
猜想．
验证：2S
=…+=，
n
==，
因此满足2S n=a n+，
∴．
∴S n=．
∴S2015=．
故选：D．
【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
9．【答案】A
【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，
可得，，则•==16﹣18=
﹣2；
故选A．
【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题
10．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
11．【答案】B
【解析】解：展开式通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x3n﹣4r，
则∵二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，
∴，
∴n=8，r=6． 故选：B ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
12．【答案】A 【解析】
试题分析：4
2
7
3
1,1i i i i i ==-∴==- ,因为复数满足7
1i i z +=,所以()1,1i i i i z i z
+=-∴=- ，所以复数的虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算.
二、填空题
13．【答案】[]1,1- 【解析】
考
点：函数的定义域.
14． 【
解
析
】
15．【答案】10
【解析】3m 的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，32为连续两项和，3
3为接下来三项和，故3
m 的首个数为12
+-m m .
∵)(3+∈N m m 的分解中最小的数为91，∴9112
=+-m m ，解得10=m .
16．【答案】 （4）
【解析】解：（1）命题p ：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q ：菱形的对角线相等为假命题；则p ∨q 是真命题，故（1）错误，
（2）命题“若x 2
﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，
（3）由x 2﹣4x+3＜0得1＜x ＜3，则“1＜x ＜3”是“x 2
﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误，
（4）若命题p ：∀x ∈R ，x 2
+4x+5≠0，则￢p ：
．正确，
故答案为：（4）
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题．
17．【答案】0 【解析】
【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值．
【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，
∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），
=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），
=﹣1+0+1=0，
∴A1E⊥GF，
∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．
故答案为：0．
18．【答案】4．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A（3，4），
显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，
此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，
当且仅当3a=4b 时“=”成立， 故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）∵0a =，12
b =-， ∴1()1cos 2f x x x =-
+-，1()sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （2分） 令()0f x '=，得6
x π
=.
当06x π<<时，()0f x '<，当62
x ππ
<<时，()0f x '>，
所以()f x 的单调增区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间是0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （5分）
若
112a -
<<-π，则()102f a π'=π+<，又()(0)0f f θ''>=，由零点存在定理，00,2θπ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使0()0f θ'=，所以()f x 在0(0,)θ上单调增，在0,2θπ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调减.
又(0)0f =，2
()124
f a ππ=
+. 故当2142a -<≤-π时，2()1024f a ππ=
+≤，此时()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有两个零点； 当241a -<<-ππ时，2()1024f a ππ=
+>，此时()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上只有一个零点.
20．【答案】（1；（2．
【解析】
试题分析：（1αα=⇒
sin 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，⇒662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
⇒cos 6πα⎛⎫+=
⎪⎝
⎭；（2）由（1）可得21cos 22cos 1364ππαα⎛
⎫
⎛
⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⇒sin 23πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
⇒cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
试题解析：（1αα∴
sin 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭………………………………3分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………6分
（2）由（1）可得2
21
cos 22cos 121364ππαα⎛⎫⎛
⎫
+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭．………………………………8分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴233ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
，∴sin 23πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．……………………………………10分 ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
………………………………………………………………………………12分 考点：三角恒等变换． 21．【答案】
【解析】证明：（1）在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ．
又因为EF 不在平面PCD 中，PD ⊂平面PCD 所以直线EF ∥平面PCD ．
（2）连接BD ．因为AB=AD ，∠BAD=60°．
所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．
又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．
22．【答案】
【解析】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）=0，即=0，解得b=1；
从而有；…
经检验，符合题意；…
（2）由（1）知，f（x）==﹣+；
由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为减函数；…
（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式
f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x），
即f（1+|x|）＜f（﹣x）；…
又因f（x）是R上的减函数，
由上式推得1+|x|＞﹣x，…
解得x∈R．…
23．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：平面的基本性质与推论．
24．【答案】
【解析】（I）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
所以，BB1⊥BC．
又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B，
所以，BC⊥平面A1ABB1．
因为BC⊂平面BCE，
所以，平面BCE⊥平面A1ABB1．
（II）证明：取BC的中点D，连接C1D，FD．
因为E，F分别是A1C1，AB的中点，
所以，FD∥AC且．
因为AC∥A1C1且AC=A1C1，
所以，FD∥EC1且FD=EC1．
所以，四边形FDC1E是平行四边形．
所以，EF∥C1D．
又因为C1D⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1，
所以，EF∥平面B1BCC1．
（III）解：因为，AB⊥BC
所以，．
过点B作BG⊥AC于点G，则．
因为，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1所以，平面A1ACC1⊥底面ABC．
所以，BG⊥平面A1ACC1．
所以，四棱锥B﹣A1ACC1的体积．
【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．。