配餐作业46直线、平面平行的判定与性质

配餐作业(四十六)
直线、平面平行的判定与性质
一、选择题
1．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是()
A．存在一条直线b，a∥b且b⊂α
B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α
C．存在一个平面β，a⊂β且α∥β
D．存在一个平面β，a∥β且α∥β
解析在A，B，D中，均有可能a⊂α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故选C。

答案 C
2．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l 的直线()
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
解析过直线外一点作该直线的平行直线有且只有一条，因为点P在平面α内，所以这条直线也应该在平面α内。

故选B。

答案 B
3．(2018·豫南九校质检)已知m，n是两条不同直线，α是平面，则下列命题是真命题的是()
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m⊥n，则n∥α
D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
解析若m∥α，m∥n，则有可能n⊂α；若m∥α，m⊥n，则有可能n⊂α；若m⊥α，m⊥n，则有可能n⊂α。

故选B。

答案 B
4．(2018·河南六市联考一)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是()
A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
解析对于选项D，两条平行线m，n分别垂直于两个平面α，β，则其中一条必和另一个平面垂直，所以α，β必同时垂直于同一条直线，所以α，β平行。

故选D。

答案 D
5．(2018·海淀模拟)设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m，
其中正确命题的个数是()
A．1B．2
C．3D．4
解析①正确；②中也可能直线l⊂α，故错误；③中三条直线也可能相交于一点，故错误；④正确，所以正确的命题有2个。

故选B。

答案 B
6．(2018·囊阳模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N 分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()
A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行
解析如图所示，连接C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A、C正确，D错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确。

故选D。

答案 D
二、填空题
7．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________。

解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE，则M∈AE，N∈BE。

则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB。

所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC。

答案平面ABD与平面ABC
8.如图，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________。

解析相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β相交于AB，A′B′，所以AB∥A′B′。

同理BC∥B′C′，CA∥C′A′。

所以△ABC与△A′B′C′
的三内角相等，所以△ABC∽△A′B′C′，A′B′
AB＝
OA′
OA＝
2
3。

S△ABC＝
1
2
×2×1×
3
2＝
3
2，所以S△A′B′C′＝
3
2×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫2
3
2＝3
2×
4
9＝
23
9。

答案23 9
9．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P 是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面P AO。

解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，
所以QB∥P A。

连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面P AO，QB⊄平面P AO，PO⊂平面P AO，P A⊂平面P AO，所以D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面P AO。

故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面P AO。

答案Q为CC1的中点
三、解答题
10．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点。

求证：
(1)BE∥平面DMF。

(2)平面BDE∥平面MNG。

证明(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，
所以BE ∥平面DMF 。

(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，
又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，
所以DE ∥平面MNG 。

又M 为AB 的中点，
所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ，
又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ，
所以BD ∥平面MNG ，
又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，
所以平面BDE ∥平面MNG 。

11.(2018·邯郸一中模拟)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AB ＝3，CD ＝2，PD ＝AD ＝5，E 是PD 上的一点。

(1)若PB ∥平面ACE ，求PE ED 的值。

(2)若E 是PD 的中点，过点E 作平面α∥平面PBC ，平面α与棱P A 交于点F ，求三棱锥P －CEF 的体积。

解 (1)连接BD 交AC 于点O ，
连接OE ，若PB ∥平面ACE ，
又PB ⊂平面PBD ，且平面PBD ∩平面ACE ＝OE ，所以OE ∥PB ，因为AB ＝3，CD ＝2，且AB ∥CD ，
所以AB CD ＝BO DO ＝PE ED ＝32，所以PE ED 的值为32。

(2)过点E 作EM ∥PC 交CD 于点M ，过点M 作MN ∥BC 交AB 于点N ，连接EN ，
则平面EMN 即平面α，
则平面α与平面P AB 的交线与PB 平行，过点N 作NF ∥PB 交P A 于点F ，
因为E 是PD 的中点，CD ＝2，
所以CM ＝1，则BN ＝CM ＝1，
又AB ＝3，所以AN NB ＝2，则F A FP ＝2，
因为PD ＝AD ＝5，
所以F 到平面PCD 的距离为53，
则V P －CEF ＝V F －PCE ＝2518。

1．在如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和棱AA 1的中点，点M 、N 分别为线段D 1E 、C 1F 上的点，则与平面ABCD 平行的直线MN 有( )
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．无数条
解析 因为直线D 1E ，C 1F 与平面ABCD 都相交，所以只需要把平面ABCD 向上平移，与线段D 1E 的交点为M ，与线段C 1F 的交点为N ，由面面平行的性质定理知MN ∥平面ABCD ，故有无数条直线MN ∥平面ABCD 。

故选D 。

答案 D
2．(2018·安徽安庆模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、
Q 分别是棱D 1C 1、A 1D 1、BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝23BD 1。

则以下四个说法：
①MN ∥平面APC ；
②C 1Q ∥平面APC ；
③A 、P 、M 三点共线；
④平面MNQ ∥平面APC 。

其中说法正确的是________。

解析 ①连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM 、CN ，易得AM 、
CN交于点P，即MN⊂平面P AC，所以MN∥平面APC是错误的；
②由①知M、N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正确的；③由①知A，P，M三点共线是正确的；④由①知MN⊂平面P AC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的。

答案②③
3．(2018·河南洛阳第一次统考)如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠F AB＝∠DAB＝90°，二面角F－AB－D是直二面角，BE∥AF，BC∥AD，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1。

(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF 平行。

(2)求二面角F－CD－A的余弦值。

解(1)证明：由已知得，BE∥AF，AF⊂平面AFD，BE⊄平面AFD，所以BE∥平面AFD。

同理可得，BC∥平面AFD。

又BE ∩BC ＝B ，所以平面BCE ∥平面AFD 。

设平面DFC ∩平面BCE ＝l ，则l 过点C 。

因为平面BCE ∥平面ADF ，平面DFC ∩平面BCE ＝l ，平面DFC ∩平面AFD ＝DF ，
所以DF ∥l ，即在平面BCE 上一定存在过点C 的直线l ，使得DF ∥l 。

(2)因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，F A ⊂平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，
又∠F AB ＝90°，所以AF ⊥AB ，
所以AF ⊥平面ABCD ，
因为AD ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥AD 。

因为∠DAB ＝90°，所以AD ⊥AB 。

以A 为坐标原点，AD ，AB ，AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图。

由已知得，D (1,0,0)，C (2,2,0)，F (0,0,2)，
所以DF
→＝(－1,0,2)，DC →＝(1,2,0)。

高考复习顶层设计 数学·理
11 设平面DFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0⇒⎩⎨⎧ x ＝2z ，x ＝－2y ，
不妨取z ＝1，则n ＝(2，－1,1)，
不妨取平面ACD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝16＝66， 由于二面角F －CD －A 为锐角，
因此二面角F －CD －A 的余弦值为66。