高三下学期高考数学试卷附答案 (296)

2019-2020学年度第二学期第*次考试试卷
高考数学模拟测试
学校：__________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、选择题
1．设命题p :函数sin 2y x =的最小正周期为2π;命题q :函数cos y x =的图象关于直线2
x π=对称.则下列判断正确的是 （ ）
A ．p 为真
B ．q ⌝为假
C ．p q ∧为假
D ．p q ∨为真（2012山
东文）
2．若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足2
2
()4a b c +-=，且0
60C =，则ab 的
值为
（A ）4
3
(B) 8- (C)1 (D) 2
3
(2011年高考重庆卷理科6)
3．设2
lg ,(lg ),a e b e c ===
（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> （2009全国卷Ⅱ文）
4．设两个向量22
(2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2
m b m α=+r 其中,,m λα为实数.若2,
a b =r r
则
m
λ
的取值范围是 ( )
A ．[6,1]-
B ．[4,8]
C ．(,1]-∞
D ．[1,6]-
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分
二、填空题
5．已知函数212,1,()e , 1
x x x f x x -⎧-≤⎪
=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集是 ▲ ．
6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式
(1)4f x x ->-+的解集是 ▲ ．
7．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ▲ ．
8．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34a =，则5S 的值为 ▲ ． 9．已知圆2
2
:(3)(4)4C x y -+-=和直线4x －3y ＝0交于,A B 两点，则
OA OB •=u u u r u u u r
_________；
10．在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列}{n a ,已知122a a =,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为 11．直线ax ＋2y ＋6＝0与直线x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则a ＝ ▲ .
12．当常数m 变化时，椭圆22
2
2112
x y m m +=++离心率的取值范围是 13．给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=3
)
1(3)2
1()(x x f x x f x ，则)3(log 2f =
14．已知直线b a ,和平面α，若αα⊥⊥b a ,，则a 与b 的位置关系是 ． 15．等比数列{a n }的前n 项的和为n S ，且S 2009，2S 2010，3S 2011成等差数列，则{a n }的公比为______．
16．观察不等式：1111212⋅⋅
≥，11111(1)()33224++≥， 1111111
(1)(),4353246
⋅++++L ≥， 由此猜测第n 个不等式为 ▲ ．
17．
对于函数()0),f x a =≠若存在0,b >使得()f x 的定义域和值域相同，则实数a 的值为
18．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？
【题】在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45o
，若△ABC 有两解，则x 的取值范围是（ ） A.()2,+∞ B.（0，2）
C.(2,
D.
)
2
【解法1】△ABC 有两解，a sin B <b <a ，x sin 45o
<2<x ,
即2x << 故选C.
【解法2】
,sin sin a b A
B
=
sin sin 45sin 2
4
a B x A b
=
=
=
o
△ABC 有两解，b sin A <a <b
, 22,4
x ⨯<< 即0<x <2, 故选B.
你认为 是正确的 （填“解法1”或“解法2”）
三、解答题
19．（本小题满分16分）
设函数()1,()(1)2x
f x e
g x e x =+=-+(e 是自然对数的底数)．
(1)判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数，并说明理由； (2)设数列{}n a 满足：1(0,1),a ∈且1()(),n n f a g a n N ++=∈； ①求证：01n a <<；
②比较n a 与1(1)n e a +-的大小．
20．设函数2
21
)(x x x f -=的定义域为E ，值域为F ．
（1）若{1,2}E =，判断实数12
2
lg 2lg 2lg 5lg 516λ-=++-与集合F 的关系；
（2）若{}1,2,E a =，30,4F ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，求实数a 的值． （3）若11
[,]E m n
= ，[23,23]F m n =--，求n m ,的值．（本小题满分16分）
21．如图,在三棱柱
11ABC A B C
-中,侧棱
1AA ⊥
底面
ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=o ,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段
AD 的中点.
(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值. （2013年高考四川卷（理））
D 1
D A B 1
C 1
A P
22．解答下列各题：（1）请作出下列函数的大致图像
①⎪⎩⎪⎨⎧≥
<
-=0
,0,12x x x x y ； ②11log 3+=x y ．
（2）如图
图甲中阴影部 图乙表示的函
分表示的集合为________________； 数解析式可以为__________________．
23．猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为1
2
，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人的命中概率与距离的平方成正比，求猎人命中野兔的概率。

24．已知数列{}n a 中，2
1
1=
a ，点()()*+∈-N n a a n n n 12，
在直线x y =上． （Ⅰ）计算432,,a a a 的值；
（甲）
（乙）
（Ⅱ）令11--=+n n n a a b ，求证：数列{}n b 是等比数列；
（Ⅲ）设n n T S 、分别为数列{}{
}n n b a 、的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+n T S n n λ为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
25．已知△ABC 中，
222
,cos cos a b c c a B b A a b c
+-==+-且，试判断△ABC 的形状.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
5． (1,1)(1,)-+∞U 6． (4,)+∞
7． 8．20 9． 10．160 11．－1；
解析： －1 ； 12．
13． 12
1
14． 15． 16． 17． 18．方法1
三、解答题
19． 解：(1)'()(1)x H x e e =--，令)('
x H =0，0ln(1)x e =-.
当0(,)x x ∈-∞时，)('
x H <0，)(x H 在0(,)x -∞单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，)('
x H >0，)(x H 在0(,)x +∞单调递增. 故min 00()()(1)1x H x H x e
e x ==---o
1(1)ln(1)1e e e =-----.
令11>-=e t ，函数()ln 1k t t t t =--，因为'()1ln 1ln k t t t =--=-<0， 所以函数()ln 1k t t t t =--在()1,+∞单调递减，故()(1)0k t k ≤=， 又11>-e ，故0()0H x <，从而)(x H 有两个零点．…………………5分 (2)①因为1()()n n f a g a +=，即11(1)2n
a n e
e a ++=-+，所以)1(1
1
1--=
+n a n e e a ． 下面用数学归纳法证明)1,0(∈n a ．
1︒当1=n 时，)1,0(1∈a 成立．
2︒假设当k n =时，)1,0(∈k a ，则)1(1
1
1--=
+k a k e e a ，
故e e
k
a <<1，从而110-<-<e e k a ，
则1)1(1
1
01<--=
<+k a k e e a ，故当1+=k n 时不等式成立． 从而对)1,0(,∈∈+n a N n ． …………………….……11分 ②因为n a n n a e
a a e n
--=--+1)1(1，
考虑函数x e x p x
--=1)()10(<<x ．
因为01)('
>-=x
e x p ，所以)(x p 在（0，1）上是增函数，故0)0()(=>p x p ， 从而0)1(1>--+n n a a e ，即n n a a e >-+1)1(．……………………..…16分
20． 解:（1）∵2
21
)(x x x f -=，∴当1x =时，()0f x =；当2x =时，
3()4f x =304F ,⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭
．∵12
23lg 2lg 2lg 5lg 5164λ-=++-=，∴F λ∈．………5分
（2）令()0f a =，即2210a a -=，1a =±，取1a =-；令3
()4
f a =，即22134a a -=，2
a =±，取
2
a =-，故
12a =--或．………………………………………………………………9分
（3）∵221)(x x x f -=是偶函数，且3
2
()0f x x '=>，则函数()f x 在(,0)-∞上是减函
数，在(0,)+∞上是增函数．∵0x ≠，∴由题意可知：
110m n <<或11
0m n
<<．若110m n <<，则有1
()231()23f n m f m
n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即22
123123m n n m ⎧-=-⎨-=-⎩，整理得2
3100m m ++=，此时方程组无解；若110m n <<，则有1
()231()23f m m
f n n
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即22
123123m m n n ⎧-=-⎨-=-⎩，∴,m n 为方程2
310x x -+= ，的两个根．∵11
0m n
<
<，∴0m n >>，
∴32m =，
32
n =
．……………16分 21．解:()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l //BC ,因为l 在平面1A BC 外,
BC 在平面1A BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面1A BC .
由已知,AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥,则直线l AD ⊥.
因为1AA ⊥平面ABC ,所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与
1AA 相交,所以直线平面11ADD A
()II 解法一:
连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由()I 知,MN ⊥平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1A MN . 所以AE ⊥平面1A MN ,则1A M AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .
故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角(设为θ).
设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=o ,有60BAD ∠=o
,2,1AB AD ==.
又P 为AD 的中点,所以M 为AB 的中点,且1
,12
AP AM =
=,
在1Rt AA P V 中
, 12
A P =
;在1Rt A AM V 中
, 1AM =从而
,11AA AP AE A P •=
=
11AA AM AF A M •==,
所以sin AE AF θ=
=
.
所以cos θ===. 故二面角1A A M N --
解法二:
设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,AE AD u u u r u u u u r ,1AA u u u r
的方向
为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合).
则()10,0,0A ,()0,0,1A .
因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,
故11,1,,12222M N ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
所以11,12A M ⎫=⎪⎪⎝⎭
u u u u r ,()10,0,1A A =u u u r
,)
NM =
u u u u r .
设平面1AA M 的一个法向量为()1111,,n x y z =,则
1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u u r u u u u r 即11110,0,
n A M n A A ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u u r u u u r 故有 (
)()()1111111,,,10,2,,0,0,10,
x y z x y z ⎧⎫•=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪•=⎩
从而111110,20.y z z ++=⎪=⎩
取11x =,
则1y =
所以()
11,n =.
设平面1A MN 的一个法向量为()2222,,n x y z =,则 212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u u r u u u u u r 即2120,0,n A M n NM ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u u r u u u u r 故有(
)(
))
2222221,,,10,22,,0,x y z x y z ⎧⎛⎫•=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪•=⎪⎩
从而222210,20.y z ++=⎨⎪=⎩
取22y =,则21z =-,所以()20,2,1n =-.
设二面角1A A M N --的平面角为θ,又θ为锐角, 则
1212cos n n n n θ•===•. 故二面角1
A A M N -- 22． 23．
24．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）由题意，.4
3,12,21,221211==-==-+a a a a n a a n n ……… 2分
同理,16
35,81143==a a ……………………………………… 3分 （Ⅱ）因为,21n a a n n =-+
所以,2
11211111121--=--++=--=++++++n n n n n n a n a n a a a b ………… 5分 21,211)2(1111111=
=--=---=--=++++++n n n n n n n n n b b
b a n n a a a a b ………… 7分 又431121-
=--=a a b ，所以数列{}n b 是以4
3-为首项，21为公比的等比数列. 9分 （Ⅲ）由（2）得， .23)21(32
11)211(4
3,)21(3)21(43111-⨯=--⨯-=⨯-=⨯-=++-n n n n n n T b 又,)2
1(32,)21(31111n n n n n n a n b n a ⨯+-=⨯+-=--=++所以 所以.233232
11)211(21322)1(2n n n n n n n n S -+-=--⨯⨯+-+=…………… 13分 由题意，记.,}{.1为常数只要为等差数列要使数列n n n n n n c c c n
T S c -+=+λ .211)233(23]23)21(3[)23323(12n
n n n n n T S c n n n n n n -⨯-+-=-⨯+-+-=+=+λλλ ,1211)233(2411
--⨯-+-=--n n c n n λ 则).1
211211()233(2111----⨯-+=---n n c c n n n n λ…………………… 15分 故当.}{,21,21为等差数列即数列为常数时n T S c c n n n n λλ+=
-=-………… 16分 25．等边三角形。