2012包头市中考数学卷+答案

2012年包头(同乌兰察布、锡盟、乌海)市中考试卷数学试
题
注意事项:本试卷满分120分,考试时间120分钟.
题号一二三
分数
得分评卷人
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.9的算术平方根是()
A.±3
B.3
C.-3
D.√3
2.联合国人口基金会的报告显示,世界人口总数在2011年10月31日达到70亿.将70亿用科
学记数法表示为()
A.7×109
B.7×108
C.70×108
D.0.7×1010
3.下列运算中,正确的是()
A.x3-x2=x
B.x6÷x2=x3
C.√2+√3=√5
D.√2×√3=√6
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=2AC,则sin A的值是()
A.√3
B.1
2C.√3
2
D.√3
3
5.下列调查中,调查方式选择正确的是()
A.为了了解1000个灯泡的使用寿命,选择全面调查
B.为了了解某公园全年的游客流量,选择抽样调查
C.为了了解生产的一批炮弹的杀伤半径,选择全面调查
D.为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂,选择全面调查
6.如图,过▱ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH,那么图中的▱AEMG 的面积S 1与▱HCFM 的面积S 2的大小关系是( )
A.S 1>S 2
B.S 1<S 2
C.S 1=S 2
D.2S 1=S 2
7.不等式组{5x -1>3(x +1),
12
x -1≤7-3
2
x
的解集是( ) A.x>2 B.x ≤4
C.x<2或x ≥4
D.2<x ≤4
8.圆锥的底面直径是80 cm,母线长90 cm,则它的侧面展开图的圆心角是( ) A.320° B.40° C.160° D.80°
9.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.掷两次骰子,掷得面朝上的点数之和是5的概率是( ) A.1
6 B.1
9 C.1
18 D.2
15 10.已知下列命题: ①若a ≤0,则|a|=-a; ②若ma 2>na 2,则m>n;
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ④垂直于弦的直径平分弦.
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
11.矩形ABCD 中,点O 是BC 的中点,∠AOD=90°,矩形ABCD 的周长为20 cm,则AB 的长为( )
A.1 cm
B.2 cm
C.5
2 cm D.10
3 cm
12.关于x 的一元二次方程x 2-mx+5(m-5)=0的两个正实数根分别为x 1、x 2,且2x 1+x 2=7,则m 的值是( ) A.2 B.6 C.2或6 D.7
得分 评卷人
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.本题要求把正确结果填在横线上,不
需要解答过程)
13.计算:√2+1-√8+(√3-1)0= . 14.化简:(a -2
a 2+2a -a -1
a 2+4a+4)÷a -4
a+2
= . 15.某校六个绿化小组一天植树的棵数如下:10,11,12,13,8,x.若这组数据的平均数是11,则这组数据的众数是 .
16.关于x 的两个方程x 2-x-2=0与1
x+1=2
x+a 有一个解相同,则a= .
17.如图,△ABC 内接于☉O,∠BAC=60°,☉O 的半径为2,则BC 的长为 (保留根号).
18.如图,在平面直角坐标系中,点A 在x 轴上,△ABO 是直角三角形,∠ABO=90°,点B 的坐标为(-1,2),将△ABO 绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 1B 1O,则过A 1、B 两点的直线解析式为 .
19.如图,直线y=1
2x-2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B,点C 在直线AB 上,且点C 的纵坐标为-1,点D 在反比例函数y=k
x 的图象上,CD 平行于y 轴,S △OCD =5
2,则k 的值为 .
20.如图,将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折,使点A 落在BC 边上的A'点处,且DE ∥BC,下列结论:
①∠AED=∠C;②A'D DB =A'E
EC ;③BC=2DE;④S 四边形ADA'E =S △DBA'+S △EA'C . 其中正确结论的个数是 个.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题,满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(8分)某年级组织学生参加夏令营活动,本次夏令营活动分为甲、乙、丙三组进行.下面条形统计图和扇形统计图反映了学生参加夏令营活动的报名情况,请你根据图中的信息回答下列问题:
(1)该年级报名参加本次活动的总人数为 人,报名参加乙组的人数为 人; (2)补全条形统计图中乙组的空缺部分;
(3)根据实际情况,需从甲组抽调部分学生到丙组,使丙组人数是甲组人数的3倍,应从甲组抽
调多少名学生到丙组?
22.(8分)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽AD=5米,斜坡AB的坡度i=1∶3(指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比),斜坡DC的坡度i=1∶1.5,已知该拦水坝的高为6米.
(1)求斜坡AB的长;
(2)求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
23.(10分)某商场用36000元购进甲、乙两种商品,销售完后共获利6000元.其中甲种商品每件进价120元,售价138元;乙种商品每件进价100元,售价120元.
(1)该商场购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品.购进乙种商品的件数不变,而购进甲种商品的件数是第一次的2倍,甲种商品按原售价出售,而乙种商品打折销售.若两种商品销售完毕,要使第二次经营活动获利不少于8160元,乙种商品最低售价为每件多少元?
24.(10分)如图,已知AB为☉O的直径,过☉O上的点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC 于点D且交☉O于点F,连接BC,CF,AC.
(1)求证:BC=CF;
(2)若AD=6,DE=8,求BE的长;
(3)求证:AF+2DF=AB.
25.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4厘米,BC=5厘米,点D在BC上,且CD=3厘米,
现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动;点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连接EQ.设动点运动时间为t秒(t>0).
(1)连接DP,经过1秒后,四边形EQDP能够成为平行四边形吗?请说明理由;
(2)连接PQ,在运动过程中,不论t取何值,总有线段PQ与线段AB平行.为什么?
(3)当t为何值时,△EDQ为直角三角形?
x2+bx+c经过点A、26.(12分)已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、D两点,抛物线y=-1
2
D,点B是抛物线与x轴的另一个交点.
(1)求这条抛物线的解析式及点B的坐标;
(2)设点M是直线AD上一点,且S△AOM∶S△OMD=1∶3,求点M的坐标;
(3)如果点C(2,y)在这条抛物线上,在y轴的正半轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2012年包头(同乌兰察布、
锡盟、乌海)市中考试卷
一、选择题
题
号
123456789101112
答
案
B A D
C B C
D C B B D B
1.答案B
解析本题考查算术平方根.9的平方根是±3,算术平方根是平方根中正的平方根,9的算术平
9
解析本题考查二次根式、合并同类项、同底数幂的除法.A不是同类项无法合并;B根据x m÷x n=x m-n得x6÷x2=x6-2=x4;C不是同类二次根式无法合并;D根据√m×√n=√mn得√2×√3=√6.
解析本题考查特殊角的三角函数值.根据∠C=90°,AB=2AC,设AC=a(a>0),则AB=2a,由勾股
定理得BC=√3a,则sin A=BC
AB =√3
2
,故选C.
5.答案B
解析本题考查全面调查与抽样调查.选项A、C、D均具有破坏性,全面调查不合适;B中对
解析本题考查平行四边形的性质.由等底等高可知,S△ABD=S△BCD,S△BEM=S△BHM,S△DGM=S△DFM,所以S1=S2,故选C.
7.答案D
解析本题考查解一元一次不等式组.解不等式5x-1>3(x+1)得x>2;解不等式1
2x-1≤7-3
2
x得x≤4,
所以2<x≤4,故选D.
8.答案C
解析本题考查圆锥的计算.由底面直径是80cm,得底面半径r=40cm,设圆心角为n°,由母线
长l=90cm,2πr=nπl
180
得n=160,故选C.
9.答案B
解析本题考查列表法或画树状图法.列表或画树状图可知点数之和共6×6=36种情况,点数
之和是5的有1+4=5,4+1=5,3+2=5,2+3=5,共4种情况,所以P(点数之和是5)=4
36=1
9
,故选B.
解析本题考查命题与定理.由绝对值的性质可知①满足条件;当a=0时,②的逆命题是假命题;由平行四边形的性质和判定知③满足条件;④命题成立,逆命题“平分弦(可能是直径)的直径
解析本题考查矩形的性质.如图,∠AOD=90°,由矩形对称性知△ABO≌△DCO,又∠AOD=90°,∴∠AOB=∠DOC=45°,∴AB=BO=CD=CO,∴AB=20÷6=10
3
(cm),故选D.
12.答案B
解析本题考查一元二次方程根与系数的关系.由根与系数关系得x1+x2=m,∵2x1+x2=7,∴x1+m=7.∴x1=7-m.把x1=7-m代入原方程得(7-m)2-m(7-m)+5(m-5)=0,化简得m2-8m+12=0,解得m1=2,m2=6.∵x1·x2=5(m-5),当m1=2时,x1·x2=5(m-5)=-15<0,与方程有两个正实数根矛盾,舍去.故选B.
13.答案-√2
解析本题考查二次根式的加减法、零指数幂.原式=√2-1-2√2+1=-√2.
14.答案1
a(a+2)或1
a2+2a
解析本题考查分式的混合运算.原式
=[a -2a(a+2)-a -1(a+2)
2]·a+2a -4=a -2a(a -4)-a -1(a+2)(a -4)=a 2-4a(a -4)(a+2)-a 2
-a a(a+2)(a -4)=a -4a(a -4)(a+2)=1a(a+2).
解析 本题考查算术平均数.10+11+12+13+8+x=11×6=66,解得x=12.这组数据中有两个12,所
解析 本题考查解一元二次方程、解分式方程.解方程x 2-x-2=0,得x 1=-1,x 2=2.显然x=-1不是
分式方程的解,所以相同的解是x=2,代入分式方程得12+1=2
2+a ,解得a=4.经检验,a=4是上述分式
方程的解.
17.答案 2√3
解析 本题考查圆周角定理.过O 作OD ⊥BC 于D,由同弧所对圆心角是圆周角的2倍,得∠BOC=2∠BAC=120°,∴∠BOD=60°, ∵OB=2,∴BD=√3.∴BC=2√3. 18.答案 y=3x+5
解析 本题考查坐标与图形变换——旋转、相似三角形的判定与性质.过B 作BC ⊥OA 于C,∵B 的坐标为(-1,2),
∴OB=√5.易知△ABO ∽△BCO,∴OC OB =OB
OA . ∴1√5=√
5OA ,∴OA=5.
∴A 1的坐标为(0,5).设过A 1、B 两点的关系式为y=kx+b,代入两点坐标,解得k=3,b=5,所以
解析 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题.设CD 与x 轴交于点E,把C 的纵坐标-1代入y=12x-2,得x=2,∴OE=2.∴S △OCE =1.∴S △ODE =S △OCD -S △OCE =32.∴k=2S △ODE =3. 20.答案 4
解析 本题考查翻折变换(折叠问题).由平行线的性质可知①正确;由翻折知A'D=AD,A'E=AE,∵DE ∥BC,∴
AD
DB
=
AE EC
,∴
A'D DB
=
A'E EC
,所以②正确;由翻折知
∠AED=∠A'ED,∵DE ∥BC,∴∠A'ED=∠EA'C,∠AED=∠C,∴∠EA'C=∠C,∴AE=EA'=EC,∴DE 为△ABC 的中位线,所以③正确;由③知BC=2DE,∵DE ∥BC,∴△BA'D 、△A'DE 、△A'EC 同高,∴S △BA'D +S △A'EC =2S △A'DE ,∵S
四边形ADA'E =2S △A'DE ,∴S 四边形ADA'E =S △BA'D +S △A'EC ,
所以④正确.
21.解析(1)60;12.(每空2分)
(2)正确补全条形统计图.
(6分) (3)设应从甲组抽调x名学生到丙组,可得方程:
30+x=3(18-x),解得x=6.
22.解析(1)∵AE
BE =i=1
3
,AE=6,
∴BE=3AE=18,(1分)
在Rt△ABE中,根据勾股定理得AB=√AE2+BE2=6√10.
答:斜坡AB的长为6√10米.(3分)
(2)过点D作DF⊥BC于F,
∴四边形AEFD是矩形.
∴EF=AD,∵AD=5,∴EF=5,
又∵DF
CF =i=2
3
,DF=AE=6,
∴CF=3
2DF=9,
∴BC=BE+EF+CF=18+5+9=32.(5分)
在Rt△DCF中,根据勾股定理得DC=√DF2+CF2=3√13.
∴梯形ABCD的周长为
AB+BC+CD+DA=6√10+32+3√13+5=37+6√10+3√13.
答:拦水坝的横断面梯形ABCD的周长为(37+6√10+3√13)米.(8分)
{120x+100y=36 000,
(138-120)x+(120-100)y=6 000.
(3分)
解得{x =200,y =120.
答:该商场购进甲种商品200件,乙种商品120件.(6分)
(2)设乙种商品每件售价为z 元,根据题意,得
120(z-100)+2×200×(138-120)≥8 160.(8分)
解得z ≥108.
∵ED 切☉O 于点C,∴OC ⊥ED.
又∵AD ⊥EC,∴OC ∥AD,
∴∠OCA=∠CAD. 又∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.
∴∠OAC=∠CAD,
∴BC
⏜=CF ⏜,∴BC=CF.(3分)
(2)在Rt △ADE 中,∵AD=6,DE=8,
∴根据勾股定理得AE=10,
又∵OC ∥AD,∴△EOC ∽△EAD,
∴EO EA =OC AD . 设☉O 的半径为r,∴OE=10-r,
∴10-r 10=r 6,∴r=154
, ∴BE=10-2r=52
.(6分) (3)证明:过点C 作CG ⊥AB 于点G,
∵∠OAC=∠CAD,AD ⊥EC,
∴CG=CD,
∵AC=AC,
∴Rt △AGC ≌Rt △ADC,
∴AG=AD.
又∵BC=CF,
∴Rt △CGB ≌Rt △CDF,
∴GB=DF.
∵AG+GB=AB,
∴AD+DF=AB,
∵点P 的速度为1厘米/秒,点Q 的速度为1.25厘米/秒,t=1秒,
∴AP=1厘米,BQ=54
厘米, 又∵PE ∥BC,AC=4厘米,BC=5厘米,CD=3厘米,
∴△AEP ∽△ADC,BD=2厘米,
∴EP DC =AP AC ,
即EP 3=14
, ∴EP=34
厘米,
又∵QD=BD-BQ,∴QD=2-54=34
(厘米), ∴EP=QD,
∴四边形EQDP 是平行四边形.(2分)
(2)∵AP=t 厘米,BQ=54
t 厘米, ∴CP=(4-t)厘米,CQ=(5-54
t)厘米. ∵CP CA =4-t 4,CQ CB =5-54t 5=4-t 4,
∴CP CA =CQ CB . 又∵∠C=∠C,
∴△CPQ ∽△CAB,
∴∠CPQ=∠CAB,∴PQ ∥AB.
∴不论t 取何值,总有线段PQ 与线段AB 平行.(5分)
(3)①当∠EQD=90°时,四边形EQCP 是矩形,∴EQ=PC=(4-t)厘米,
又∵EQ ∥AC,∴△DEQ ∽△DAC,
∴EQ AC =DQ DC
, 即4
-t 4=54t -23,解得t=2.5.(8分)
②当∠DEQ=90°时,∵∠EDQ=∠CDA,∠DEQ=∠C=90°,
∴△EDQ ∽△CDA,∴DQ DA =DE DC .
在Rt △ACD 中,∵AC=4厘米,CD=3厘米,∴AD=5厘米.
∵EP ∥DC,∴△AEP ∽△ADC,
∴AE AD =AP AC ,
即AE 5=t 4
, ∴AE=54t 厘米,∴DE=(5-54
t)厘米.
∴54t -25=5-54t 3,解得t=3.1.
当y=0时,x=-2,∴A(-2,0).
∵抛物线y=-12
x 2+bx+c 经过点A 、D, ∴{c =4,-2-2b +c =0.
解得b=1,c=4. ∴这条抛物线的解析式为y=-12
x 2+x+4.(2分) 当y=0时,整理得x 2-2x-8=0,
解得x 1=-2,x 2=4,∴B(4,0).(3分)
(2)①当点M 在线段AD 上时,过点M 作ME ⊥x 轴于E,
∵S △AOM ∶S △OMD =1∶3, ∴AM ∶MD=1∶3,
又∵ME ∥y 轴,∴Rt △AME ∽Rt △ADO,
∴ME DO =AM AD =14, 又∵D(0,4),
∴OD=4,∴ME=1,
由2x+4=1,得x=-32
, ∴M 1(-32
,1).(5分)
②当点M 在DA 的延长线上时,过点M 作MF ⊥x 轴于F,
∵S △AOM ∶S △OMD =1∶3,∴AM ∶MD=1∶3, ∴AM ∶AD=1∶2.
又∵MF ∥y 轴,∴Rt △AMF ∽Rt △ADO,
∴MF DO =AM AD =12. ∵OD=4,∴MF=2,由2x+4=-2,
得x=-3,∴M 2(-3,-2).(7分)
(3)在y 轴的正半轴上存在符合条件的点P.
∵点C(2,y)在这条抛物线上,∴y=4,∴C(2,4),
连接CD,∵D(0,4),
∴∠CDO=90°,
①设P 1(0,y 1),满足P 1B=P 1C,其中y 1>0.
在Rt △BOP 1中,P 1B 2=OB 2+O P 12;
在Rt △CDP 1中,P 1C 2=DC 2+D P 12.
∴OB 2+O P 12=DC 2+D P 12,
即42+y 1
2=22+(4-y 1)2. 解得y 1=12,即P 1(0,12
),符合题意. ②设P 2(0,y 2),满足P 2B=BC,其中y 2>0.
∵点C(2,4),点B(4,0),
∴BC 2=42+22=20,
在Rt △BOP 2中,P 2B 2=OB 2+O P 22,
∴OB 2+O P 22=20,即42+y 22=20,
解得y 2=-2(舍去)或y 2=2,即P 2(0,2),符合题意.
③设P 3(0,y 3),满足P 3C=BC,其中y 3>0.
在Rt △CDP 3中,P 3C 2=D P 32+CD 2,
∴D P 32+CD 2=20,
即(4-y 3)2+22=20,
解得y 3=0(舍去)或y 3=8,即P 3(0,8).
易知直线P 3B 的解析式为y=-2x+8,而C(2,4)在直线P 3B 上,
∴P 3不符合题意,舍去.
∴在y 轴的正半轴上存在符合条件的点P,点P 的坐标为(0,12
)或(0,2).(12分)。