高中数学(苏教版)选修2-1【配套备课资源】第三章 3.2.1

答案 如果表示非零向量n的有向线段所在的直线垂 直于平面α，那么向量n叫做平面α的法向量，它可以
用来刻画平面的“方向”．
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例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：E→F是平
面B1AC的法向量．
解得m＝12.
故当M为B1B的中点时，就能满足D→1M⊥平面EFB1.
此时D→1M为平面EFB1的法向量．
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探究点二 求平面的法向量
问题 怎样求一个平面的法向量？
答案 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空
间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
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1． 下列说法中不正确的是___④_____(填序号)．
本
①平面 α 的一个法向量垂直于与平面 α 共面的所有向量；
课 栏
②一个平面的所有法向量互相平行；
目 开
③如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；
关
④如果 a，b 与平面 α 共面且 n⊥a，n⊥b，那么 n 就是平
小结 根据平面法向量的定义，可以利用证明直线和平面
垂直的方法证明平面的法向量．
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跟踪训练1 如图所示，在棱长为1的正方体
ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB和BC的 中点，试在棱B1B上找一点M，使得D→1M为平
本
面EFB1的法向量．
课 栏
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(2)由题意，A→M＝(x，y，z)，又∵a⊥A→M，∴a·A→M＝0，
∴0·x＋0·y＋z＝0，即 z＝0.
本 课
这就是点M(x，y，z)满足的关系式．
栏 目
小结 可以根据待定系数法求出平面的法向量，然后利用向
开 关
量垂直写出平面内任一点坐标适合的条件．
目 开
m)，若 l1⊥l2，则 m＝___2___.
关
解析 因 l1⊥l2，所以 a·b＝0，则有 1×(－2)＋2×3
＋(－2)×m＝0，∴2m＝6－2＝4，即 m＝2.
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4．已知 A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个 单位法向量是_－___3_3_，__－__3_3_，__－___33__(_答__案__不__惟__一__) _．
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而E→F·A→B1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0. E→F·A→C＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，
本 课
∴E→F⊥A→B1，E→F⊥A→C.又AB1∩AC＝A，
栏 目 开 关
∴E→F⊥平面B1AC. ∴E→F是平面B1AC的法向量．
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探究点三 平面法向量的应用
问题1 直线可以通过直线的方向向量和所过一点唯一确
定，那么平面可以由什么确定呢？
答案 平面也可由确定平面“方向”的平面的法向量和
本
课
平面内一点确定．
栏
目 开
问题 2 若平面 α 的法向量为 n＝(A，B，C)，过定点 A(x0，
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)若点M(x，y，z)在平面α内，写出x，y，z满足的关系式．
本 课
解 (1)设平面 ABC 的一个法向量为 a＝(x，y，z)，
栏 目
则 a·A→B＝0，a·A→C＝0，
开 关
又A→B＝(a,2a,0)，A→C＝(0,2a,0)，
∴a2xa＋y＝2a0y＝0 ，∴xy＋ ＝20y＝0 ，∴x＝y＝0， 故 a＝(0,0,1)是平面 ABC 的一个法向量．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)、
目 开 关
B1(1,1,1)、C(0,1,0)、D1(0,0,1)、E 1，12，0 、
M(1,1，m)．连结AC，
则
→ AC
＝(－1,1,0)．而E、F分别为AB、BC的中
点，
所以E→F＝12A→C＝－12，12，0.
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④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
面 α 的一个法向量．
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2．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱、面对角线、体对
角线所对应的向量中，是平面 _A_→D__1或__C_→_1B__或__D→_1_A_或__B→ _C_1_．
A1B1CD
的法向量的是
本
课 栏
3．设 l1 的方向向量 a＝(1,2，－2)，l2 的方向向量 b＝(－2,3，
④解方程组，取其中的一个解，即得其中一个法向量．
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例2 已知三点A(2,3，－3)，B(4,5，－2)，C(6,8,0)．求与平
面ABC垂直的一个法向量和单位向量．
解 假设 n 是与平面 ABC 垂直的某一个向量，设此向量为
n＝(x，y,1)，则 n⊥A→B，且 n⊥A→C.
解 设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)．
本 课 栏
∴nn··ab＝ ＝00， ，
即25xx＋ ＋36yy＋ ＋z4＝z＝0， 0.
目 开 关
令 x＝1，得 y＝－12，z＝－12.∴n＝1，－12，－12.
即平面α的一个法向量为1，－12，－12.
填一填
本
课
研一研
栏
目
练一练
开
关
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3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
【学习要求】
1．理解直线的方向向量与平面的法向量．
本 课
2．能用向量语言表示线线、线面、面面的平行关系．
栏 目
【学法指导】
开 关
直线的方向向量和平面的法向量分别用来刻画直线和平
面的“方向”，为判断线线、线面、面面关系提供了一
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跟踪训练 3 △ABC 中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，
设 M(x，y，z)是平面 ABC 上任一点，则 x，y，z 的关系
本
式为_3_x_－__2_y_－__2_z_－__1_＝__0_．
课
栏
目
开
关
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关
y0，z0)，则平面 α 内任一点 B(x，y，z)的坐标 x，y，z 满
足什么条件？ 答案 由n·A→B ＝0，得(A，B，C)·(x－x0，y－y0，z－z0)
＝0，整理得A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.
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例3 已知平面α内三点A(0,0,0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)．
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1．直线的方向向量和平面的法向量都可以刻画“方向”．
本 2．平面的法向量可以利用线面垂直进行判断，也可以根据
课
栏
待定系数法求出．
目
开 3．平面的法向量和平面上一点可以确定一个平面．在直角
关坐标系中，平面可以用关于x， Nhomakorabea，z的三元一次方程来
表示.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
个崭新的思路.
填一填·知识要点、记下疑难点
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1． 直线的方向向量
本
直线 l 上的向量 e(e≠0)以及与 e 共线的非零向量叫做直
课
线 l 的 方向向量 ．
栏
目 2． 平面的法向量
开
关
如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，
那么称向量 n 垂直于 平面 α，记作 n⊥α ，此时把向量 n
本
课 栏
①设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．
目 开
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，
关
b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
③根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组
n·a＝0， n·b＝0.
即aa12xx＋ ＋bb12yy＋ ＋cc12zz＝ ＝00.，
解析 A→B＝(－1,1,0)，A→C＝(－1,0,1)，B→C＝(0，－1,1)
本 课
设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)
栏 目 开 关
∵AA→→BC··nn＝＝00，，
∴－－xx＋＋yz＝＝00.，
令 x＝1，则 y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1) 单位法向量为：±|nn|＝± 33， 33， 33.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
证明 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角
本
课
坐标系，
栏
目 开
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，
关
E(2,2,1)，F(1,1,2)．
∴E→F＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1，1)．
A→B1＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， A→C＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．
本
因为A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)．所以由 n⊥A→B及 n⊥A→C，
课
栏
分别得 2x＋2y＋1＝0 及 4x＋5y＋3＝0.
目 开 关
解得x＝12，y＝－1.
所以 n＝12，－1，1即为平面 ABC 的一个法向量．
又因为|n|＝32，所以所求的一个单位法向量为 n0＝|nn|＝2312，－1，1＝13，－23，23.
叫做平面 α 的 法向量 .
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探究点一 直线的方向向量和平面的法向量
本 问题1 什么是直线l的方向向量，它有什么作用？
课 栏
答案 直线l上的非零向量e以及与e共线的非零向量叫
目 开
做直线l的方向向量，它可以用来刻画直线的方向．
关 问题2 什么是平面α的法向量，它有什么作用？
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小结 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找个 不共线的向量，然后列出方程组，方程组有无数解，取其中
本
课 的一个解即可．
栏 目 开 关
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跟踪训练 2 已知平面 α 上两个不共线向量 a＝(2,3,1)，b＝ (5,6,4)，求平面 α 的一个法向量．
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又因为B→1E＝0，－12，－1， D→1M＝(1,1，m－1)， 要使D→1M⊥平面EFB1，
本
所以D1M⊥EF，且D1M⊥B1E，
课 栏
即D→1M·E→F＝0，且D→1M·B→1E＝0.
目
开 关
所以－ 0－12＋ 12＋12＋ 1－mm－＝10，×0＝0，
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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谢谢欣赏！
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