江苏省苏州中学校数列多选题试题含答案

江苏省苏州中学校数列多选题试题含答案
一、数列多选题
1．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()211
21n n
S n a -=-⋅ B ．212
n n S S =
C ．2311222
n n n S S ≥
-+ D ．212
n n S S ≥+
【答案】CD
【分析】
根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：
22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.
【详解】
因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，
所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()13
22122
⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122
S =+
=，而 111
22S =，故错误；
C. 当1n =时， 213122
S =+=，而 3113
2222-+=，成立，当2n ≥时，
211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以
11
212n n >-，所以111111311...1 (352148222)
n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111
...1232n n S S n n n n
-=
+++++++，令()1111...1232f n n n n n
=
+++++++，因为()11111
1()021*******
f n f n n n n n n +-=
+-=->+++++，所以()f n 得到递增，
所以()()1
12
f n f ≥=，故正确； 故选：CD 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若831a =，10210S =，则（ ） A ．19919S a =
B ．数列{}22n a
是公比为8的等比数列
C ．若()1n
n n b a =-⋅，则数列{}n b 的前2020项和为4040
D ．若11n n n b a a +=
，则数列{}n b 的前2020项和为2020
24249
【答案】CD 【分析】
由等差数列性质可判断A ；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及22n a ，结合等比数列的定义可判断B ；写出n b ，由定义写出2020T 的表达式，进行分组求和即可判断C ；11144143n b n n ⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，裂项相消即可求和.
【详解】
由等差数列的性质可知，191019S a =，故A 错误；设{}n a 的公差为d ，则有
81101731
1045210
a a d S a d =+=⎧⎨
=+=⎩，解得13a =，4d =，故41n a n =-，28122n
a n -=， 则数列{}22n a
是公比为82的等比数列，故B 错误；若()()()1141n n
n n b a n =-⋅=-⋅-，
则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=，故C 正确； 若()()1
111414344143n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，则{}n b 的前2020项和
2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=
⎪⎝⎭，故D 正确． 故选:CD ． 【点睛】 方法点睛:
求数列的前n 项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列±等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列⨯等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.
3．（多选题）数列{}n a 满足(
)
2
*
1n n n a a a n N
+=-+∈，110,
2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则以下说法正确的为（ ） A ．10n n a a +<<
B ．2222
1231n a a a a a +++⋅⋅⋅+<
C ．对任意正数b ，都存在正整数m 使得
1231111
1111m
b a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立 D ．1
1
n a n <
+ 【答案】ABCD 【分析】
对于A ，结合二次函数的特点可确定正误；
对于B ，将原式化简为111n a a a +-<，由10n a +>得到结果； 对于C ，结合1a 范围和A 中结论可确定12111
111n
n a a a ++⋅⋅⋅+>---，由此判断得到结果；
对于D ，利用数学归纳法可证得结论. 【详解】
对于A ，2
2
11124n n
n n a a a a +⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则110,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
又110,
2a ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
，可知0n a >，10n a +>， 又2
10n n n a a a +-=-<，10n n a a +∴<<，A 正确； 对于B ，由已知得：2
1n n n a a a +=-，
()()()222
1212231111n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-<，B 正确；
对于C ，由110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及A 中结论得：1112n a <-<，1121n a <<-，
12111
111n
n a a a ∴
++⋅⋅⋅+>---，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时
1231111
1111m
b a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立，C 正确； 对于D ，（i ）当1n =时，由已知知：11
2
a <成立， （ii ）假设当(
)n k k N
*
=∈时，1
1
n
a
n <
+成立，
则22
2
111112411
n n
n n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=-+=--+<-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 又()
()()2
21
111012121n n n n n -
+
-=-<+++++，即()
2
111121n n n -+<+++， 11
2
n a n +∴<
+， 综上所述：当n *∈N 时，11
2
n a n +<+，D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.
4．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*
2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列
B ．若n
n S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数
列
C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍为等比数列
D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】
若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用
n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公
比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}
n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，分类讨论10a >与10
a <两种情况，可判断D ； 【详解】
对于A ，若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错
误；
对于B ，当2n ≥时，(
)1
11(1)n
n n n n n a S S Aq B Aq
B Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当
1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为
()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；
对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时
232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；
对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，若
10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；
故选：AC 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为
n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,
m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档
题.
5．在数列{}n a 中，如果对任意*
n N ∈都有
21
1n n n n
a a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0
C ．若32n
n a =-+，则数列{}n a 是等差比数列
D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】
考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】
对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，21
1n n n n
a a a a +++--无意义，所以A 选项错误；
若等差比数列的公差比为0，21
2110,0n n n n n n
a a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所
以B 选项说法正确； 若32n
n a =-+，
21
13n n n n
a a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；
若等比数列是等差比数列，则1
1,1n n q a a q -=≠，
()()
11211111111111n n n
n n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.
故选：BCD 【点睛】
易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
6．将()2
3n
n ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：
11a 12a 13a ……1n a
21a 22a 23a ……2n a 31a 32a 33a ……3n a
……
1n a 2n a 3n a ……nn a
该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为
S .下列结论正确的有（ ）
A ．2m =
B ．7
67132a =⨯
C ．()1
212
j ij a i -=+⨯
D ．()()
221n
S n n =+-
【答案】ACD 【分析】
由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D. 【详解】
由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或1
3
m =-（舍去），A 正确；
()666735132a m m =+=⨯，B 错误；
()()11
2132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确；
()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++
1121(12)
(12)(12)121212
n n n nn a a a ---=++
+
--- ()()()11211332(1)21212n n
n n a a a n ++-⎛⎫=++
+-=⨯- ⎪⎝⎭
()()221n n n =+-，D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.
7．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．数列{}n a 为等比数列
B ．数列{}n S n +为等比数列
C ．数列{}n a 中10511a =
D ．数列{}2n S 的前n 项和为
2224n n n +---
【答案】BCD 【分析】
由已知可得
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公
式，可判断C ；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】
因为121n n S S n +=+-，所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++． 又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；
所以2n n S n +=，则2n
n S n =-．
当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11
121a -≠-，故A 错误；
由当2n ≥时，1
2
1n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；
因为1
222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-
()()()231
22
412122 (2)
212 (22412)
2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=
-+=---⎢⎥-⎣
⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由
121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，
考查了推理运算能力，属于中档题,
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
【答案】AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；
二、平面向量多选题
9．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（ ） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =
【答案】ABD 【分析】
作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】
根据题意，在直线AB 上取点,P Q '
'
，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q '
'
分别作直线AB 的
垂线，交曲线x
y e =于1P ，2P ，交曲线
ln y x =于12,Q Q ，在曲线x
y e =上取点3P ，使
13||||AP AP =，如图所示：
1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，
2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，
若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，
若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，
但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；
对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且
Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；
对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.
10．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa
b ，则a b a b +=-
【答案】AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.。