2020版新学优数学同步人教A必修五课件：3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法

(4)不等式 x(1-x)≥x(2x-3)+1 可化为 3x2-4x+1≤0.因为方程
1
3
3x2-4x+1=0 的两个根是 ,1,函数 y=3x2-4x+1 的图象开口向上,所以
1
不等式的解集是 3 ≤ ≤ 1 .
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.
答案:①{x|x>2或x<0} ②⌀
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一元二次不等式的求解
例1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写
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忽视二次项系数为零的情况致误
典例关于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1对x∈R恒成立,求实数m的取
值范围.
错解:原不等式可化为 mx2+mx+(m-1)<0,依题意得
< 0,
< 0,
< 0,
⇔
⇔
4 ⇔m<0,
解得-4<m<0.
= 2 + 4 < 0,
综上可知,m 的取值范围是(-4,0].
(2)不等式 f(x)≥-2,即为 mx2-mx+1≥0.
若 m=0,则不等式即为 1≥0,显然恒成立;
> 0,
若 m≠0,则应有 2
解得 0<m≤4.
-4 ≤ 0,
综上,实数 m 的取值范围是[0,4].
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变式训练2已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x的不等
式bx2+ax+1>0的解集.
解:∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),
∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两根.
根,
< 0,

= -1-√2,
-1
+
2
=
,
所以
解得
= 1 + √2.
2 -1
-1 × 2 =
,

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(3)由题意知,原不等式必为一元一次不等式,所以 a=0,从而不等式变
< 0,
为 bx-1≤0,于是应有 1
即当 x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0 恒成立.
∵x2-x+1=
1 2
- 2
3
+ 4>0,
6
.
2
-+1
6
且 m(x2-x+1)-6<0,∴m<
∵函数
6
y= 2
-+1
6
=
6
6
在[1,3]上的最小值为 ,∴m< .故 m
7
7
1 2 3
-2 +4
的取
值范围是 -∞, 7 .
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第1课时 一元二次不等式及其解法
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.了解一元二次不等式的概念.
2.掌握一元二次不等式的解法. 一元二次不等式及其解法
3.理解一元二次不等式、一元二 一元二次不等式的概念
次方程、二次函数之间的关系,
一元二次不等式的解法
能够运用这种关系解决相关问
B.2
C.3
)
D.4
解析:①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,它不是一
元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.
答案:A
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课前篇自主预习
二、 一元二次不等式的解法
1.填空:
设 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 ax2+bx+c=0 的判别式 Δ=b2-4ac
出不等式的解集.
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1
2
解:(1)方程 2x2-3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,
1
所以原不等式的解集是 < - 2 或 > 2 .
(2)不等式可化为 3x2-6x+2<0.
当 m=0 时,-6<0 恒成立.
当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数,
∴g(x)max=g(1)=m-6<0,即 m<6,∴m<0.
综上可知,m 的取值范围是
6
-∞,
7
.
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(方法二)当 x∈[1,3]时,f(x)<-m+5 恒成立,
反思感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判
别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实
根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
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解:(1)由题意知 a>0,且-1 和 2 是关于 x 的方程 ax2+bx+a2-1=0 的两
个根,
> 0,

所以有 -1 + 2 = - ,
-1 × 2 =
解得
2 -1
,

= -1 + √2,
= 1-√2.
(2)由题意知 a<0,且-1 和 2 是关于 x 的方程 ax2+bx+a2-1=0 的两个
三个“二次”之间的关系
题.
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课前篇自主预习
一、 一元二次不等式的概念
1.思考:从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?
提示:它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.
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已知不等式的解集求参数值
例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:
(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).
分析:根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应
方程根的情况,利用根与系数的关系进行求解.
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因为 3x2-6x+2=0 的判别式 Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程
√3
√3
3x2-6x+2=0 的解是 x1=1- 3 ,x2=1+ 3 .
因为函数 y=3x2-6x+2 的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的
√3
√3
解集是 1- 3 < < 1 + 3 .
1
(3)方程 4x2-4x+1=0 的解是 x1=x2= ,函数 y=4x2-4x+1 的图象是开口
2
1
向上的抛物线,所以原不等式的解集是 = 2 .
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(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数
y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
的解集
{x|x1<x<x2}
⌀
<0
R
⌀
第五页一做:
(1)判断正误.
①若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. (
)
②若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是(-∞,x1]∪[x2,+∞),则关于x的方
程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2. (
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
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变式训练1解下列不等式:
(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
(3)-3x2+5x-4<0;
(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
解:(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象
求实数m的取值范围.
解:(方法一)要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立,就要使 m
3
m-6<0 在
4
x∈[1,3]上恒成立.令 g(x)=m
1 2
2
1 2
- 2
+
3
+ m-6,x∈[1,3].
4
当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数,
6
∴g(x)max=g(3)=7m-6<0.∴0<m<7.
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反思感悟 1.一般地,一元二次不等式 ax2+bx+c>0(≥0)对于 x∈R 恒
> 0,
成立的条件是
一元二次不等式
2
= -4 < 0( ≤ 0);
< 0,
2
ax +bx+c<0(≤0)对于 x∈R 恒成立的条件是
判别式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
2
Δ=b -4ac
求方程 f(x)=0 有两个不等的 有两个相等的 没有实
的解
实数解 x1,x2
实数解 x1=x2 数解
解不等式 画函数 y=f(x)
f(x)>0 或 的示意图
f(x)<0 的
b
f(x)
步骤
{x|x<x1 或 x>x2} x x ≠ 得不等式 >0
2a
f(x)
= 2 -4 < 0( ≤ 0).
2.在解关于x的不等式ax2+bx+c>0(≥0)对一切x恒成立问题时,应注意对二
次项的系数进行讨论,需研究二次项系数为0时是否满足题意.
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延伸探究本例中,若将条件改为当x∈[1,3]时,不等式f(x)<-m+5恒成立,
2.填空:
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等
式,称为一元二次不等式.
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
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一元二次不等式的恒成立问题
例3已知函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,不等式f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若对于一切实数x,不等式f(x)≥-2恒成立,求实数m的取值范围.
< 0,
- = 1 + 2,
由根与系数的关系,得
解得 = -3,
= 1 × 2,
= 2.
将其代入所求不等式 bx2+ax+1>0,得 2x2-3x+1>0.
1
由 2x2-3x+1>0,得(2x-1)(x-1)>0,解得 x<2或 x>1.故 bx2+ax+1>0 的解
1
集为 -∞, 2 ∪(1,+∞).
所以 b=-1.
= -1,

反思感悟1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要
充分利用这个关系解题.
2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次
不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),当a>0时,其解集是{x|x1<x1或x>x2},当a<0
时,其解集是{x|x1<x<x2}.
是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象
是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3<x<7}.
(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函
数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.
)
③若关于x的方程ax2+bx+c=0没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0
的解集为R. (
)
④若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则关于x的不等式ax2+bx+c<0的
解集一定不是空集. (
)
答案:①√ ②√ ③× ④√
(2)①不等式x2-2x>0的解集是
.
②不等式x2+3x+6<0的解集是
求解.
<0
> 0,
(2)先将不等式化为 f(x)+2≥0,再由 m=0 或
求解.
≤0
分析:(1)可由 m=0 或
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