【精编】衡水中学2013届3年高考2年模拟(13)坐标系与参数方程.doc

【3年高考2年模拟】第十二章系列4第三节4-4坐标系与参数方程
第一部分 三年高考荟萃
2012年高考数学 坐标系与参数方程
一、填空题
1 ．（2012陕西文）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________。

2 ．（2012湖南文）在极坐标系中,曲线1C
:sin )1ρθθ+=与曲线2C :a ρ
=(0)a >的一个交点
在极轴上,则a =_______. 3 ．（2012广东文）(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C
的参数方程分别为
x y θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩(θ为参数,02πθ≤≤)
和12
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________. 4 ．（2012上海理）如图,在极坐标系中,过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角
6
πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则
=)(θf _________ .
5．（2012陕西理）(坐标系与参数方程)直线2cos 1ρθ=与圆
ρ___________.
6．（2012湖南理）在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :1,12x t y t =+⎧⎨
=-⎩ (t 为参数)与曲线2C :sin ,
3cos x a y θθ
=⎨=⎩(θ
为参数,0a >) 有一个公共点在X 轴上,则__a =.
7．（2012湖北理）(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系. 已知射线π
4θ=与曲线2
1,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩
(t 为参数)相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为__________.
8．（2012广东理）(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为
x t
y =⎧⎪⎨
=⎪⎩t 为参数)和x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________. 9．（2012北京理）直线2,1x t y t =+⎧⎨
=--⎩(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y =α
⎧⎨=α
⎩(α为参数)的交点个数为____________.
10．（2012安徽理）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6
R π
θρ=∈的距离是_____
二、解答题
11．（2012辽宁文理）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆22
2:(2)4C x y -+=.
(Ⅰ)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示);
(Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.
12．（2012新课标文理）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨=⎩(ϕ是参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系,曲线2C :的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极
坐标为(2,3
π
).
(Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标;
(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点,求2
2
2
2
||||||||PA PB PC PD +++的取值范围.
13．（2012江苏）[选修4 - 4:坐标系与参数方程]在极坐标中,已知圆C 经过点(
)
4
P
π
，
,
圆心为直线sin 3ρθπ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.
14．（2012福建理）选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点,M N
的极坐标分别为(2,0),()32π,圆C
的参数方程22cos 2sin x y θθ
=+⎧⎪
⎨=⎪⎩(θ为参数). (Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系.
参考答案一、填空题
1. 解析:将极坐标方程化为普通方程为
1
2
x=与222
x y x
+=,
联立方程组成方程组求出两交点的坐标1
(
2
和
1
(,
2
-,
2.
【答案】
2
【解析】曲线
1
C
1
y
+=,曲线
2
C的普通方程是直角坐标方程222
x y a
+=,因为曲线C1
:sin)1
ρθθ
+=与曲线C2:a
ρ=(0)
a>的一个交点在极轴上,所以
1
C 与x轴交点横坐标与a值相等,
由0,
2
y x
==,知a
=
2
.
【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程,直线与圆的位置关系,考查转化的思想、方程的思
想,考查运算能力;题型年年有,难度适中.把曲线
1
C与曲线
2
C的极坐标方程都转化为直角坐标方程,求出与x轴交点,即得.
3. 解析:()
2,1.法1:曲线
1
C的普通方程是225
x y
+=(0
x≥,0
y≥),曲线
2
C的普通方程是10
x y
--=,联立解得
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
(舍去
1
2
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
),所以交点坐标为()
2,1.
法2:
联立
1
2
θ
θ
=-
⎨
=
,消去参数θ
可得
22
15
⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,
解得
1
t=舍去
),
2
t=
于是
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,所以交点坐标为()
2,1.
4. [解析] )0,2(
M的直角坐标也是(2,0),斜率
3
1
=
k,所以其直角坐标方程为2
3=
-y
x,
化为极坐标方程为:2
sin
3
cos=
-θ
ρ
θ
ρ,1
)
sin
cos
(
2
3
2
1=
-θ
θ
ρ,
1
)
sin(
6
=
-θ
ρπ,
)
sin(
1
6
θ
π
ρ
-
=,即=
)
(θ
f
)
sin(
1
6
θ
π-
.(或=
)
(θ
f
)
cos(
1
3
π
θ+
)
5.解析:将极坐标方程化为普通方程为
1
2
x=与222
x y x
+=,
联立方程组成方程组求出两交点的坐标
1
(,
22
和
1
(,
22
-,
6. 【答案】
3
2
【解析】曲线
1
C:
1,
12
x t
y t
=+
⎧
⎨
=-
⎩
直角坐标方程为32
y x
=-,与x轴交点为
3
(,0)
2
;
曲线
2
C :
sin,
3cos
x a
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
直角坐标方程为
22
2
1
9
x y
a
+=,其与x轴交点为(,0),(,0)
a a
-,
由0
a>,曲线
1
C与曲线
2
C有一个公共点在X轴上,知
3
2
a=.
【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程,考查等价转化的思想方法等.曲线
1
C与曲线
2
C的参数方程分别等价转化为直角坐标方程,找出与x轴交点,即可求得.
7.考点分析:本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.
解析:π
4θ=
在直角坐标系下的一般方程为)(R x x y ∈=,将参数方程2
1,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩
(t 为参数)转化为直角坐标系下的一般方程为2
2
2
)2()11()1(-=--=-=x x t y 表示一条抛物线,联立上面两个方程消去y 有
0452=+-x x ,设B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、,则有韦达定理
2520=+=B A x x x ,又由于点P 点在直线x y =上,因此AB 的中点)2
5,25(P .
8.解析:()1,1.法1:曲线1C 的普通方程是2y x =(0y ≥),曲线2C 的普通方程是222x y +=,联立解得
1
1x y =⎧⎨=⎩
,所以交点坐标为()1,1. 法2:联
立c o s s i n t θ
θ
⎧=⎪=,可
得2c o s 2s i n θθ=,
即22cos 20θθ-=,解
得c o s 2θ=
或cos θ=(舍去),
所以1
1
t =⎧⎪=,交点坐标为()1,1.
9. 【答案】2
【解析】直线转化为1x y +=,曲线转化为圆2
2
9x y +=,将题目所给的直线和圆图形作出,易知有两个交点.
【考点定位】 本题考查直线和圆的位置关系,而且直线和圆是以参数方程的形式给出的,学生平时对消参并不陌生的话,此题应该是比较容易的.
10.
圆22
4sin (2)4x y ρθ=↔+-=的圆心(0,2)C
直线:()06
l R x π
θρ=∈↔=;点C 到直线l
=
二、解答题
11. 【答案与解析】
【命题意图】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换、解方程组的知识，难度较小。

【解析】圆1C 的极坐标方程为=2ρ，圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 解=2=4cos ρρθ
⎧⎨
⎩得=2,=3πρθ±，故圆1C 与圆2C 交点的坐标为2,,2,-33ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……5分
注：极坐标系下点的表示不唯一 （2）（解法一）由=cos =sin x y ρθ
ρθ
⎧⎨
⎩，得圆1C 与圆2C
交点的直角坐标为(
(,
故圆1C 与圆2C
的公共弦的参数方程为=1
=x y t ⎧≤⎨
⎩
（或参数方程写成=1
=x y y y ⎧≤⎨⎩
… 10分
（解法二） 将=1x 代入=cos =sin x y ρθρθ
⎧⎨
⎩，得cos =1ρθ，从而1=cos ρθ
于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1-=tan 3
3x y ππ
θθ⎧≤≤⎨
⎩
【点评】本题要注意圆221:4C x y +=的圆心为)0,0(半径为21=r ，圆22
2:(2)4C x y -+=的圆心为
)0,2(半径为22=r ，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化
成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。

12. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标,是容易题型.
【解析】(Ⅰ)由已知可得(2cos
,2sin )33A π
π,(2cos(),2sin())3232
B ππππ
++, (2cos(),2sin())33C ππππ++,33(2cos(),2sin())3232
D ππππ
++,
即(Ⅱ)设(2cos ,3sin )P ϕϕ,令S =2222
||||||||PA PB PC PD +++,
则S =2
2
16cos 36sin 16ϕϕ++=2
3220sin ϕ+,
∵2
0sin 1ϕ≤≤,∴S 的取值范围是[32,52].
13. 【答案】解:∵圆C 圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭
与极轴的交点,
∴在sin 3ρθπ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭中令=0θ,得1ρ=.
∴圆C 的圆心坐标为(1,0).
∵圆C 经过点(
)4
P
π
，
,∴圆C 的半径为PC =
. ∴圆C 经过极点.∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ. 【考点】直线和圆的极坐标方程.
【解析】根据圆C 圆心为直线sin 3ρθπ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭与极轴的交点求出的圆心坐标;根据圆C 经过点
()
4
P π
，求出圆C 的半径.从而得到圆C 的极坐标方程.
14. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,
考查转化与化归的思想.
【解析】(Ⅰ)由题意知(2,0),M N ,因为P 是线段MN 中点,则P ,
因此PO 直角坐标方程为:.3
y x =
(Ⅱ)因为直线l 上两点(2,0),M N
∴l 垂直平分线方程为30y -=,圆心(2,半径2r =.
∴3
2
d r =
=
<,故直线l 和圆C 相交. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想.
2011年高考题
一、选择题
1.（安徽理5）在极坐标系中，点θρπ
cos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为
（A ）2 （B ）
942
π+
（C ）912
π+
（D ）3 【答案】D
2.（北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A ．(1,)
2π
B ．
(1,)
2π
-
C ． (1,0)
D ．(1，π)
【答案】B
3.（天津理11）已知抛物线C 的参数方程为28,
8.x t y t ⎧=⎨
=⎩
（t 为参数）若斜率为1的
直线经过抛物线C 的焦点，且与圆
()2
224(0)
x y r r -+=>相切，
则r =________.
二、填空题
1.（陕西理15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评10.分） C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线
13cos :4sin x C y θθ=+⎧⎨
=+⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上， 则AB
的最小值为 。

答案 3
2.（湖南理9）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨
=+⎩
（α为参数）在极坐标系（与
直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为
()cos sin 10
ρθθ-+=，则C1与C2的交点个数为
【答案】2
3.（江西理15）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为
【答案】
22420x y x y +--= 4.（广东理14）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
(0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨
=⎪⎩和25()4x t t R y t ⎧
=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________．
【答案】
(1,
5
三、简答题
1.（福建理21）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为
x y sin α
αα⎧=⎪⎨
=⎪⎩（为参数）．
（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）
中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系；
（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
答案 （2）选修4—4：坐标系与参数方程
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。

满分7分。

解：（I ）把极坐标系下的点(4,)
2P π
化为直角坐标，得P （0，4）。

因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线l 的方程40x y -+=，
所以点P 在直线l 上，
（II ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q
的坐标为,sin )αα， 从而点Q 到直线l 的距离为
2cos()4
)6d π
απα++===++，
由此得，当cos()1
6π
α+=-时，d
2.（辽宁理23）选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C2的参数方程为⎩
⎨⎧==ϕϕ
sin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标 系中，射线l ：θ=α与C1，C2各
有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π
时，这两个交点重合．
（I ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a 与b 的值；
（II ）设当α=4π时，l 与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=4π
-
时，l 与C1，C2的交点为A2，B2，求
四边形A1A2B2B1的面积． 解：
（I ）C1是圆，C2是椭圆.
当0α=时，射线l 与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当
2π
α=
时，射线l 与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b=1.
（II ）C1，C2的普通方程分别为222
21 1.
9x x y y +=+=和
当
4π
α=
时，射线l 与C1交点A1
的横坐标为
2x =
，与C2交点B1的横坐标为
x '=
当
4π
α=-
时，射线l 与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x 轴对称，因此，
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为
(22)()2
.
25x x x x ''+-= …………10分
3.（全国新课标理23）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α
αα=⎧⎨
=+⎩为参数）
，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．
（I ）求
2
C 的方程；
（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3π
θ=
与1C 的异于极点的交点为A ，与2
C 的异于极点的交点为B ，求|AB|.
答案 解：（I ）设P(x ，y)，则由条件知M(
2,2Y X ).由于M 点在C1上，所以
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂=sin 222,cos 22y x 即 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂+=∂=s i n 44c o s 4y x
从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y αα=⎧⎨
=+⎩（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．
射线
3π
θ=
与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线
3π
θ=
与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=．
所以21||||AB ρρ-==
2010年高考题
1.（2010湖南文）4. 极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t ⎧=--⎨
=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是
A. 直线、直线
B. 直线、圆
C. 圆、圆
D. 圆、直线 【答案】
D
3.（2010北京理）极坐标方程（p-1）（θπ
-）=（p≥0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线
（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线【答案】C
4.（2010湖南理）极坐标方程
cos
ρθ
=和参数方程
1
23
x t
y t
=--
⎧
⎨
=+
⎩（t为参数）所表示的图形分别是
A、圆、直线
B、直线、圆
C、圆、圆
D、直线、直线
5.（2010安徽理）设曲线C的参数方程为
23cos
13sin
x
y
θ
θ
=+
⎧
⎨
=-+
⎩（θ为参数），直线l的方程为320
x y
-+=，
则曲线C上到直线l
距离为的点的个数为
A、1
B、2
C、3
D、4 【答案】B
【解析】化曲线C的参数方程为普通方程：
22
(2)(1)9
x y
-++=，圆心(2,1)
-到直线320
x y
-+=的
距离
3
d==<
，直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，
又
3
1010
>-
，在直线l的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.
【方法总结】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C上到直线l
距离为，
然后再判断知
3
>
，进而得出结论.
二、填空题
6.（坐标系与参数方程选做题）参数方程
cos,
1sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=+
⎩（α为参数）化成普通方程为
【答案】x2＋（y－1）2＝1.
解析：
1
sin
cos
)1
(2
2
2
2=
+
=
-
+α
α
y
x
7.（2010天津理）已知圆C的圆心是直线
1,
(
1
x
t
y t
=
⎧
⎨
=+
⎩
为参数）
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为
【答案】
22
(1)2
x y
++=
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。

令y=0得t=-1，所以直线1x t y t =⎧⎨
=+⎩
与x 轴的交点为（-1.0）
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
r =
=，所以圆C 的方程为
22(1)2x y ++=
【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。

8.（2010广东理）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与
cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______．
【答案】
3)4π
．
由极坐标方程与普通方程的互化式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩
知，这两条曲线的普通方程分别为
222,1x y y x +==-．解得1,1.x y =-⎧⎨=⎩由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得点（-1，1
）的极坐标为3)
4π
． 9.（2010广东文）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系),(θρ)20(πθ≤≤中，曲线1
)sin (cos =+θθρ与1)sin (cos =-θθρ的交点的极坐标为
.
三、简答题
10.（2010辽宁理）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 已知P 为半圆C ：
M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧
的长度均为3π。

O 为坐标原点，点（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。

解：
（Ⅰ）由已知，M 点的极角为3π，且M 点的极径等于3π
，
故点M 的极坐标为（3π，3π
）. ……5分
（Ⅱ）M
点的直角坐标为（,
6
6π
），A （0,1），故直线AM 的参数方程为
1(1)66x t y t π⎧
=+-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数） ……10分
11.（2010福建理）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。

如果多做，则按所做的前两题计分。

作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=11a b ⎛⎫
⎪⎝⎭，20c N d ⎛⎫=
⎪⎝⎭，且
2020MN ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为3,22x t y t ⎧=-
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数）。

在极坐标系（与直角坐标系xoy
取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C
的方程为ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P
的坐标为，
求|PA|+|PB|。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-。

（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为
{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

（1）选修4-2：矩阵与变换
【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】（Ⅰ）由题设得02200220c ad bc b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩，解得1122
a b c d =-⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩；
（Ⅱ）因为矩阵M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线3y x =上的两（0，0），（1，3），
由001111-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭00⎛⎫ ⎪⎝⎭，131111-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭22-⎛⎫ ⎪⎝⎭得：点（0，0），（1，3）在矩阵M 所对应的线性变换下
的像是（0，0），（-2，2），从而
直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y x =-。

（2）选修4-4：坐标系与参数方程
【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】
（Ⅰ）由ρθ=
得22
0,x y +-=
即
22( 5.x y += （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程，得
22
(3)()522t t -
+=，
即240,t -+=
由于
2
4420∆=-⨯=>，故可设12
,t t 是上述方程的两实根，
所以12124t t l P t t ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩又直线过点故由上式及t 的几何意义得：
|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t
= （3）选修4-5：不等式选讲
【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】（Ⅰ）由()3f x ≤得||3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，
又已知不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，所以31
35a a -=-⎧⎨+=⎩
，解得2a =。

（Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()=()(5)g x f x f x ++，于是
()=|x-2||3|g x x ++=21,<35,3221,>2x x x x x ---⎧⎪
-≤≤⎨⎪
+⎩，所以
当x<-3时，g(x)>5；当-3x 2≤≤时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。

12.（2010江苏卷） [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。

若多做，则按作答的前两题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。

[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。

满分10分。

解：22cos ρρθ=，圆ρ=2cos θ的普通方程为：
22222,(1)1x y x x y +=-+=， 直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为：340x y a ++=，
1,
=解得：2a =，或8a =-。

第二部分 两年模拟题
2012届高三模拟试题
1.（2012年西城二模理3）椭圆 3cos 5sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩
(ϕ是参数)的离心率是（ B ）
A ．
35 B.45 C.925 D.16
25
2.（2012年朝阳二模理5）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,
4x t y t
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数）．以原点O
为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为)4
ρθπ
=+，则直线l 和
曲线C 的公共点有（ B ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
3.（2012年海淀二模理3）直线11x t
y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）的倾斜角的大小为（ D ）
A ．4
-
π
B.
4π C.2
π D.
34
π
4.（2012年丰台二模理9）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____． 答案：(1,
)2
π。

5.（2012年昌平二模理4）已知直线l ：为参数）
t t y t
x (1
⎩⎨⎧+==，圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是（ C ）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 1
6.（2012年东城二模理10）若圆C的参数方程为
3cos1,
3sin
x
y
=+
⎧
⎨
=
⎩
θ
θ（
θ为参数），则圆C的
答案：(1,0)；2
7、（安徽省安庆市2012
年3月高三第二次模拟理科）以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，则曲线
x x ϕϕ
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（ϕ为参数，R
ϕ∈）上的点到曲线cos sin4(,)R
ρθρθρθ
+
=∈的最短距离是
A、0
B、
C、1
D、
【答案】B
8、（安徽省皖南八校2012届高三第二次联考理科）
1
() sin()
4
R
ρ
π
θ
=∈
+
的距离为_____ 解答：
2
21
sin cos11
sin()
4
x y
ρθρθ
π
θ
=⇒+=⇒+=
+
，故
2
2
=
d.
9．（2012年西城区高三期末考试理2）已知圆的直角坐标方程为2220
x y y
+-=．在以原
点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ B ）
A．2cos
ρθ
= B．2sin
ρθ
= C．2cos
ρθ
=- D．2sin
ρθ
=-
10.【广东省肇庆市2012届高三第一次模拟理】14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2
ρ=上的点到直线()6
sin
3
cos=
+θ
θ
ρ的距离的最小值为▲
【答案】1.
【解析】圆的直角坐标方程为224
x y
+=
，直线的直角坐标方程为60
x+-=，圆心到直线的距离3
d==，所以圆上一点直线的最小值等于321
d r
-=-=
11.【广东省肇庆市2012届高三上学期期末理】15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
)
,
(θ
ρ)
2
0(π
θ≤
≤中，点
5
(2,)
4
P
π
到直线cos()
4
π
ρθ-=
的距离等于
【答案】2
【解析】点
5
(2,)
4
P
π
的直角坐标
为(，直线cos()
4
π
ρθ-=的直角坐
标方程为
20
x y
+-
=
，所以2
d==.
12.【广东省镇江一中2012高三10月模拟理】15．（坐标系与参数方程选做题）已知点P（x,y）在曲线
2cos
sin
x
y
θ
θ
=-+
⎧
⎨
=
⎩
（θ为参数，[,2)
θππ
∈上，则
y
x
的取值范围为．
【答案】 13.【广东省肇庆市2012届高三第二次模拟理】14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2ρ=与cos sin 0θθ+=（0θπ≤≤）的交点的极坐标为 ▲
【答案】32,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】解析1：由2224cos sin 0
x x y y x y ρθθ⎧==⎧+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-=⎩⎩⎪⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（舍去）得32,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
解析2：由cos sin 0tan 1θθθ+=⇒=-，因为0θπ≤≤，所以34πθ=
，故交点的极坐标为32,4
π
⎛⎫
⎪⎝⎭
14.【广东省云浮中学2012届高三第一次模拟理】14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、2C 的
极坐标方程分别为2cos()2π
ρθ=-+cos()104
π
θ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最
远距离为________.
1
15.【广东省镇江二中2012高三第三次月考理】14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线1:C
22x t a y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数），曲线2:C 2cos 22sin x y θθ=⎧⎨
=+⎩（θ为参数）.若曲线1C 、2C 有公共点，则实数a 的取值范围____________．
【答案】 16.【广东省粤西北九校2012届高三联考理】15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,过圆4cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .
【答案】cos 2ρθ=
17.【广东省深圳市松岗中学2012届高三理科模拟（2）】15、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ，
θ)(02θπ≤＜)中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为_____________．
【答案】3)4
π
18.【广东省深圳市松岗中学2012届高三理科模拟（4）】15．（《坐标系与参数方程》选做题）
以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线
的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线sin cos 1sin 2x y ααα
=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的交点的直角坐
标是 ． 【答案】()1,1-
19.【广东省英德市一中2012届高三模拟考试理】15.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ
=⎧∈⎨=⎩R 经过点1
(,)2m ，
则m =______，离心率e =______.
【答案】415±
，2
20.【广东省深圳市松岗中学2012届高三理科模拟（1）】15（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐
标方程为sin()4
2
π
ρθ+
=
，则点（0,0）到这条直线的距离是 .
21.【广东省深圳高级中学2012届高三上学期期末理】14．(坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，圆22cos 30ρρθ+-=上的动点到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最大值是 ． 【答案】224+
【解析】将极坐标方程转化为直角方程，圆的标准方程为0322
2
=-++x y x ，即4)1(2
2
=++y x ，圆心坐标为)0,1(-，半径为2=r 。

直线方程为07=-+y x ，圆心到直线的距离为
r d >=--=
242
71，所以直线与圆相离，所以圆上动点到直线的最大距离为224+=+r d 。

22.【广东省深圳市2012届高三第二次调研理】14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线
把曲线
所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值
是 ． 【答案】1-
23.【广东省六校2012届高三第四次联考理科】14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2π
ρθ=-+
cos()104
π
θ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远
距离为________.
1
24.【广东省茂名市2012年第二次高考模拟理】14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程
为1cos (sin x y θ
θθ=+⎧⎨=⎩
为参数）
，则曲线C 上的点到直线02=++y x 的距离的最大值为 【答案】
12
2
3+ 【25.广东省梅州中学2012届高三第二次月考试理】14．（坐标系与参数方程选做题）
曲线1C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到曲线2C
：12(112
x t t y t
⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）
上的点的最短距离
为 ．
【答案】1
26.【广东省韶关市2012届高三模拟理】15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11
x t
y t =+⎧⎨
=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的
极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是
1
27.【广东广东省江门市2012年普通高中高三第一次模拟（理）】⒖（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧+==α
α
sin 1cos y x （α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ． 【答案】θρsin 2=
28．(江西省师大附中、鹰潭一中2012年4月高三联考理科)①（极坐标与参数方程选讲选做题）已知点(1cos ,sin )P αα+，参数[0,]απ∈，点Q 在曲线C
：9)
4
ρπ
θ=
+上，则点P 与点Q 之间距离的最小值
为 ．
29．(江西省六校2012届高三联考理科)①在极坐标系中，点A(2,3π-)到直线l ：1)6
cos(=-πθρ的距离为 1
30.（2012山东青岛二中下学期阶段检测）(《坐标系与参数方程选讲》选做题). 已知曲线C 的极坐标方程为
θρcos 2=，则曲线C 上的点到直线t t
y t x (21⎩⎨⎧=+-=为参数）距离的最大值为
.15+
2011届高三模拟题 填空题
1.（广东省中山市桂山中学2011届高三第二次模拟考试文） 在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C
到直线
sin()4
π
ρθ+=的距离为 .
答案
2. （广东省清远市清城区2011届高三第一次模拟考试理）（坐标系与参数方程选做题）点()
2,2-的极坐标为 。

答案
)43,
22(π
3、（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）极坐标系下，直线
2
)4
cos(=-π
θρ 与圆2
=
ρ的公共点个数是________． 答案 1个.
4．（湖北省夷陵中学、钟祥一中2011届高三第二次联考理）在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝3x ＋2m 和圆x2＋y2＝n2相切，其中m ，n ∈N*，0＜| m －n |≤1，若函数f (x)＝mx+1－n 的零点x0∈（k ，k ＋1），k ∈Z ，则k ＝ 答案：0. 简答题
5.（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）（本大题分两小题，每小题7分，共14分）
（1）极坐标系中，A 为曲线
2
2cos 30ρρθ+-=上的动点，B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=的动点，求
AB
距离的最小值。

（2）求函数
y=
答案 5、（本大题分两小题，每小题7分，共14分）
（1）极坐标系中，A 为曲线
2
2cos 30ρρθ+-=上的动点，B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=的动点，求
AB
距离的最小值。

解：圆方程为
()2
214
x y ++=，圆心（-1，0），直线方程为70x y +-=
圆心到直线的距离
d ==，所以
min AB
=2
（2）求函数
y=
解：()()22223415100
10
y x x y =≤+∙-+-=∴≤
当3
4=，即61
25x =
时等号成立。

6．（江苏省南京市九校联合体2011届高三学情分析试卷）（本小题为选做题，满分8分）
已知直线l 的参数方程：12x t
y t =⎧⎨
=+⎩
（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：
)
4sin(22π
θρ+=．
（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l 和圆C 的位置关系． 答案 6. （选做题）（本小题满分8分）
解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ；……………… 2分
)
4(sin 22π
θρ+=即)cos (sin 2θθρ+=，
两边同乘以ρ得
)cos sin (22θρθρρ+=， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：
2)1()1(22=-+-x x ……………… 4分
（2）圆心C 到直线l 的距离
25
5
212|
112|22<=
++-=
d ，
所以直线l 和⊙C 相交．……………… 8分
7.（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题模块）在极坐标系中,过曲线
)0(cos 2sin :2
>=a a L θθρ外的一点),52(θπ+A (其中,2tan =θθ为锐角)作平行于
)
(4
R ∈=
ρπ
θ的直线l 与曲线分别交于
C B ,.
（1）写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建系)；
(2) 若|||,||,|AC BC AB 成等比数列,求a 的值.
答案7. ⑴
2,22-==x y ax y (2)直线l 的参数方程为⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t x 224222(t 为参数),代入ax y 22
=得到
0)4(8)4(222=+++-a t a t ,则有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+
因为|||,|||2
AC AB BC =,所以
21212212214)()(t t t t t t t t ⋅=⋅-+=- 解得 1=a。