2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷.理)

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2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

全卷共150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b =，则b =
A ．（
1,22） B ．（1,22） C ．（1,44
） D ．（1,0） 2.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 3.若ABC ∆的内角A 满足2
sin 23
A =
，则sin cos A A +=
B ．．53 D ．53
- 4．设2()lg 2x f x x +=-，则2
()()2x f f x
+的定义域为 A ．(4,0)(0,4)- B ．(4,1)(1,4)-- C ．(2,1)
(1,2)-- D ．(4,2)(2,4)--
5．在24
(x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有
A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．6项 6．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③
7．设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则点P 的轨迹方程是
A ．2
2331(0,0)2x y x y +
=>> B ．223
31(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22
331(0,0)2
x y x y +=>>
8．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①A
B =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+；
②A B ⊆的充要条件是()()card A card B ≤； ③A
B 的充要条件是()()card A card B ≤；
④A B =的充要条件是()()card A card B =； 其中真命题的序号是
A ．③④
B ．①②
C ．①④
D ．②③
9．已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部＆边界组成。

若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数|z x my =取得最小值，则m = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4
10．关于x 的方程2
2
2
(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假．
命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。

答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11．设,x y 为实数，且
5
11213x y i i i
+=
---，则x y += 。

12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。

（精确到0．01）
13．已知直线5120x y a -+=与圆22
20x x y -+=相切，则a 的值为 。

14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

那么安排这6项工程的不同排法种数是 。

（用数字作答） 15．将杨辉三角中的每一个数r
n C 都换成
1
(1)r
n
n C +，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出
1
111
(1)(1)r x r
n n n n C n C nC --=++，其中x = 。

令331111111
3123060
(1)n n n
a nC n C -=
+++++
+-，则lim n n a →∞= 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。

16．（本小题满分12分）
设函数()()f x a b c =+，其中向量(sin ,cos )a x x =-，(sin ,3cos )b x x =-，
(cos ,sin )c x x =-，x R ∈。

（Ⅰ）、求函数()f x 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数()f x 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d 。

17．（本小题满分13分）
已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列{}n a 的前n
项和为n S ，点(,)()n n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）、设11n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有n N *
∈都成立的最小正整数m ； 18．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是
侧棱1CC 上的一点，CP m =。

（Ⅰ）、试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角
的正切值为
（Ⅱ）、在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，并证明尼的结论。

20．（本小题满分10分）
在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100)N 。

已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
A B
C
D
1A
1B
1C
1D
可共查阅的（部分）标准正态分布表00()()x P x x Φ=<
21．（本小题满分14分）
设,A B 分别为椭圆22
221(,0)x y a b a b
+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4
x =为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。

（此题不要求在答题卡上画图） 22．（本小题满分14分）
设3x =是函数2
3()()()x
f x x ax b e
x R -=++∈的一个极值点。

（Ⅰ）、求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）、设0a >，2
25()()4
x
g x a e =+。

若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围。