2019高中数学第四章圆与方程4.2直线圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系课下含解析新人教A版必修2

课下能力提升(二十四)
[学业水平达标练]
题组1 直线与圆的位置关系
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
2．(2016·洛阳高一检测)直线l: y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的关系是( ) A．相离 B．相切或相交
C．相交 D．相切
3．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
题组2 圆的切线问题
4．若直线y＝x＋a与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A. 2 B．± 2
C．1 D．±1
5．圆心为(3,0)且与直线x＋2y＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－3)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－3)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9
6．(2015·重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
7．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.求直线PA，PB的方程．
题组3 圆的弦长问题
8．设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B. 2 C. 3 D．2
9．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，求直线l的方程．
[能力提升综合练]
1．已知a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l: ax＋by＝0与圆x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是
( )
A ．－2或12
B ．2或－12
C ．－2或－12
D ．2或12
3．(2014·浙江高考)已知圆x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )
A ．－2
B ．－4
C ．－6
D ．－8
4．若点P (2，－1)为圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．2x －y －5＝0 D ．x －y －3＝0
5．过点P (－1,6)且与圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝4相切的直线方程是____________________．
6．直线l: y ＝x ＋b 与曲线C: y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________． 7．(1)圆C 与直线2x ＋y －5＝0切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程；
(2)已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．
8．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆C: x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点．
(1)求四边形PACB 面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P ，使∠BPA ＝60°，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．
答案 [学业水平达标练]
题组1 直线与圆的位置关系
1．解析：选D 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝|3×1＋4×－1＋12|32＋42
＝11
5
，0<d <r ，所以相交但不过圆心． 2．解析：选C l 过定点A (1,1)，∵12
＋12
－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在，∴l 与圆一定相交，故选C.
3．解：圆的方程化为标准式为(x －3)2
＋y 2
＝4， 故圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离d ＝6
m 2＋1
，
圆的半径r ＝2.
(1)若相交，则d <r ，即
6
m 2＋1
<2，
所以m ∈(－∞，－22)∪(22，＋∞)． (2)若相切，则d ＝r ，即6
m 2＋1
＝2，
所以m ＝±2 2. (3)若相离，则d >r ，即
6m 2＋1
>2，
所以m ∈(－22，22)． 题组2 圆的切线问题
4．解析：选B 由题意得|a |
2
＝1，所以a ＝±2，故选B.
5．解析：选B 由题意知所求圆的半径r ＝|3＋2×0|
1＋2＝3，故所求圆的方程为(x －
3)2
＋y 2
＝3，故选B.
6．解析：设切线斜率为k ，则由已知得： k ·k OP ＝－1. ∴k ＝－1
2.∴切线方程为x ＋2y －5＝0.
答案：x ＋2y －5＝0
7．解：切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 圆心到直线的距离等于2，即
|－k －3|
k 2＋1
＝2， ∴k 2
－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，
故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)， 即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. 题组3 圆的弦长问题
8．解析：选D 直线y ＝x 过圆x 2
＋y 2
＝1的圆心C (0,0)，则|AB |＝2. 9．解：由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k . 设直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．
又圆的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝|2k －1－2|1＋k
2
＝12
－⎝
⎛⎭
⎪⎫222
＝22.解得k ＝1或177. 所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1或y ＋2＝17
7(x ＋1)，
即x －y －1＝0或17x －7y ＋3＝0.
[能力提升综合练]
1．解析：选B 联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
＋ax ＋by ＝0，
ax ＋by ＝0，
化简得x
2
＋y 2
＝0，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝0.
即直线l 与圆只有一个公共点(0,0)， 因此它们相切，故选B.
2．解析：选D 因为直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，所以|3＋4－b |
32＋42
＝1⇒b ＝2或12，故选D.
3．解析：选B 圆的标准方程为(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2－a ，r 2
＝2－a ，则圆心(－1,1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为
|－1＋1＋2|2
＝ 2.由22＋(2)2
＝2－a ，得a ＝－4. 4．解析：选D 圆心是点C (1,0)，由CP ⊥AB ，得k AB ＝1，又直线AB 过点P ，所以直线
AB 的方程为x －y －3＝0.
5．解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y －6＝k (x ＋1)，则d ＝|2－6－k －3＋1|1＋k 2
＝2，解得k ＝3
4，此时，直线方程为： 4y －3x －27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x ＝－1，验证可知，符合题意．
答案：4y －3x －27＝0或x ＝－1 6．
解析：如图所示，y ＝1－x 2
是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与
AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2)．
答案：[1，2)
7．解：(1)设圆C 的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
. ∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， ∴2r ＝|15－－5|
22＋1
2
＝45，
∴r ＝25， ∴
|2a ＋b ＋15|
22＋1
2
＝r ＝25， 即|2a ＋b ＋15|＝10， ① |2a ＋b －5|
22＋12
＝r ＝25， 即|2a ＋b －5|＝10， ②
又∵过圆心和切点的直线与切线垂直， ∴
b －1a －2＝1
2
， ③ 由①②③解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1.
∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2
＋(y ＋1)2
＝20. (2)设圆心坐标为(3m ，m )．
∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，
∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2
＝7
＋2m 2
，∴m ＝±1，
∴所求圆C 的方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝9或(x ＋3)2
＋(y ＋1)2
＝9.
8．解：(1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x .
所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×1
2×|AP |×|AC |＝|AP |.
因为|AP |2
＝|PC |2
－|CA |2
＝|PC |2
－1， 所以当|PC |2最小时，|AP |最小．
因为|PC |2＝(1－x )2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋12＋9.
所以当x ＝－45时，|PC |2
min ＝9.
所以|AP |min ＝9－1＝2 2.
即四边形PACB 面积的最小值为2 2.
(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．。