广东省广州市白云区广外附设外语学校2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

广东省广州市白云区广外附设外语学校2020-2021学年九年
级上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程2x 2+6x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2等于（ ）
A ．﹣6
B ．6
C ．﹣3
D ．3
2．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A ．22(2)3y x =++；
B ．22(2)3y x =-+；
C ．22(2)3y x =--；
D ．22(2)3y x =+-. 3．下列事件中，是必然事件的是( )
A ．购买一张彩票，中奖
B ．射击运动员射击一次，命中靶心
C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D ．任意画一个三角形，其内角和是180° 4．下列说法：(1)等弧所对的圆周角相等；(2)过三点可以作一个圆；(3)平分弦的直径垂直于弦；(4)半圆是一条弧，其中正确的是( )
A ．(1)(2)(3)(4)
B ．(1)(2)(3)
C ．(2)(3)(4)
D ．(1)(4)
5．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A ．48π
B ．45π
C ．36π
D ．32π 6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ﹣b 和二次函数y ＝﹣ax 2﹣b 的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（ ）
A ．0c <
B ．240b ac -<
C ．0a b c -+<
D ．图象的对称轴是直线3x =
9．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．若四边形AECF 的面积为20，DE=2，则AE 的长为（ ）
A
．4
B ．
C ．6
D ．10．如图，P 与x 轴交于点()5,0A -，()10
B ,，与y 轴的正半轴交于点
C ．若60ACB ∠=︒，则点C 的纵坐标为( )
A B ． C ．D ．2
二、填空题
11．若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则a _____0（填“＝”或“>”或“<”）． 12．若关于 x 的一元二次方程2x 2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为
__________．
13．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．
14．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，30,
A CD ︒∠==，则⊙O
的半径是_______．
15．如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m ，则根据题意，可列方程为_______.
16．如图，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A 'B 'C ，其中点A '与A 是对应点，点B '与B 是对应点，点B '落在边AC 上，连接A 'B ，若∠ACB ＝45°，AC ＝3，BC ＝2，则A 'B 的长为_____．
三、解答题
17．x 为何值时，两个代数式x 2+1，4x +1的值相等？
18．已知：在ABC 中，AB AC =．
(1)求作：ABC 的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，6BC =，则O S = ．
19．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A 、B 、C 表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D 、E 表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B 、D 两个项目的概率．
20．2021年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2021年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2021年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
21．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2
130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．
22．如图所示，已知抛物线y=13
x 2+bx+c 经过点A(-1,0),B(5,0).
(1)求抛物线的解析式并写出顶点M 的坐标；
(2)若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积.
23．如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥OA ，OC 交于AB 于P ，且CP=CB ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）已知∠BAO=25°，点Q 是弧A m B 上的一点.
①求∠AQB 的度数；
②若OA=18，求弧A m B 的长.
24．如图1，ABC ∆中，,,CA CB ACB D α=∠=为ABC ∆内一点，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆，点,A D 的对应点分别为点,B E ，且,,A D E 三点在同一直线上．
（1）填空：CDE ∠= （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若60α=，请补全图形，再过点C 作CF AE ⊥于点F ，然后探究线段,,CF AE BE 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若90,AC α︒==，且点G 满足90,6AGB BG ︒∠==，直接写出点C 到AG
的距离．
25．已知抛物线22(2)(2020)y x b x c =-+-+-(b ，c 为常数)．
（1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n ( m ＜n )，当m ≤x ≤n 时，恰好有
121221
m n m y n ≤≤+++，求m ，n 的值．
参考答案
1．C
【分析】
先判断方程是否有解，然后根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案.
【详解】
解：∵2642(1)368440∆=-⨯⨯-=+=>， ∴12632
x x +=-
=-； 故选：C ．
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 2．B
【分析】
根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】
解：将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+，
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
3．D
【分析】
先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】
A ．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
B ．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D ．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．
4．D
【分析】
利用确定圆的条件、圆的有关性质及定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：(1)等弧所对的圆周角相等，正确；
(2)过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误；
(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故原命题错误；
(4)半圆是一条弧，正确，
其中正确的是(1)(4)，
故选：D ．
【点睛】
考查了确定圆的条件、圆的有关性质及定义，属于圆的基础知识，比较简单，解题的关键是牢记有关性质及定义.
5．A
【解析】
【分析】
先求出圆锥底面圆半径，然后根据“圆锥的全面积=侧面积+底面积”进行求解即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，
∴28r ππ=，
∴4r =，
∴圆锥的全面积=2
163248S S rl r πππππ+=+=+=侧底，
故选A.
【点睛】
本题考查了圆锥的全面积，正确把握圆锥全面积公式是解题的关键.
6．C
【分析】
根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】
三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
7．A
【解析】
【分析】
可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】
解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；
B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝-ax2-b的图象应该开口向上，故C错误；
D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．D
【分析】
根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】
由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0. A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，B 选项错误；
观察图象可知x ＝－1时y=a －b ＋c ＞0，所以a －b ＋c ＞0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，152
x +=， x ＝3即为函数对称轴，D 选项正确；
故选D
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像. 9．D
【分析】
利用旋转的性质得出四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积，进而可求 出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】 ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．
∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，
AD DC ∴==
2DE =，
Rt ADE ∴∆
中，AE ==
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应 边关系是解题关键．
10．B
【分析】
连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥y 轴于E ，根据圆周角定理得到∠APB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=30°，由垂径定理得到AD=BD=3，解直角三角形
得到=，于是得到结论．
【详解】
连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD AB ⊥于D ，PE BC ⊥于E ，
∵60ACB ∠=︒，
∴120APB ∠=︒，
∵PA PB =，
∴30PAB PBA ∠=∠=︒，
∵()5,0A -，()10
B ,， ∴6AB =，
∴3AD BD ==，
∴PD =，PA PB PC ===
∵PD AB ⊥，PE BC ⊥，90AOC ∠=︒，
∴四边形PEOD 是矩形，
∴OE PD ==
2PE OD ==，
∴CE ===
∴OC CE OE =+=，
∴点C 的纵坐标为.
故选B ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．<
【分析】
由二次函数2y ax bx =+图象的开口向下，可得0a <．
【详解】
解：∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，
∴0a <．
故答案是：<．
【点睛】
考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小．
12．18
【解析】
【分析】
根据“关于x 的一元二次方程2x 2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m 的一元一次方程，解之即可．
【详解】
根据题意得：
△=1-4×
2m=0， 整理得：1-8m=0，
解得：m=
18
， 故答案为：18． 【点睛】
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
13．16
【分析】
画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的
【详解】
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个， ∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为
16， 故答案为16
． 【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．2
【分析】
连接BC ，由圆周角定理和垂径定理得出190,2
ACB CH DH CD ︒∠====
三角形的性质得出22AC CH AC AB BC =====，得出
2,4BC AB ==，求出2OA =即可．
【详解】
解：连接BC ，如图所示：
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，
1
902
ACB CH DH CD ∴∠︒＝，＝＝ 30A ∠︒＝，
2AC CH ∴＝＝，
在Rt ABC ∆中，30A ∠︒＝，
2AC AB BC ∴＝＝，
24BC AB ∴＝，＝，
即⊙O的半径是2；
故答案为2
【点睛】
考查的是垂径定理、圆周角定理、含30角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
15．（12-x）（8-x）=77
【分析】
道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【详解】
道路的宽为x米．依题意得：
(12-x)(8-x)=77，
故答案为(12-x)(8-x)=77.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．
16
【分析】
由旋转的性质可得AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，可得∠A'CB＝90°，由勾股定理可求解．
【详解】
解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，
∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°
∴∠A'CB＝90°
∴A'B=
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
17．x＝0或x＝4
【分析】
根据题意列出方程，利用因式分解法求解可得．
【详解】
解：由题意知x2+1＝4x+1，
整理，得：x2﹣4x＝0，
∵x(x﹣4)＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得x＝0或x＝4．
答：当x＝0或x＝4时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．(1)见解析；(2) 25
【分析】
AB BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作O，O即(1)作线段,
为所求．
(2)在Rt OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【详解】
解：(1)如图O即为所求．
(2)设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ．
由题意4,3OE BE EC ===，
在Rt OBE 中，5OB ==，
∴2·
525O S ππ==圆． 故答案为25π．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．16
． 【分析】
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
画树状图如下
由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中B 、D 两个项目的只有1种情况， 所以小明恰好抽中B 、D 两个项目的概率为
16
． 【点睛】
本题考查用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．我国外贸进出口总值得年平均增长率为10%．
【解析】
【分析】
根据()2a 1x b -=增长率公式建立方程()2301x 36.3+=，解方程即可．
【详解】
设平均增长率为x ，根据题意列方程得：()2301x 36.3+=，
解得1x 0.1==10%，2x 2.1=-（舍）
答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为10%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程应用问题关于增长率类型，利用公式建立方程即可，记忆公式并运用公式是本题的关键．
21．（1）94k ≤
；（2）m 的值为32
． 【分析】
（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；
（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．
【详解】
解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥， 解得94
k ≤； （2）k 的最大整数为2，
方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，
∵一元二次方程()2
130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，
∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32
m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，
而10m -≠，
∴m 的值为
32
． 【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．
22．（1）M （2，-3）；（2）36
【分析】
（1）用待定系数法即可解得抛物线的解析式及顶点M 的坐标；
（2）先求出点C 的坐标，再用面积相加的方法求得四边形AMBC 的面积.
【详解】
解：（1）将点A （-1,0）、点B （5,0）代入y=13
x 2+bx+c 中，得 可得22110315503
b c b c ⎧⨯--+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩（） ， 解得4353b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 所以抛物线的解析式为y = 213
x - 43x - 53， 化为顶点式为y = 21x 23
-（） -3
故点M （2，-3）
（2）代入x=8，可得y=9
故C （8,9）
因为AB=5+1=6，
且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，
所以S四边形AMBC=S△ABM+S△ABC=63
2
⨯-
∣∣
+
69
2
⨯∣∣
=36.
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，（2）中函数图象中四边形的面积需将四边形转化为三角形来求得图形的面积.
23．（1）见解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π.
【解析】
【分析】
(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根据
∠PAO+∠APO=90°，继而得出∠OBC=90°，问题得证；
(2)①根据等腰三角形的性质可得∠ABO=25°，再根据三角形内角和定理可求得∠AOB的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；
②根据弧长公式进行计算即可得.
【详解】
(1)连接OB，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠PAO+∠APO=90°，
∴∠ABO+∠CBP=90°，
∴∠OBC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
(2)①∵∠BAO=25° ，OA=OB ，
∴∠OBA=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，
∴∠AQB=12
∠AOB=65°； ②∵∠AOB=130°，OB=18，
∴l 弧AmB=360130180
18π-⨯（）=23π. 【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
24．（1）1802α-；（2）AE BE =+，理由见解析；（3）1或7 【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质可得,
CD CE DCE a =∠=，即可求解； （2）由旋转的性质可得,,60AD BE CD CE DCE ︒==∠=，可证CDE ∆是等边三角形，
由等边三角形的性质可得DF EF ==
，即可求解； （3）分点G 在AB 的上方和AB 的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．
【详解】
（1）将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆
ACD BCE ∴∆≅∆，DCE a ∠=
CD CE ∴=
1802CDE α-∴∠=
故答案为： 1802
α-
（2）AE BE =+
理由如下：如图，
将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角60得到CBE ∆
ACD BCE ∴∆≅∆
,,60AD BE CD CE DCE ︒∴==∠=
CDE ∴∆是等边三角形，且CF DE ⊥
DF EF ∴== AE AD DF EF =++
AE BE ∴=+ （3）如图，当点G 在AB 上方时，过点C 作CE AG ⊥于点E ，
90,ACB AC BC ︒∠===45,10CAB ABC AB ︒∴∠=∠==
90ACB AGB ︒∠==∠
∴点C ，点G ，点B ，点A 四点共圆
45,AGC ABC ︒∴∠=∠=且CE AG ⊥
45AGC ECG ︒∴∠=∠=
CE GE ∴=
10,6,90AB GB AGB ︒==∠=
8AG ∴==
222AC AE CE =+，
222(8)CE CE ∴=-+
7CE ∴=（不合题意舍去）
，1CE = 若点G 在AB 的下方，过点C 作CF AG ⊥，
同理可得：7CF =
点C 到AG 的距离为1或7．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
25．（1）b =6，c =2019；（2）2020c ＞ ；（3）m =1，n =
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y=-2x 2+（b-2）x+（c-2020）可知，y=-2（x-1）
2+1，易得b 、c 的值；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x 0，y 0），（-x 0，-y 0），代入函数解析式，经过化简得到c=2x 02+2020，易得c>2020；
（3）由题意知，抛物线为y=-2x 2+4x-1=-2（x-1）2+1，则y≤1．利用不等式的性质推知：1n ≤y≤1m
，易得1≤m ＜n ．由二次函数图象的性质得到：当x=m 时，y 最大值=-2m 2+4m-1．当x=n 时，y 最小值=-2n 2+4n-1．所以1m =-2m 2+4m-1，1n
=-2n 2+4n-1通过解方程求得m 、n 的值． 【详解】
（1）由题可设()2
211y x =--+
去括号得：y =－2x 2+4x －1
2420201b c -=⎧∴⎨-=-⎩
， ∴b =6，c =2019
（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为()00,x y 、()00,x y --
代入解析式可得：()()()()200020
00222020222020y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎪⎨-=---+-⎪⎩ ∴两式相加可得：－4x 02+2（c －2020）=0
∴c=2x 02+2020
∵x≠0，
2020c ∴＞，
（3）由（1）可知抛物线为y =－2x 2+4x －1=－2（x －1）2+1，
∴y ≤1，
∵0＜m ＜n ，当m≤x ≤n 时，恰好有121221
m n m y n ≤≤+++， 11y n m
∴≤≤， 11m
∴≤，即m ≥1， ∴1≤m ＜n ，
∵抛物线对称轴x =1，开口向下，
∴当m ≤x ≤n 时，y 随x 增大而减小，
∴当x=m 时，y max =－2m 2+4m －1，
当x=n 时，y min =－2n 2+4n －1， 又11y n m ≤≤， 2212411241n n n m m m ⎧-+-=⎪⎪∴⎨⎪-+-=⎪⎩
①②， 将①整理得：2n 3－4n 2+n +1=0
∴变形得：（2n 3－2n 2）－（2n 2－n －1）=0
即：2n 2（n －1）－（2n +1）（n －1）=0
∴（n －1）（2n 2－2n －1）=0
∵n ＞1
∴2n 2－2n －1=0
112n -∴=（舍去），22
n = 同理整理②得：（m －1）（2m 2－2m －1）=0
∵1≤m ＜n
∴m 1=1，2m =（舍去），3m =（舍去）
∴综上所示：m =1，n =
【点睛】
主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法．该题计算量比较大，需要细心解答．难度较大．。