高考数学一轮总复习第四章平面向量第1讲平面向量及其线性运算课件文

例 2：(1)在△ABC 中，AB 边的高为 CD，若C→B＝a，C→A＝
b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则A→D＝( )
A.13a－13b
B.23a－23b
C.35a－35b
D.45a－45b
第十三页，共26页。
解析：(1)∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝
5，CD＝2
5
5 .
∴BD＝ 55，AD＝4 5 5.∴AD∶BD＝4∶1.∴A→D＝45A→B＝45(C→B－
已→知A→B＋AD＝→λAO，故λ＝2. 答案(dá àn)：2
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(3)(2015 年新课标Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点B→C＝
3C→D，则( )
A.A→D＝－13A→B＋43A→C
B.A→D＝13A→B－43A→C
C.A→D＝43A→B＋13A→C
D.A→D＝43A→B－13A→C
第二十五页，共26页。
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑(kǎolǜ)向量 的大小，更重要的是要考虑(kǎolǜ)向量的方向；二是考虑(kǎolǜ)零向量是否 也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多 联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形(línɡ xínɡ)、三角形等，可 多记忆一些有关的结论．在利用向量减法时，易弄错两向量的 顺序，3从．而对求于得两所个求(liǎ向nɡ量ɡ的è)相向反量平向行量的，充导要致条错件误：．a∥b⇔a＝λb，只有b≠0
的长度相等且方向(fāngxiàng)相同，又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方
同．∴a，c 的长度相等且方向(fāngxiàng)相同，故 a＝c.④不正确．当
0 时，答a案，(dcá可àn能)：不A平行．综上所述，正确命题的序号是②③.
第十一页，递性，非零向量的平行(píngxíng)也
B.B→E
D.C→F
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考点(kǎo 平di面ǎn(p) ín1gmiàn)向量的基本概念
例 1：给出下列(xiàliè)命题：
①若|a|＝|b|，则 a＝b；
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形
ABCD 为平行四边形的充要条件；
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
求a与b的相反
减法
向量－b的和 的运算叫做a
与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
求实数λ与向 数乘 量a的积的运
算
(1)|λa|＝____|λ_||_a_| _
(2)当λ>0时，λa的方向 与a的方向相同；当λ<0 时，λa的方向与a的方 向相反；当λ＝0时，λa ＝________ 0
λ(μa)＝___λμ_a_； (λ＋μ)a＝λa＋μa ； λ(a＋b)＝
_λ_a_＋__λ_b____
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3．共线向量(xiàngliàng)定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一(wéi yī)一个实数λ，
使得(shǐ de) b＝λa.
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1．在四边形 ABCD 中，若A→C＝A→B＋A→D，则四边形 ABCD
一定(yīdìnDg)是) ( A．矩形(jǔxíng)
②寻找相应(xiāngyīng)的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简
结果.
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【互动(hù dònɡ)探究】
1．已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足P→A＋B→P ＋C→P＝0，A→P＝λP→D，则实数 λ 的值为_－__2__.
解析：如图 D19，由A→P＝λP→D，且P→A＋B→P＋C→P＝0，则 P 是以 AB，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此A→P＝ －2P→D，则 λ＝－2.
图 D19
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考点(kǎo共d线iǎ向n)量3定理(dìnglǐ)的应用
例 3：设两个非零向量 a 与 b 不共线(ɡònɡ xiàn)．
(1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)．求证：A，B，
D 三点共线(ɡònɡ xiàn)；
((21))试证确明定实：数∵kA，→B使＝kaa＋＋bb和，aB＋→Ckb＝共2线a＋(ɡò8nɡb，xiàCn→)D．＝3(a－b)． ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ 5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线． 又它们有公共点 B，∴A，B，D 三点共线．
[0，＋∞)，则 P 的轨迹一定(yīdìng)通过△ABC 的( )
A．外心
B．内心(nèixīn) C．重心
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D．垂心
解析(jiě xī)：作∠BAC 的平分线 AD.
∵O→P＝O→A＋λ|AA→ →BB|＋|AA→→CC|， ∴A→P＝λ|AA→ →BB|＋|AA→→CC|＝λ′·|AA→→DD|[λ′∈[0，＋∞)]． ∴A→P＝|λA→′D|·A→D.∴A→P∥A→D. ∴点 P 的轨迹一定通过(tōngguò)△ABC 的内心． 答案：B
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(2)解：∵ka＋b 与 a＋kb 共线(ɡònɡ xiàn)，
∴存在(cúnzài)实数λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
即 ka＋b＝λa＋λkb.
∴∵(ak，－λb)a是＝不(λk共－线1)的b. 两个(liǎnɡ ɡè)非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.
其中正确命题的序号是(
④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
A．②③
B．②④
) C．③④
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D．②③④
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不 一定相同．②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且 AB∥DC，又 A， B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反 之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|A→B|＝|D→C|，AB∥DC 且 A→B，D→C方向相同，因此，A→B＝D→C.③正确．∵a＝b，∴a，b
B．菱形(línɡ xínɡ)
C．正方形
D．平行四边形
解析：依题意得A→B＋B→C＝A→B＋A→D，B→C＝A→D，因此 BC∥
AD，且 BC＝AD，四边形 ABCD 是平行四边形．故选 D.
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2．已知 ABCD 为平行四边形，若向量A→B＝a，A→C＝b，则
向量B→C为( C )
C→A)＝45a－45b.
答案(dáàn)：D
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(2)(2013 年四川)如图 4-1-2，在平行四边形 ABCD 中，对角(duì jiǎo)
线AC与BD交于点→O，→AB＋AD→＝λAO，则λ＝________.
图 4-1-2 解析：因为(yīn wèi)ABCD为平行四边形，所以AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，
解析：由|O→A|＝|O→B|＝|O→C|，知 O 为△ABC 的外心； 由N→A＋N→B＋N→C＝0，知 O 为△ABC 的重心； ∵P→A·P→B＝P→B·P→C， ∴(P→A－P→C)·P→B＝0.∴C→A·P→B＝0.∴C→A⊥P→B. 同理，PA⊥BC，∴P 为△ABC 的垂心．
答案(dáàn)：C
(3) 了解向量线性运算的性
2011 年新课标卷第 13 题 考查平面向量的垂直运 算、单位向量等；
2014 年新课标卷Ⅰ第 6 题考查向量的加法及线 性运算；
2015 年新课标卷Ⅰ第 2 题考查向量的加法及线 性运算
从近几年的高考试题看，向量 的线性运算、共线问题是高考 的热点，尤其是向量的线性运 算出现的频率最高，多以选择 题、填空题的形式出现，属中 低档题目．
具有传递性.(2) 共线向量即为平行(píngxíng)向量，它们均与起点无关.
(不3)要向量(b可ùy以à平o)移把，它平与移函后的数向图量象与的原向平量移是混相为等一向量谈.解.(4题)非时，零向量 a 与|aa| 的关
系： 是与 a 同方向的单位向量.
a |a|
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考点(kǎo平d面iǎ向n)量2(xiàngliàng)的线性运算
A．a－b
B．a＋b
C．b－a
D．－a－b
解析：B→C＝A→C－A→B＝b－a.
3．化简A→C－B→D＋C→D－A→B得( D )
A.A→B
B.D→A
C.B→C
D．0
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4．如图 4-1-1，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝ ( D)
A．0 C.A→D
图 4-1-1
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(3)已知 O，N，P 在△ABC 所在平面内，且|O→A|＝|O→B|＝ |O→C|，N→A＋N→B＋N→C＝0，且P→A·P→B＝P→B·P→C＝P→C·P→A，则点 O， N，P 依次是△ABC 的( )
A．重心(zhòngxīn)、外心、垂心B．重心(zhòngxīn)、外心、内心 C．外心、重心(zhòngxīn)、垂心D．外心、重心(zhòngxīn)、内心
名称
定义
向量
既有大小又有方向的量；向量的大 小叫做向量的长度(或称模)
零向量 长度为零的向量；其方向是任意的
备注
平面向量是自由向 量
记作0
单位向量
共线向量 (平行向量) 相等向量
长度等于1个单位的向量
方向相同或相反的非零向量 长度相等且方向相同的向量
非零向量a的单位 向量为± a
|a|
零向量与任一向量 平行或共线
第二十页，共26页。
【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2015 年新课标Ⅱ)设向1量 a，b 不平行，向量λa＋b 与 a＋2b 平行(píngxíng)，则实数λ＝2 ______.
解析：因为向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，所以 λa＋b＝k(a＋ 2b)，则λ1＝＝k2，k， 所以 λ＝12.
解析：由题知A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13(A→C－A→B)
＝－13A→B＋43A→C.故选 A.
答案(dáàn)：A
第十六页，共26页。
【规律方法】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等
向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本
向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；
第二十一页，共26页。
难点突破
⊙利用(lìyòng)向量加法的几何意义解决三角形的四心问题
例题：(1)已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共
线的三点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(A→B＋A→C)，λ∈[0，＋∞)，
则点 P 的轨迹(guǐjì)一定通过△ABC 的( )
A．外心
B．垂心(chuí xīnC) ．内心
第四章 平面(píngmiàn)向量
第1讲 平面向量(xiàngliàng)及其线性运
第一页，共26页。
考纲要求
考点分布
考情风向标
1.平面向量的实际背景及基 本概念． (1)了解向量的实际背景． (2)理解平面向量的概念，理 解两个向量相等的含义． (3)理解向量的几何表示． 2.向量的线性运算． (1)掌握向量的加法、减法的 运算，并理解其几何意义． (2) 掌握向量数乘的运算及 其意义，理解两个向量共线 的含义．
预计 2017 年高考仍将以向量 的线性运算、向量的基本概念 为主要考点，也可与向量加、 减的三角形法则和平行四边 形法则交汇命题． 透彻理解平面向量的有关概 念及运算是学好本节的基础， 因此复习时应注意运用概念
质及其几何意义
分析和求解相关问题
第二页，共26页。
1．向量(xiàngliàng)的有关概念
记作a＝b
第三页，共26页。
2．向量(xiàngliàng)的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和 的运算
三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c)
第四页，共26页。
(续表)
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且
有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量 a，b 共线是指存在 不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b
＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0 时成立，则向量 a，b 不共线．
D．重心
解析：设A→B＋A→C＝A→D，则可知四边形 BACD 是平行四边
形，而A→P＝λA→D表明 A，P，D 三点共线．又 D 在边 BC 的中线
所在直线上，于是点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．
答案：D
第二十二页，共26页。
(2)如图 4-1-3，O 是平面(píngmiàn)上一定点，A，B，C 是平面 共线的三个点，动点 P 满足：O→P＝O→A＋λ|AA→ →BB|＋|AA→→CC|，λ∈