张静,王忠仁主编复变函数与积分变换部分参考答案

张静,王忠仁主编复变函数与积分变换部分参考答案习题一
1.2求下列各式的值。

（1）( -i)
解： -i=2[cos( -30°)+isin(-30°)]
=2[cos30°- isin30°]
( -i) =2 [cos(30° 5)-isin(30° 5)]
=2 (- /2-i/2)
=-16 -16i
（2）（1+i）
解：令z=1+i 则x=Re（z）=1，y=Im（z）=1
r= = =
tan = =1
x>0,y>0
属于第一象限角
=
1+i= （cos +isin ）
（1+i） =（）（cos +isin ）
=8（0-i）
=-8i
(3)
因为
-1=（cos +sin ）
所以
=[cos( /6)+sin( /6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).
（4）求(1-i) 的值。

解：(1-i) =[ (cos- +isin- )]
= [cos( )+isin( )]
(k=0,1,2)
1.3求方程 +8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=
因为-8=8（cos +isin ）
所以 = [cos( +2k )/3+isin( +2k )/3] k=0,1,2 其中 = = =2
即
=2[cos /3+isin /3]=1— i
=2[cos( +2 )/3+isin( +2 )/3]=-2
=2[cos( +4 )/3+isin( +4 )/3]= 1— i
1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。

(1) Im(z)>0
解：设z=x+iy
因为Im(z)>0，即，y>0
而
所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。

由所确定的区域可知，不存在某一个正数M，使得确定区域内的每个点z满足，所以该区域是无界的。

在该区域D内任意作一条简单闭曲线，该曲线的内部总是属于D 区域，所以区域D为单连通区域。

综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。

描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。

1.5（2）
解：该不等式的区域如图所示：
圆 + =4的外部（不包括圆周），无界的，为开的多连通区域
1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的
0<re(z)<1
由直线X=0与X=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。

1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：
（4）
解：即为由圆周与所围成的环形闭区域（包括圆周），是有界多连通闭区域。

如图：
已知映射w=z3，求
（1）点z1=i，z2=1+i，z3= +i，在w平面上的像。

解：z=reiθ，则w=z3r3 。

于是
⑴ Z1=i=e ,
z2=1+i= ( )=
Z3= +i=2（ +i ）=2( )=
经映射后在w平面上的像分别是
W1= =-i,
W2= = （- +i ）=-2+i2，
W3= =8i
注：因输入法问题。

故特设定z的共轭负数为z*,除号为/
1.7：设f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z) (z≠0)
当z→
</re(z)<1
0时，极限不存在
解法一：首先假设z＝r eiθ
则有：(z/z*－z*/z)
＝r2 ( e-2 iθ- e2 iθ )/ r2
＝-2isin2θ
可见是随θ发生变化而变化的变量
所以根据极限必须为常数可知
当z→0时，极限不存在
是以此题得证。

解法二：首先假设z＝x+iy
则(z/z*－z*/z)
＝(z*2 －z2 )/x2 ＋y2
＝-4ixy/ x2 ＋y2
所以可见，当z→0时，
即当x→0, y→0时
因为有lim (x→0, y→0)xy/ x2 ＋y2 极限不存在所以当z→0时，
f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z)的极限不存在
是以此题得证。

2.1 利用导数定义推出：
（1） (zn)、=nzn-1(n为正整数)；
解
=
= (nz +c z +...+c )
=nz
2.1
(2) ( )ˊ=-
=
=-
(2)f(x)=2x3+3y3i
解：∵u=2x3 ，v=3y3 。

, , ,
上述4个偏导处处连续，但仅当2x2=3y2时C-R方程成立。

因而函数只在直线± =0上可导，但是在复平面上不解析。

2.2的第一小题
下列函数在何处可导？何处解析？
解：
在 z 平面上处处连续，且当且仅当
2x = ?1 时，u,v 才满足C-R 条件，故f (z) = u + i v = x -i y仅在
直线
上可导，在z 平面上处处不解析。

7.6(2)：求下列函数的傅里叶变换：f(t)=costsint.
解：F( )=
=
=
=
=
=
2．2以下函数何处可导？何处解析？
f（z）=sinxchy+icosxshy
解： u=sinxchy v=cosxshy
可得
并且上述四个一阶偏导数均连续，所以f(z)在复平面内处处可导，从而在复平面内处处解析。

25页
习题二
2.3指出函数的解析性区域并求其导数
(1) (z-1)5
解：由题可知(z-1)5 处处解析
其导数f’(z)=5(z-1)4
25页
习题二
2.3指出函数的解析性区域并求其导数
（2）
解：设，
则
令
则
又令
即
所以在复平面内处处解析，即在复平面内处处解析，其导数为。

２．３题：指出下列函数的解析性区域，并求其导数；
（３）ｆ（ｚ）＝
解：令－１＝０得
ｚ＝－１和ｚ＝１
所以该函数除ｚ＝－１和ｚ＝１外在复平面上处处解析；
该函数的导数为：＝－
25页：习题二
2.3指出下列函数的解析性区域，并求其倒数。

（4）. (c d中至少有一个不为0)
解.
当c=0时，函数在复平面处处解析；
（）的倒数为；
当c！=0时：函数除z=- 外在复平面处处可导，处处解析；（）的倒数为
=
第二章2.4
求下列函数的奇点；
（1）
解:
因为：当z( )=0;
所以 z=0； =-1
由Z=
计m=-1=cosπ+i sinπ
Z=
=cos +i sin （n=0,1）
当n=0时，z=i；
当n=1时，z=-i；
所以本题奇点分别为0；-i ; i ;
2.4 求下列函数的奇点:
(2)
解:令原函数分母
即:原函数在处不解析,
故原函数的奇点为
2.10求Ln（-i），Ln（-3+4i）和他们的主值。

解：
Ln（-i）=Ln|-i|+i（arg（-i）+2kπ）=i（- +2kπ）
=iπ（2k- ），k=0，+1，+2，…
ln（-i）=ln|-i| + i arg（-i）=-
Ln（-3+4i）=ln|-3+4i| + i［arg（-3+4i）+2kπ］
=ln5+i［（π-arctan ）+2kπ］
=ln5-i［（arctan -（2k+1）π）］，k=0，+1，+2，…ln（-3+4i）=ln|-3+4i| + i arg(-3+4i)=ln5+i(π-arctan )
习题2.12
= = =
= = ==
=
= = = =
= = = =
习题三
46页
3.1沿下列路线计算积分：（1）自原点至3+i 的直线段；解：此直线的参数方程可写成：x=3t，y=t， 0 t 1，
或
z=3t+it，0 t 1，
z=3t+it， =（3+i） .于是
=
书46页
3.1沿下列路线计算积分
(2)自原点沿实轴至，再由铅直向上至
解设原点到
到到
3.2 试用积分的值，其中C为正向圆周： . 解：正向圆周的参数方程为：
由公式得：
复变函数期中作业
习题三
3．4沿指定曲线的正向计算下列各积分: （1）
解：由柯西积分公式得
（4）
, C:|z|=2
解：因为 C：|z|=2，被积函数奇点z=3
所以 f（z）= 在D内解析
所以 =0
3.4（8）
dz/ C:∣z∣=1
解：取 =0在C内，f(z)在C内解析
所以，原式= f(z)dz/ = (z)= = i
3.4
（5） dz ，C为包围Z=0的闭曲线。

解：因为解析函数，也为解析函数，两个解析函数相乘的积还是解析函数。

所以由柯西积分定理得 dz=0
,c=|z|=
∵该区域内，z=±i为奇点
则∵ 的奇点不在|z|= 的范围内，则 =0，
原式=
第47页
3.5计算下列各题
（1） =
=-((zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 - dz ) =cos1-sin1。