2021年湖北省黄冈市三校联考中考数学第一次摸底试卷(解析版)

2021年湖北省黄冈市三校联考中考数学第一次摸底试卷一．选择题（共8小题）.
1．最大的负整数是（）
A．0B．1C．﹣1D．不存在
2．下列把2034000记成科学记数法正确的是（）
A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103
3．下列计算正确的是（）
A．4a2﹣2a2＝2B．3a+a＝3a2
C．4a6÷2a3＝2a2D．﹣2a•a＝﹣2a2
4．如图，下列图形从正面看是三角形的是（）
A．B．C．D．
5．如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（）
A．2B．4C．8D．16
6．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（）
A．25°B．30°C．40°D．50°
7．菏泽市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，初三一班一名同学连
续一周的体温情况如下表所示：
日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日体温（℃）36.236.236.536.336.236.436.3
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（）
A．36.3，36.2B．36.2，36.3C．36.2，36.2D．36.2，36.1
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）
A．B．
C．D．
二．填空题（共8小题）.
9．在数轴上到原点的距离是5的点表示有理数是．
10．若式子有意义，则实数x的取值范围是．
11．把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是．
12．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为．
13．已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2﹣10x+9＝0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是．
14．经过已知点M和N的圆的圆心的轨迹是．
15．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为．
16．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为．
三．解答题
17．先化简，再求值：（+）÷，其中m＝9．
18．解方程：．
19．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且DE＝BF．求证：四边形DEBF 是平行四边形．
20．2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
21．某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的
统计图．
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
22．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m，一楼到地平线的距离BC ＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？（结果精确到0.1m）
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
23．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD2＝CA•CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC＝12，CA＝4，求BE的长．
24．受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）A型600900200
B型8001200400根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”
影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点B的坐标；
（2）直接写出△ABC的形状为；
（3）点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；
（4）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题）.
1．最大的负整数是（）
A．0B．1C．﹣1D．不存在
解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．
故选：C．
2．下列把2034000记成科学记数法正确的是（）
A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．
故选：A．
3．下列计算正确的是（）
A．4a2﹣2a2＝2B．3a+a＝3a2
C．4a6÷2a3＝2a2D．﹣2a•a＝﹣2a2
解：∵4a2﹣2a2＝2a2，
∴选项A不正确；
∵3a+a＝4a，
∴选项B不正确；
∵4a6÷2a3＝2a3，
∴选项C不正确；
∵﹣2a•a＝﹣2a2，
∴选项D正确．
故选：D．
4．如图，下列图形从正面看是三角形的是（）
A．B．C．D．
【分析】分别写出各选项中几何体的从正面看到的图形，进一步选择答案即可．
解：A、三棱柱从正面看到的是长方形，不合题意；
B、圆台从正面看到的是梯形，不合题意；
C、圆锥从正面看到的是三角形，符合题意；
D、长方体从正面看到的是长方形，不合题意．
故选：C．
5．如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（）
A．2B．4C．8D．16
解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），
∴位似比为：2：1，
∵△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为：4×4＝16．
故选：D．
6．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB＝2∠C，得到答案．解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴＝，
∴∠DOB＝2∠C＝50°．
故选：D．
7．菏泽市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，初三一班一名同学连续一周的体温情况如下表所示：
日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日体温（℃）36.236.236.536.336.236.436.3
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（）
A．36.3，36.2B．36.2，36.3C．36.2，36.2D．36.2，36.1
解：这周气温出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃，
将这一周的气温从小到大排列后，处在中间位置的是36.3℃，因此中位数是36.3℃，故选：B．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB ∽△ADE，即可判断出y＝（3＜x≤5），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个
即可．
解：（1）当点P在AB上移动时，
点D到直线PA的距离为：
y＝DA＝BC＝4（0≤x≤3）．
（2）如图1，当点P在BC上移动时，，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝，
∵∠PAB+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠PAB＝∠ADE，
在△PAB和△ADE中，
∴△PAB∽△ADE，
∴，
∴，
∴y＝（3＜x≤5）．
综上，可得
y关于x的函数大致图象是：
．
故选：D．
二．填空题（共8小题）.
9．在数轴上到原点的距离是5的点表示有理数是+5，﹣5．【分析】先设出这个数为x，再根据数轴上各点到原点的距离进行解答即可．
解：设这个数是x，则|x|＝5，
解得x＝+5或﹣5．
故答案为：+5，﹣5．
10．若式子有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
解：∵式子有意义，
∴x+1≥0，x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
11．把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是a（x﹣2）2．
【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
12．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为15°．
【分析】根据题意和图形，利用平行线的性质，可以得到∠BAE的度数，再根据∠2＝30°，即可得到∠CAE的度数．
解：由图可知，
∠1＝45°，∠2＝30°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠1＝45°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠2＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：15°．
13．已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2﹣10x+9＝0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是4．
解：设这两个根分别是m，n，
根据题意可得m+n＝5，mn＝，
根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝25﹣9＝16，则这个直角三角形的斜边长是4，
故答案为：4．
14．经过已知点M和N的圆的圆心的轨迹是线段MN的垂直平分线．解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点M和点N的距离相等，即经过已知点M 和点N的圆的圆心的轨迹是线段MN的垂直平分线．
故答案为：线段MN的垂直平分线．
15．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为12．
解：设点A的坐标为（a，），则点B的坐标为（，），
∵AB∥x轴，AC＝2CD，
∴∠BAC＝∠ODC，
∵∠ACB＝∠DCO，
∴△ACB∽△DCO，
∴，
∴，
∵OD＝a，则AB＝2a，
∴点B的横坐标是3a，
∴3a＝，
解得，k＝12，
故答案为：12．
16．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为4或5或6或16．
【分析】分BP＝PQ、BP＝BQ和BQ＝PQ三种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．
解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝20，
∴BQ＝10，
①当BP＝PQ时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1所示：
则BM＝MQ＝5，且四边形ABMP为矩形，
∴AP＝BM＝5，
②当BQ＝BP时，则BP＝10，在Rt△ABP中，AB＝8，由勾股定理可求得AP＝6，
③当PQ＝BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2所示：
过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝6，
则AR＝4，AS＝16，
即R、S为满足条件的P点的位置，
∴AP＝4或16，
综上可知AP为4或5或6或16，
故答案为：4或5或6或16．
三．解答题
17．先化简，再求值：（+）÷，其中m＝9．
解：原式＝×
＝，
当m＝9时，
原式＝＝．
18．解方程：．
解：方程两边都乘以5x（x+2），得3（x+2）＝5x，
即3x+6＝5x，
解得x＝3，
检验：把x＝3代入5x（x+2）≠0，
所以，x＝3是原分式方程的解．
19．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且DE＝BF．求证：四边形DEBF 是平行四边形．
【分析】根据矩形的性质得出∠A＝∠C＝90°AD＝BC，求出Rt△ADE≌Rt△CBF，根据全等得出AE＝CF，根据矩形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，求出BE＝DF，BE∥DF，根据平行四边形的判定推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°AD＝BC，
在Rt△ADE和Rt△CBF中
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
∴AE＝CF，
∵矩形ABCD中AB＝CD，AB∥CD，
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
20．2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于
m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案．
解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，
依题意，得：，
解得：71≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以取72、73、74、75，
∴小丹共有4种进货方案，方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台；方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台．
∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价，
∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，
最低费用为75×10+25×16＝1150元．
21．某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
解：（1）调查的总人数为16÷40%＝40（人），
所以合格等级的人数为40﹣12﹣16﹣2＝10（人），
合格等级人数所占的百分比＝×100%＝25%；优秀等级人数所占的百分比＝×100%＝30%；
统计图为：
（2）600×（30%+40%）＝420，
所以估计成绩达到良好及以上等级的有420名；
（3）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为3，
＝所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率＝＝．
22．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8m，一楼到地平线的距离BC ＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？（结果精确到0.1m）
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
解：（1）由题意可知：∠BAD＝18°，
在Rt△ABD中，AB＝18≈≈5.6（m），
答：应在地面上距点B约5.6m远的A处开始斜坡的施工；
（2）能，理由如下：
如图，过点C作CE⊥AD于点E，
则∠ECD＝∠BAD＝18°，
在Rt△CED中，CE＝CD•cos18°≈2.8×0.95＝2.66（m），
∵2.66＞2.5，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
23．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD2＝CA•CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC＝12，CA＝4，求BE的长．
【分析】（1）易证△CDA∽△CBD，由相似三角形的对应边成比例来证得结论；
（2）连接OD，则∠ADO＝∠BAD，由圆周角定理得出∠BDA＝90°，∠CBD+∠BAD ＝90°，由∠CDA＝∠CBD，得出∠CDA+∠ADO＝90°＝∠CDO，即可得出结论；（3）证明△CDO∽△CBE，得出，由已知求出AB＝8，OA＝OD＝4，OC＝8，由勾股定理求得CD的长，代入比例式即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵∠CDA＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴，∴CD2＝CA•CB
（2）证明：连接OD，如图所示：
则∠ADO＝∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠CBD+∠BAD＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA+∠ADO＝90°＝∠CDO，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线；
（3）解：∵BE是⊙O的切线，
∴∠CBE＝90°，
由（2）知∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠CBE，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDO∽△CBE，
∴，
∵BC＝12，CA＝4，
∴AB＝8，
∴OA＝OD＝4，
∴OC＝CA+OA＝8，
在Rt△CDO中，CD＝＝＝4，
∴，
解得：BE＝．
24．受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）A型600900200
B型8001200400根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”
影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
【分析】（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；
（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；
（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，
解得0≤x≤60，
故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数；
（2）x的取值范围为20≤x≤60．
理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250，
当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000，
（x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25，
解得：x＝20或x＝70．
要使y≥234000，
得20≤x≤70；
∵0≤x≤60，
∴20≤x≤60；
（3）设捐款后每天的利润为w元，
则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a，
对称轴为，
∵0＜a≤100，
∴，
∵抛物线开口向下，
当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，
当x＝40时，w最大，
∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200，
解得a＝30．
25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点B的坐标（1，2）；
（2）直接写出△ABC的形状为等腰直角三角形；
（3）点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；
（4）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2
时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）①把点A（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+中，列方程组，解出即可求得结论；
②配方后可得顶点B的坐标；
（2）利用两点的距离分别计算AB2，AC2，BC2的值，根据勾股定理的逆定理可得：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，作辅助线，求出直线CD的解析式，用含m的代数式表示出点P和点N的坐标，计算PN的长，根据三角形面积公式可得：S关于m的函数关系式，并根据二次函数的性质写出S的最大值时m的值；
（4）分两种情况讨论：①当点Q在x轴下方时，如图3，先确定CF的解析式，利用抛物线与直线CF的解析式列方程，解出可得Q的横坐标；②当Q1在x轴下方时，如图4，同理可得结论．
解：（1）①把点A（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+；
②y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点B的坐标为（1，2）；
故答案为：（1，2）
（2）△ABC的形状是等腰直角三角形，理由是：
如图1，
∵A（﹣1，0），C（3，0），B（1，2），
∴AC2＝（3+1）2＝16，
AB2＝（1+1）2+22＝4+4＝8，
BC2＝（3﹣1）2+（2﹣0）2＝4+4＝8，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC的形状是等腰直角三角形；
（3）由题意得：P（m，﹣m2+m+），
∵A（﹣1，0），B（1，2），
设直线AB的解析式为：y＝kx+n（k≠0），
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∴D（0，1），
同理可得直线CD的解析式为：y＝﹣x+1，
如图2，过P作PN∥y轴，交CD于N，
∴N（m，﹣m+1），
∴PN＝﹣m2+m+﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+，
∴S＝，
＝，
＝﹣m2+2m+，
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S有最大值；
（4）分两种情况：
①当Q在x轴的下方时，如图3，延长BA，CQ交于点F，过F作FG⊥y轴于G，
∵∠BCA+∠QCA＝∠α，且tanα＝2，
∴＝2，
∵BC＝AB＝2，
∴AF＝2，
∵∠FAG＝∠BAC＝45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG＝FG＝2，
∴F（﹣3，﹣2），
∵C（3，0），
同理得直线CF的解析式为：y＝x﹣1，
∵﹣x2+x+＝x﹣1，
3x2﹣4x﹣15＝0，
（x﹣3）（3x+5）＝0，
x1＝3，x2＝﹣，
∴Q的横坐标为﹣；
②当Q1在x轴的上方时，如图4，
∵∠QCA＝∠Q1CA，OD＝OH＝1，由对称得：CQ1经过点D，
∴CQ1的解析式为：y＝﹣x+1，∴﹣x2+x+＝﹣x+1，
解得：x1＝3，x2＝﹣，
∴Q1的横坐标为﹣，
综上，Q的横坐标为﹣或﹣．。