九年级数学期末试卷达标检测卷(Word版 含解析)

九年级数学期末试卷达标检测卷（Word 版 含解析）
一、选择题
1．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（ ）
A ．(0,2)
B ．(2,0)
C ．(0,3)
D ．(3,0)
2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．
的是( )
A ．1
2
DE BC = B ．
AD AE
AB AC
= C ．△ADE ∽△ABC
D ．:1:2ADE
ABC
S S
=
3．已知5
2x y =，则x y y
-的值是（ ） A ．
12 B ．2
C ．
32
D ．
23
4．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6 B ．这组数据的中位数是1 C ．这组数据的众数是6
D ．这组数据的方差是10.2
5．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，CF 为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（ ）
A ．3
B ．5
C ．4
D ．6
6．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．（﹣1，2）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（1，﹣2）
D ．（1，2）
7．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
8．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2
(1)y x k =-++上的三点，则1y ，
2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．231y y y >>
D ．312y y y >>
9．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =1：2，，则:ADE ABC S S ∆∆=
（ ）， A ．
19
B ．
14
C ．
16
D ．
13
10．如图，在矩形中，，
，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点
中，在⊙外的是( )
A ．点
B ．点
C ．点
D ．点
11．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ）
A ．开口向上
B ．对称轴是y 轴
C ．有最低点
D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的
12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
1y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）
A ．0,0a b >>
B ．0,0a b <<
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b <>
二、填空题
13．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.
14．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，D 是BC 上一点，CD ＝2，过点D 的直线l 将△ABC 分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC 相似，若直线l 与△ABC 另一边的交点为点P ，则DP ＝________．
15．一个不透明的袋中原装有2个白球和1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为
2
3
，则袋中应再添加红球____个（以上球除颜色外其他都相同）． 16．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，则m 满足的条件是_____. 17．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝________．
18．如图，AB 是半圆O 的直径，AB=10，过点A 的直线交半圆于点C ，且sin ∠CAB=
45
，连结BC ，点D 为BC 的中点．已知点E 在射线AC 上，△CDE 与△ACB 相似，则线段AE 的长为________；
19．方程29
0x 的解为________.
20．已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．（结果保留π）
21．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．
22．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________．
23．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tan A＝3
4
，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转
90°得到△DEC，点F是DE上一动点，以点F为圆心，FD为半径作⊙F，当FD＝_____时，⊙F与Rt△ABC的边相切．
三、解答题
25．如图1，AB、CD是圆O的两条弦，交点为P.连接AD、BC．OM⊥ AD，ON⊥BC，垂足分别为M、N.连接PM、PN.
图1 图2
（1）求证：△ADP ∽△CBP；
（2）当AB⊥CD时，探究∠PMO与∠PNO的数量关系，并说明理由；
（3）当AB⊥CD时，如图2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四边形PMON的面积.
26．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2的不变值是，A＝．
（2）说明代数式3x2+1没有不变值；
（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．
27．（问题发现）如图1，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB 的面积最大值是；
（问题探究）如图2所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，即分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得△PEF周长的最小值为 km；
（拓展应用）如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在AB 上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．
①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？(小路宽度不计)
②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．
请问：在AB上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．
28．某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
命中环数678910
甲命中相应环数的次数01310
乙命中相应环数的次数20021
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是_____环，乙命中环数的众数是______环；
（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会变小．（填“变大”、“变小”或“不变”）
29．如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 上一点，延长CE 到点F ，使∠FBC ＝∠DCE ，且FB 与AD 相交于点G ． （1）求证：∠D ＝∠F ；
（2）用直尺和圆规在边AD 上作出一点P ，使△BPC ∽△CDP ，并加以证明．（作图要求：保留痕迹，不写作法．）
30．如图，已知抛物线2
14
y x bx c =
++经过ABC 的三个顶点，其中点(0,3)A ，点(12,15)-B ，//AC x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点. （1）求抛物线的解析式；
（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交与点E 、F ，当四边形
AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；
（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
31．如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O ，点D 为⊙O 上一点，且CD=CB 、连接DO 并延长交CB 的延长线于点E
（1）判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若BE=4，DE=8，求AC 的长．
32．已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.
(1)求直线AC 的解析式.
(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积. (3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
令x=0，则y=3，抛物线与y 轴的交点为（0，3）． 【详解】
解：令x=0，则y=3，
∴抛物线与y 轴的交点为（0，3）， 故选：C ． 【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．
2．D
解析：D 【解析】
∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=
1
2
BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，
AD AE
AB AC =， ∴21()4
ADE ABC
S DE S
BC ==. 由此可知：A 、B 、C 三个选项中的结论正确，D 选项中结论错误. 故选D.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
设x=5k （k ≠0），y=2k （k ≠0），代入求值即可． 【详解】 解：∵
52
x y = ∴x=5k （k ≠0），y=2k （k ≠0） ∴523
22
x y k k y k --== 故选：C ． 【点睛】
本题考查分式的性质及化简求值，根据题意，正确计算是解题关键．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数，再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可． 【详解】
解：数据从小到大排列为：1，2，6，6，10， 中位数为：6； 众数为：6；
平均数为：()1
12661055
⨯++++=；
方差为：()()()()()22222
11525656510510.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣
⎦
．
故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题的关键．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
点E 在以F 为圆心的圆上运到，要使AE 最大，则AE 过F ，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F 是BC 的中点，从而得到EF 为△BCD 的中位线，根据平行线的性质证得CD ⊥BC ，根据勾股定理即可求得结论． 【详解】
解：点D 在⊙C 上运动时，点E 在以F 为圆心的圆上运到，要使AE 最大，则AE 过F ， 连接CD ，
∵△ABC 是等边三角形，AB 是直径， ∴EF ⊥BC ， ∴F 是BC 的中点， ∵E 为BD 的中点， ∴EF 为△BCD 的中位线， ∴CD ∥EF ，
∴CD ⊥BC ，BC=4，CD=2，
故2216425BC CD +=+= 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解题的关键．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据顶点式2
()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.
【详解】
∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），
∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）． 故选D ．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【详解】
x=0时，两个函数的函数值y=b ，
所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误； 由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a ＞0，
所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确． 故选C ．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据二次函数的性质得到抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】
解：∵抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，而
A （2，y 1）离直线x =﹣1的距离最远，C （﹣2，y 3）点离直线x =1最近，∴123y y y >>． 故选A ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ，再结合相似比是AD ：AB=1：3，因而面积的比是1：9． 【详解】 解：如图：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：9．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接AC,利用勾股定理求出AC的长度,即可解题.
【详解】
解：如下图,连接AC,
∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,
∴由勾股定理可知对角线AC=5,
∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,
故选C.
【点睛】
本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而
可以解答本题． 【详解】 解：∵二次函数y ＝﹣x 2+x ＝﹣(x 12-)2+14
， ∴a ＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A 错误；
对称轴是直线x ＝
12，故选项B 错误； 当x ＝12时取得最大值14
，该函数有最高点，故选项C 错误； 在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D 正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】
解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1），
∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ，
则函数图象如图所示，
抛物线开口向下，
∴a ＜0，，
又对称轴在y 轴右侧，即02b a
-
> ， ∴b ＞0，
故选D 二、填空题
13．y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移
解析：y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为
y=2(x+2)2-3
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
14．1，，
【解析】
【分析】
分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．
【详解】
BC＝6,CD=2，
∴BD=4,
①如图
解析：1，8
3，
3
2
【解析】
【分析】
分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．
【详解】
BC＝6,CD=2，
∴BD=4,
①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，
∴PD CD
AB BC
=,∴
2
36
DP
=,∴DP=1;
②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．
∴PD BD
AC BC
=,∴
4
46
DP
=,∴DP=8
3
;
③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，
∴DP DC
AB AC
=,∴
2
34
DP
=,∴DP=
3
2
;
④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。

综上所述，满足条件的DP的值为1，8
3
，
3
2
.
【点睛】
本题考查了相似变换，利用分类讨论得出相似三角形是解题的关键，注意不要漏解．15．3
【解析】
【分析】
首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：，解此分式方程即可求得答案．
【详解】
解：设应在该盒子中再添加红球x个，
根据题意得：，
解得：x=3，
经检验，x=3是原分解析：3
【解析】
【分析】
首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：
12
123
x
x
+
=
++
，解此分式方程即可求
得答案．
【详解】
解：设应在该盒子中再添加红球x个，
根据题意得：
12
123
x
x
+
=
++
，
解得：x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可. 【详解】
解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠
解析：2
m≠
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.
【详解】
解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠2.
故答案为：m≠2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键. 17．-3
【解析】
【分析】
观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.
【详解】
解：∵ A（3，﹣
解析：-3
【解析】
【分析】
观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.
【详解】
解：∵ A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，
∴A,B两点关于对称轴对称，
根据中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(-3,-2)，
∴抛物线的对称轴是直线x= -3.
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.
18．3或9 或或
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.
【详解】
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90，
∵sin∠C
解析：3或9 或2
3或34
3
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.
【详解】
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90 ，
∵sin∠CAB=4
5
，
∴
4
5 BC
AB
=,
∵AB=10，
∴BC=8，
∴2222
1086
AC AB BC
=-=-=,
∵点D为BC的中点,
∴CD=4.
∵∠ACB=∠DCE=90︒,
①当∠CDE1=∠ABC时，△ACB∽△E1CD,如图
∴
1
AC BC
CE CD
=，即
1
68
4
CE
=，
∴CE1=3，
∵点E1在射线AC上，
∴AE1=6+3=9，
同理：AE2=6-3=3.
②当∠CE3D=∠ABC时，△ABC∽△DE3C，如图
∴
3
AC BC
CD CE
=，即
3
68
4CE
=，
∴CE3=
16
3
，
∴AE3=6+
16
3
=
34
3
,
同理：AE4=6-
16
3
=
2
3
.
故答案为：3或9 或
2
3
或
34
3
.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.
19．【解析】
【分析】
这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．
【详解】
解：移项得x2=9，
解得x=±3．
故答案为．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这
x=±
解析：3
【解析】
【分析】
这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．
【详解】
解：移项得x2=9，
解得x=±3．
x=±．
故答案为3
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且
a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
20．15π
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【详解】
解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm2．故答案为：15π．
【点睛】
本题考
解析：15π
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【详解】
解：底面圆的半径为3cm ，则底面周长＝6πcm ，侧面面积＝
12
×6π×5＝15πcm 2． 故答案为：15π．
【点睛】 本题考查的知识点圆锥的侧面积公式，牢记公式是解此题的关键．
21．y ＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再
解析：y ＝－5（x +2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．
故答案为：y=-5（x+2）2-3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．
22．=31.5
【解析】
【分析】
根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．
【详解】
根据题意，得：
=31.5
故答案为：=31.5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的
解析：()2
561x -=31.5
【解析】
【分析】
根据题意，第一次降价后的售价为()561x -，第二次降价后的售价为()2
561x -，据此列方程得解．
【详解】
根据题意，得：
()2
561x -=31.5
故答案为：()2561x -=31.5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的． 23．∠ACP=∠B（或）．
【解析】
【分析】
由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【详解】
解析：∠ACP=∠B （或
AP AC AC AB =）． 【解析】
【分析】
由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【详解】
解：∵∠PAC=∠CAB ，
∴当∠ACP=∠B 时，△ACP ∽△ABC ； 当AP AC AC AB
=时，△ACP ∽△ABC ． 故答案为：∠ACP=∠B （或
AP AC AC AB
=）． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．
24．或
【解析】
【分析】
如图1，当⊙F 与Rt△ABC 的边AC 相切时，切点为H ，连接FH ，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC ＝4，AB ＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE ＝AB ＝5
解析：
209或145
【解析】
【分析】 如图1，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，切点为H ，连接FH ，则HF ⊥AC ，解直角三角形得到AC ＝4，AB ＝5，根据旋转的性质得到∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，
根据相似三角形的性质得到DF ＝
209
；如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，推出点H 为切点，DH 为⊙F 的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】 如图1，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，切点为H ，
连接FH ，则HF ⊥AC ，
∴DF ＝HF ，
∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝
BC AC ＝34， ∴AC ＝4，AB ＝5，
将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，
∴∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，
∵FH ⊥AC ，CD ⊥AC ，
∴FH ∥CD ，
∴△EFH ∽△EDC ，
∴
FH CD ＝EF DE ， ∴4DF ＝55
DF ， 解得：DF ＝
209； 如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，
∵∠A＝∠D，∠AEH＝∠DEC
∴∠AHE＝90°，
∴点H为切点，DH为⊙F的直径，∴△DEC∽△DBH，
∴DE
BD
＝
CD
DH
，
∴5
7
＝
4
DH
，
∴DH＝28
5
，
∴DF＝14
5
，
综上所述，当FD＝20
9
或
14
5
时，⊙F与Rt△ABC的边相切，
故答案为：20
9
或
14
5
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
25．（1）证明见解析；（2）∠PMO=∠PNO，理由见解析；（3）S平行四边形PMON3
【解析】
【分析】
（1）利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,（2）由OM⊥ AD，ON⊥BC得到M、N为AB、CD的中点，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,（3）由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=∠PBD,得到四边形MONP为平行四边形即可解题.
【详解】
（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP∽△CBP.
（2）∠PMO=∠PNO
因为OM⊥ AD，ON⊥BC，
所以点M、N为AB、CD的中点，
又AB⊥CD，
所以PM=1
2
AD,PN=
1
2
BC，
所以，∠A=∠APM，∠C=∠CPN，
所以∠AMP=∠CNP,得到∠PMO与∠PNO. （3）连接CO并延长交圆O于点Q，连接BD.
因为AB⊥CD，AM=1
2
AD,CN=
1
2
BC，
所以PM=1
2
AD,PN=
1
2
BC.
由三角形中位线性质得，ON=1
BQ 2
.
因为CQ为圆O直径，所以∠QBC=90°，
则∠Q+∠QCB=90°，
由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q，
所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD，
所以PM=ON.
同理可得，PN=OM.所以四边形MONP为平行四边形.
S平行四边形3
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的基本知识,圆周角的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定,综合性强,熟悉圆周角的性质是求解（1）的关键,利用斜边中线等于斜边一半这一性质是求解（2）的关键,证明四边形MONP为平行四边形是求解（3）的关键. 26．（1）﹣1和2；3；（2）见解析；（3）﹣3或1
【解析】
【分析】
（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；
（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2﹣x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x2+1没有不变值；
（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）依题意，得：x2﹣2＝x，
即x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴A＝2﹣（﹣1）＝3．
故答案为﹣1和2；3．
（2）依题意，得：3x2 +1＝x，
∴3x2﹣x+1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，
∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．
（3）依题意，得：方程x2﹣bx+1= x即x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，
∴b1＝﹣3，b2＝1．
答：b的值为﹣3或1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．
27．[问题发现] 25；[问题探究] 9；[拓展应用]①出口E设在距直线OB的7.2米
处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米，②出口E距直线OB
米.
【解析】
【分析】
[问题发现]△PAB的底边AB一定,面积最大也就是P点到AB的距离最大,故当OP⊥AB
时,
1
2
OP AB
=时最大，值是5，再计算此时△PAB面积即可；
[问题探究]先由对称将折线长转化线段长，即分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，易求得：
MN=，而PE EF PF ME EF FN MN
++=++≥=，即当AP最小时，
PE EF PF
++可取得最小值．
[拓展应用]①四边形CODE面积=S△CDO＋S△CDE′，求出S△CDE′面积最大时即可；
②先利用相似三角形将费用问题转化为CE＋2DE＝CE＋QE，求CE＋QE的最小值问题．然后利用相似三角形性质和勾股定理求解即可。

【详解】
[问题发现]解：当OP⊥AB时,OP时最大，
1
5
2
OP AB
==，此时△APB的面积
=11
10525 22
AB OP=⨯⨯=，
故答案为：25；
[问题探究]解：如图2-1，连接AP ，OP ,分别以AB 、AC 所在直线为对称轴，作出P 关于AB 的对称点为M ，P 关于AC 的对称点为N ，连接MN ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，
AM AP AN ∴==，
MAB PAB ∠=∠，NAC PAC ∠=∠，
60BAC PAB PAC MAB NAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，
120MAN ∴∠=︒
M ∴、P 、N 在以A 为圆心，AP 为半径的圆上，
设AP r =，
易求得：3MN r =，
PE ME =，PF FN =，
3PE EF PF ME EF FN MN r ∴++=++==，
∴当AP 最小时，PE EF PF ++可取得最小值，
AP OP OA +，
AP OA OP ∴-，即点P 在OA 上时，AP 可取得最小值，如图2-2，
如图2-3，设AB 的中点为Q ，
3AQ AC ∴==，
60BAC ∠=︒，
3AQ QC AC BQ ∴====，
30ABC QCB ∴∠=∠=︒，
90ACB ∴∠=︒，
∴由勾股定理可知：33BC =，
60BOC ∠=︒，33OB OC ==，
OBC ∴∆是等边三角形，
60OBC ∴∠=︒，
90ABO ∴∠=︒
∴由勾股定理可知：37OA =，
33OP OB ==，
3733AP r OA OP ∴==-=-，
33219PE EF PF MN r ∴++===-
PE EF PF ∴++的最小值为(3219)km -．
故答案为：3219-
[拓展应用]①如图，作OG ⊥CD ，垂足为G ，延长OG 交AB 于点E ′，则此时△CDE 的面积最大．
∵OA ＝OB ＝12，AC ＝4，点D 为OB 的中点，∴OC ＝8，OD ＝6，
在Rt △COD 中，CD ＝10，OG ＝4.8，∴GE ′＝12－4.8＝7.2，
∴四边形CODE 面积的最大值为S △CDO ＋S △CDE ′＝
12×6×8＋12×10×7.2＝60， 作E ′H ⊥OB ，垂足为H ，则E ′H ＝35OE ′＝35
×12＝7.2．
答：出口E 设在距直线OB 的7.2米处可以使四边形CODE 的面积最大为60平方米． ②铺设小路CE 和DE 的总造价为200CE ＋400DE ＝200（CE ＋2DE ）．
如图，连接OE ，延长OB 到点Q ，使BQ ＝OB ＝12，连接EQ ．
在△EOD 与△QOE 中，∠EOD ＝∠QOE ，且12
OD OE OE OQ ==， ∴△EOD ∽△QOE ，故QE ＝2DE ．
于是CE ＋2DE ＝CE ＋QE ，问题转化为求CE ＋QE 的最小值．
连接CQ ，交AB 于点E ′，此时CE ＋QE 取得最小值为CQ ，
在Rt △COQ 中，CO ＝8，OQ ＝24，∴CQ ＝10，故总造价的最小值为10． 作E ′H ⊥OB ，垂足为H ，连接OE ′，设E ′H ＝x ，则QH ＝3x ，
在Rt △E ′OH 中，222(243)12x x -+=，
解得3666x -=3666x += ∴出口E 距直线OB 3666-米． 【点睛】 本题考查圆的综合问题，涉及轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，综合程度极高，需要学生灵活运用知识．解题关键是：利用对称或相似灵活地将折线长和转化为线段长，从而求折线段的最值。

28．（1）8， 6和9；
（2）甲的成绩比较稳定；（3）变小
【解析】
【分析】
（1）根据众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的定义先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案；
（3）根据方差公式进行求解即可．
【详解】
解：（1）把甲命中环数从小到大排列为7，8，8，8，9，最中间的数是8，则中位数是8；
在乙命中环数中，6和9都出现了2次，出现的次数最多，则乙命中环数的众数是6和9；
故答案为8，6和9；
（2）甲的平均数是：（7+8+8+8+9）÷5=8，
则甲的方差是：1
5
[（7-8）2+3（8-8）2+（9-8）2]=0.4，
乙的平均数是：（6+6+9+9+10）÷5=8，
则甲的方差是：1
5
[2（6-8）2+2（9-8）2+（10-8）2]=2.8，
所以甲的成绩比较稳定；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
故答案为变小．
【点睛】
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据
的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=1
n
[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]；
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．
29．（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，∠FGE＝FBC，再根据已知∠FBC＝
∠DCE，进而可得结论；
（2）作三角形FBC的外接圆交AD于点P即可证明．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠FGE＝∠FBC
∵∠FBC＝∠DCE，
∴∠FGE＝∠DCE
∵∠FEG＝∠DEC
∴∠D＝∠F．
（2）如图所示：。