示范教案（1.2.2解三角形解决有关测量高度的问题）说课

⽰范教案（1.2.2解三⾓形解决有关测量⾼度的问题）说课1.2.2解决有关测量⾼度的问题
从容说课
本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的⾼度的问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接⽤解直⾓三⾓形的⽅法去解决,但常常⽤正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到⼀个可到达的点之间的距离,然后转化为解直⾓三⾓形的问题．在例3中是测出⼀点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C观察A的仰⾓；在例4中是计算出AB的长；在例5中是计算出BC的长，然后转化为解直⾓三⾓形的问题．本节课主要是研究解斜三⾓形在测量中的应⽤，关于测量问题，⼀是要熟悉仰⾓、俯⾓的意义，⼆是要会在⼏个三⾓形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三⾓形的问题．
教学重点1.结合实际测量⼯具，解决⽣活中的测量⾼度问题；
2.画出⽰意图是解应⽤题的关键，也是本节要体现的技能之⼀，需在反复的练习和动⼿操作中加强这⽅⾯能⼒．⽇常⽣活中的实例体现了数学知识的⽣动运⽤，除了能运⽤定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的⽅法来让学⽣多感受问题的演变过程．
教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；
教具准备直尺和投影仪
三维⽬标
⼀、知识与技能
能够运⽤正弦定理、余弦定理等知识和⽅法解决⼀些有关底部不可到达的物体⾼度测量的问题.
⼆、过程与⽅法
本节课是解三⾓形应⽤举例的延伸．采⽤启发与尝试的⽅法，让学⽣在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学⽣逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三⾓形实际问题的⼀般⽅法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，⽬的不在于让学⽣记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学⽣更⼴阔的思考空间.
三、情感态度与价值观
进⼀步培养学⽣学习数学、应⽤数学的意识及观察、归纳、类⽐、概括的能⼒.
教学过程
导⼊新课
师设问：现实⽣活中,⼈们是怎样测量底部不可到达的建筑物⾼度呢？⼜怎样在⽔平飞⾏的飞机上测量飞机下⽅⼭顶的海拔⾼度呢？今天我们就来共同探讨这⽅⾯的问题.
推进新课
【例1】AB是底部B不可到达的⼀个建筑物，A为建筑物的最⾼点，设计⼀种测量建筑物⾼度AB的⽅法．
[合作探究]
师这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接⽤尺去量⼀下就⾏了，
那么⼤家思考⼀下如何去测量这个建筑物的⾼呢？
⽣要求建筑物AB 的⾼，我只要能把A E 的长求出来，然后再加上测⾓仪的⾼度E B 的长就⾏了.
师对了，求AB 长的关键是先求A E ，那谁能说出如何求A E ？
⽣由解直⾓三⾓形的知识，在△ADC 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰⾓，就可以计算出A E 的长．
师那现在的问题就转化成如何去求CA 的长，谁能说说？
⽣应该设法借助解三⾓形的知识测出CA 的长．
⽣为了求CA 的长，应该把CA 放到△DCA 中，由于基线DC 可以测量，且β也可以测量，这样在△DCA 中就已知两⾓和⼀边，所以由正弦定理可以解出CA 的长．
解：选择⼀条⽔平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同⼀条直线上．由在H 、G 两点⽤测⾓仪器测得A 的仰⾓分别是α、β，CD = A ，测⾓仪器的⾼是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sinα+h=)
sin(sin sin βαβα-a +h. 师通过这道题我们是不是可以得到⼀般的求解这种建筑物的⾼的⽅法呢？
⽣要测量某⼀⾼度AB ，只要在地⾯某⼀条直线上取两点D 、C ，量出CD =A 的长并在C 、D 两点测出AB 的仰⾓α、β，则⾼度h a AB +-=)
sin(sin sin βαβα，其中h 为测⾓器的⾼．【例2】如图，在⼭顶铁塔上B 处测得地⾯上⼀点A 的俯⾓α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯⾓β=50°1′．已知铁塔BC 部分的⾼为27.3 m,求出⼭⾼CD (精确到1 m).
[合作探究]
师根据已知条件,⼤家能设计出解题⽅案吗？（给出时间让学⽣讨论思考）要在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？
⽣需求出BD 边．
师那如何求BD 边呢？
⽣可⾸先求出AB 边，再根据∠BAD =α求得．
解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α.
根据正弦定理,
)90sin()sin(ββα+?=-AB BC =，所以)
sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+?=BC BC AB . 在Rt △ABD 中,得BD =AB sin ∠BAD =
)sin(sin cos βααβ-BC . 将测量数据代⼊上式,得
9
34sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'?'?'?='?-'?'?'?=BD ≈177(m), CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m).答:⼭的⾼度约为150⽶.
师有没有别的解法呢？
⽣要在△ACD 中求CD ，可先求出AC ．
师分析得很好，请⼤家接着思考如何求出AC ？
⽣同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得．（解题过程略）
【例3】如图,⼀辆汽车在⼀条⽔平的公路上向正东⾏驶,到A 处时测得公路南侧远处⼀⼭顶D 在东偏南15°的⽅向上,⾏驶5 km 后到达B 处,测得此⼭顶在东偏南25°的⽅向上,仰⾓为8°,求此⼭的⾼度CD .
[合作探究]
师欲求出CD ，⼤家思考在哪个三⾓形中研究⽐较适合呢？
⽣在△BCD 中.
师在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ,根据条件,易计算出哪条边的长？⽣BC 边.
解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理,
===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BC ,≈ 7.452 4(km), CD =BC ×t a n ∠DBC =BC ×t a n8°≈1 047(m).答:⼭的⾼度约为1 047⽶.
课堂练习
⽤同样⾼度的两个测⾓仪AB 和CD 同时望见⽓球E 在它们的正西⽅向的上空,分别测得⽓球的仰⾓α和β,已知BD 间的距离为A ,测⾓仪的⾼度为B ,求⽓球的⾼度.
分析:在Rt △EG A 中求解EG ,只有⾓α⼀个条件,需要再有⼀边长被确定,⽽△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,⽽在△E AC 中有⾓β,
∠E AC =180°-α两⾓与AC =BD =A ⼀边,故可以利⽤正弦定理求解E A .
解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得
)sin(sin βαβ-=a AE .在Rt △A EG 中，EG=A Esinα=)
sin(sin sin βαβα-a .
∴EF=EG+b =b a +-)
sin(sin sin βαβα. 答:⽓球的⾼度是
b a +-)sin(sin sin βαβα. 评述:此题也可以通过解两个直⾓三⾓形来解决,思路如下:设EG=x,在Rt △EG A 中,利⽤co tα表⽰A G,⽽Rt △EG C 中,利⽤co tβ表⽰C G ,⽽C G-A G=CA =BD =A ,故可以求出EG,⼜GF=CD =B ,故EF ⾼度可求.
课堂⼩结
利⽤正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画⽅位图,要懂得从所给的背景资料中进⾏加⼯，抽取主要因素，进⾏适当的简化．
布置作业
课本第17页练习第1、3题.。