人教版九年级下册数学第27章 相似 集训课堂 测素质 相似三角形的性质与判定

结论的序号)．
②④⑤
①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则
︵
DE
的长为89π；
④DEFF＝EBFF；⑤若 EF＝6，则 CE＝2.24.
15 (8分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2， 以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长 BC至点D，使CD＝5，连接DE.求证：△ABC∽△CED.
人教版九年级
第二十七章相似
集训课堂
测素质
相似三角形的性质与判定
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1 【2021·贵港】下列命题是真命题的是( D ) A．同旁内角相等，两直线平行 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两角分别相等的两个三角形相似
Q分别从点A，B同时出发，那么经过________s后，
△PBQ与△ABC相似．
1或2.5
14 【2021·岳阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB
的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，BE＝8，
⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB
于点F，则下列结论正确的是________(写出所有正确
(2)若BE＝5，AC＝20，求EF的长．
解：由(1)得 BF⊥AE. ∵AC⊥AE，∴BF∥AC.∴△EFB∽△EAC.∴BCEE＝BCFA. ∵BE＝5，CB＝AC＝20， ∴CE＝EB＋CB＝5＋20＝25，∴255＝B2F0 .∴BF＝4. 在 Rt△BEF 中，EF＝ BE2－BF2＝ 52－42＝3.
(2)如图②，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
解：过点P作PM⊥BC于点M，设AQ，CP交于 点N，如图所示．
易知△ BMP∽△BCA，∴BBAP＝PAMC ＝BBMC ，∴150t ＝P6M＝B8M. ∴PM＝3t cm，BM＝4t cm，∴CM＝(8－4t)cm. ∵AQ⊥PC，∴∠ANC＝90°，∴∠QAC＋∠NCA＝90°， 又∵∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠QAC＝∠PCM. 又∵∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP， ∴CAMC＝MCQP，∴8－64t＝43tt，解得 t＝78.
易知四边形 ADMG 是矩形． ∴DM＝AG＝2. ∵S△AFN＝12AN·FG＝12×1×2＝1， S△ADM＝12AD·DM＝12×4×2＝4， ∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，故④正确． 故选 C.
9 【中考·潍坊】如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分 别为AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为
19 (12分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm， BC＝8cm.如图①，动点P从点B出发，在BA边上以 每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出 发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运 动时间为ts(0＜t＜2)，连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值．
17 (10分)【2021·贵港】尺规作图(只保留作图痕迹，不要 求写出作法)．如图，已知△ABC，且AB＞AC. (1)在AB边上求作点D，使DB＝DC；
解：如图，点D即为所求．
(2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB. 解：如图，点E即为所求．
18 (10分)【2021·衢州】如图，在△ABC中，CA＝CB，BC 与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于 点E，交⊙A于点F，连接BF. (1)求证：BF是⊙A的切线；
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠EBF＝∠EAD. 又∵∠BEF＝∠AED，∴△EBF∽△EAD. ∴ABDF＝EEBA＝12.∴BF＝12AD＝12BC. ∴BF＝CF.
(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
解：由(1)知 AD∥BC，AD＝BC， ∴∠FCG＝∠DAG. 又∵∠FGC＝∠DGA，∴△FGC∽△DGA. ∴DFGG＝AFDC. ∵FC＝BF＝12BC＝3，∴F4G＝36， 解得 FG＝2.
4 【中考·雅安】如图，每个小正方形的边长均为1，则 下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是
() B
5 【教材 P43 习题 T12 变式】如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BADD的值为( C ) A．1
B．
2 2
C． 2－1
D． 2＋1
6 【教材P57复习题T2变式】一个三角形三边的长分别 为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长
证明：连接AD，如图．∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC. ∵AE⊥AC，∴∠CAB＋∠EAB＝90°. ∵BC与⊙A相切于点D，∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∴∠BAE＝∠BAD.
在△ABF 和△ABD 中，A∠BB＝AEAB＝，∠BAD， AF＝AD，
∴△ABF≌△ABD(SAS)． ∴∠AFB＝∠ADB＝90°.即 AF⊥BF. ∴BF 是⊙A 的切线．
2 如图，在▱ABCD中，AE∶EC＝1∶2，△AEF的周长 为6cm，则△CDE的周长为( ) B A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
3 如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC 的是( C ) A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD C．∠ACD＝∠BCD D．AACB＝AADC
长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接
FH分别与AB，AM交于点N，K，则下列结论：①
△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；
④S△S△ADM＝1∶4.
其中正确的结论有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
C
【点拨】 ∵四边形EFGB是正方形，EB＝2， ∴FG＝EB＝2，∠FGB＝90°.∴∠FGN＝90°. ∵四边形ABCD是正方形，AD＝4，H为AD的中点， ∴AH＝2，∠BAD＝90°. ∴∠HAN＝∠FGN，AH＝GF. 又∵∠ANH＝∠GNF， ∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正确．
是21，则其他两边长的和是( )
A．19
C B．17
C．24
D．21
7 如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点 上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( ) C A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
8 【中考·广东】如图，正方形ABCD的边长为4，延长 CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延
BC边上一点，添加一个条件：___________________， 可以使得△FDB与△ADE相似．DF(只∥需AC写(答出案一不个唯) 一)
10 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC， AC＝8，BC＝16，那么CD＝________. 4
11 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D， CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为 ________．
10
12 已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图 排列，则图中阴影部分的面积为________． 3.75cm2
13 如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从
点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点
B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．如果点P，
∴∠AHN＝∠HFG.易知 AG＝FG＝2＝AH， ∴AF＝ 2FG＝ 2AH.∴∠AFH≠∠AHF. ∴∠AFN≠∠HFG，故②错误． ∵△ANH≌△GNF，∴AN＝12AG＝1. ∵GM＝BC＝4，∴AAHN＝GAMG ＝2.
又∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA. ∴∠ANH＝∠GAM，∠AHN＝∠AMG.∴AK＝NK. ∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG. ∴∠AHK＝∠HAK.∴AK＝HK. ∴AK＝HK＝NK.∴HN＝2NK. ∵△ANH≌△GNF，∴FN＝HN， ∴FN＝2NK，故③正确．
解：由题意知，AB＝10 cm，BP＝5t cm，CQ＝4t cm. ∴BQ＝(8－4t)cm.当△PBQ∽△ABC 时，有APBB＝BBQC， 即当1△50tQ＝B8P－∽84△t.解AB得Ct＝时1，. 有QABB＝BBCP，即8－104t＝58t， 解得 t＝3421.∴当△BPQ 与△ABC 相似时，t＝1 或 t＝3421.
证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴AC＝ 22＋42＝2 5. ∵CE＝AC，∴CE＝2 5.∴ACBE＝CADC. ∵∠B＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠BAC＋∠BCA＝90°，∠BCA＋∠DCE＝90°. ∴∠BAC＝∠DCE.∴△ABC∽△CED.
16 (10分)【中考·张家界】如图，在平行四边形ABCD中， 连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE， 分别交BC，AC于点F，G. (1)求证：BF＝CF.