苏科版九年级数学上册探索三角形相似的条件同步练习册

课题：探索三角形相似的条件（1）（初三上数学010）
学习目标：
1．三角形相似的判定方法（1）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；2．理解相似三角形中的一般解题思路“见平行，想相似”．
例题精讲：
例1．在△ABC与△DEF中，∠A=70°，∠B=42°，∠D=70°，∠E=68°，这两个三角形相似吗？为什么？
例2．如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，△ADE与△ABC相似吗？为什么？
例3．如图，已知在四边形ABCD ，AC 平分∠DAB ，∠ACD =∠ABC ，
求证：AC 2=AB ·AD
例4．如图，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥
AB 于D .
D
C
B
A
D
C
B
A
（1）说明△ACD ∽△ABC ;
（2）图中还有相似三角形吗？如果有，请把它找出来； （3）若AD ＝2，BD =4,试求CD 的长.
例5．（B 版）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD
的中点，连接BE 交AC 于F ，BE 的
BF =3，求线段EF 的长．
延长线交CD 于点G ．(1)求证：BC
AE GB GE
(2)若GE =2，
G
F
E D
C
B
A
课堂过关：
如图，BE ，CD 是△ABC 的高，它们相交于O ，
(1)请你写出与△ABE 相似的三角形有 (2)试说明：AB
OC
AE OE
午后自测：
自我检测题
（一）选择题（每小题5分，共15分） 1．下列每组三角形中一定相似的是（ ）
F
E
D C
B
A
F E D
C
B
A
A ．两个等腰三角形
B ．两个等边三角形
C ．两个钝角三角形
D ．两个直角三角形
2． 如图，□ABCD 中，E 是AD 上的点，连接CE 并延长，与BA 的延长线
交于点F ，则下列结论错误的是（ ）
A ．FA:FB=FE:FE
B ．FA:FB=AE:AD
C ．FB:CD=FC:CE
D ．FA:CD=FE:DE
3． 如图，□ABCD 中，EF ∥AB ,DE:EA=2:3, EF=4,则CD 的
长为（ ）
A ．
3
16
B ．8
C ．10
D ．16 （二）填空题（每空5分，共55分）
4．（1）如图，AB 与CD 相交于点O ，AC 与BD 不平行,则__________=__________或_______=_______时，△AOC ∽△DOB . （2）如图，AD 与BC 相交于点O ，AB ∥CD ，则________∽_________. 5．如图，已知点D 、E 在△ABC 的边AB ,AC 上，若∠1＝∠2，则______∽_______;
若∠2＝∠B ,则_________∽_________
4（1）图 4（2）图 5图 6图 6．如图，在△ABC 中，若AB =7,AD =4，∠B =∠ACD ，则AC =____________ （三）解答题（每小题10分，共30分）
7．如图，D ,E 分别在AB ，AC 上，且∠AED =∠B . （1）请说明△ADE ∽△ACB 的理由；
D
C
B
A
D
E C
B
A
2
1
O
D
C
A B
O
D
C
B
A
（2）如果DE
BC=
2
3
，AD=4,求AC的长.
8．如图，∠1＝∠2＝∠3,试说明△ABC∽△ADE.
E
D
C
B
A
3
2
1
C B
A
E
D
O
9．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF 的长．
F
E
D
C B
A
F E
P D
C
B A
拓展延伸：
1．如图,点P是Rt△ABC的斜边上异于点B,C的一点,过点P作直线截△ABC,
使截得的三角形与△ABC相似。

满足这种条件的直线共有（）条
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=3，P是BC上的一点，PE//AB交AC于点E，PF//CD交BD于点F。

设PE、PF的长分别为m、n，n
m
x+
=．那么当点P在边BC上移动时，x的值是否变化？若变化，求出x的取值范围；若不变，求出x的值，并说明理由．
专项训练二概率初步
一、选择题
1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )
A．通常加热到100℃时，水沸腾B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是360°
2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )
A．25% B．50% C．75% D．85%
3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )
A.1
10
B.
1
5
C.
3
10
D.
2
5
4．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )
A.1
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
3
4
5．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )
A.1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
6
6．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )
A.1
3
B.
1
6
C.
1
9
D.
1
12
7．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )
A.3
16
B.
3
8
C.
5
8
D.
13
16
第7题图第8题图
8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )
A.16
B.π6
C.π8
D.π5
二、填空题
9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝ ⎛
⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概
率是________．
10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．
11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为
0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．
12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．
13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．
14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2≤a ，
1－x ≤2a 有解的概率为________．
三、解答题
15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：
(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于4
5
，求m的值．
16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．
(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；
(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；
(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．
17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是1
3
，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x
的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．
参考答案与解析
1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C
8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2
＝BC 2
＋AC 2
，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为
12＋9－15
2
＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π
6
.
9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.1
3 15．解：(1)
4 2或3
(2)根据题意得6＋m 10＝45
，解得m ＝2，所以m 的值为2.
16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为1
4
；
(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为1
2
，所以锐锐能通关的
概率为12×13＝16
；
(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16
.
17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为1
3
；
(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞1
3
，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
2 3 5 2
2 2
3 2
5 2
18．解：(1)0.33
(2)当x为4时，数字和为9的概率为2
12
＝
1
6
≠
1
3
，所以x不能取4；当x＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是
1
3
.。