江阴市暨阳中学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（ ） A ．
14
B ．
12
C ．1
D ．2
2．若正数x ，y 满足2
440x xy +-=，则x y +的最小值是（ ）
A B ．
5
C ．2
D ．
2
3．已知正数x ，y 满足2021x y xy +=，则2120
x y
+的最小值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于()2,0A 、()6,0B 两点，则不等式220cx bx a +-< 的解集为（ ） A ．(6,2)-- B ．11,,62⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．11,26-
-⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．11,,26⎛
⎫⎛⎫-∞-
-+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
5．已知1
2x >，则2321
x x +-的最小值是（ ）
A ．
32 B 32
C 2
D ．32
6．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、
2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．甲、乙一样
D ．无法确定
7．若对于任意的x ＞0，不等式2
31
x
a x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥
15 B ．a ＞
15
C ．a ＜
15
D ．a ≤
15
8．下列结论不正确的是（ ）
A ．若a b >，0c >，则ac bc >
B ．若a b >，0c >，则
c c a b
> C ．若a b >，则a c b c +>+
D ．若a b >，则a c b c ->-
9．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．
11a b
< B ．55a b > C ．22ac bc >
D ．a b >
10．已知3x >，1
3
y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．已知关于x 的不等式()
()2
2
4210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范
围是（ ） A ．62,5
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
C ．6,25⎛⎤
-
⎥⎝⎦
D ．(][),22,-∞+∞
12．设a 为正实数，数列{}n a 满足1a a =，()14
2n n n
a a n N a *+=+-∈，则（ ） A ．任意0a >，存在2n >，使得2n a < B ．存在0a >，存在2n >，使得1n n a a +< C ．任意0a >，存在*m N ∈，使得m
n a a <
D ．存在0a >，存在*m N ∈，使得n n m a a +=
二、填空题
13．已知0,0,4a b a b >>+=，则
411
a b ++的最小值为__________. 14．已知正数,x y 满足10xy y -+=，则4
y x
+的最小值为___________．
15．已知a 、b 都是正数，且0a b ab +-=，则
1911
b a b +--的最小值是__________． 16．已知“命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题2:340q x x +-<”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________.
17．若命题“对任意实数0a >，0b >且4a b +=，不等式41
m a b
+>恒成立”为假命题，则m 的取值范围为_______.
18．已知实数x ，y ，z 满足：222
3
36x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
，则x y z ++的最大值为_________. 19．若ad bc ≠，则(
)()22
2
2a b c
d ++__________()2
ac bd +.（选“≥”、“≤”、“>”、“<”其
一填入）
20．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠=︒∠的平分线交
AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为________．
参考答案
三、解答题
21．对于四个正数x y z w ，
，，，如果xw yz <，那么称()x y ，是()z w ，的“下位序对”．
（1）对于23711，，
，，试求()27，的“下位序对”； （2）设a b c d ，，，
均为正数，且()a b ，是()c d ，的“下位序对”，试判断c a a c
d b b d
++，，之间的大小关系.
22．设函数2()(,)f x x ax b a b R =-+∈.
（1）若2a =，求函数|()|y f x =在区间[0,3]上的最大值；
（2）试判断：是否存在实数a ，b ，使得当,][0x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由.
23．已知,(0,)a b ∈+∞，函数2()f x ax x b =-+满足(1)0f =. （1）求
41
a a b
++的最小值； （2）解关于x 的不等式()0f x ≤.
24．已知不等式()2
1460a x x --+>的解集为{}
31x x -<<．
（1）解不等式()2
220x a x a +-->；
（2）b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ？
25．已知函数()|21||2|f x x x =---，M 为不等式()1f x <-的解集. （1）求M ；
（2）当,a b M ∈且1a b +=时，4a b tab +≥恒成立，求t 的最大值.
26．已知ABC 内接于
O ，AB c =，BC a =，=CA b ，O 的半径为r .
（1）若230OA OB OC ++=，试求BOC ∠的大小；
（2）若A 为动点，60BAC ∠=︒，AO OC OB λμ=+，试求λμ+的最大值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
设两个正方形的边长分别为x 、y ，可得1x y +=，利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和2
2x y +的最小值.
【详解】
设两个正方形的边长分别为x 、y ，则0x >，0y >且1x y +=，
由基本不等式可得22
2x y xy +≥，所以，(
)()2
22
2
2221x y
x
y xy x y +≥++=+=，
所以，22
12
x y +≥
，当且仅当1
2x y ==时，等号成立，
因此，两个正方形的面积之和2
2x y +的最小值为
1
2
. 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．A
解析：A 【分析】
首先条件变形为2
404x y x
-=>，代入x y +后利用基本不等式求最小值.
【详解】
0,0x y >>，2
2
444004x x xy y x
-+-=⇒=>，解得：02x <<
2431
44x x x y x x x -∴+=+=+≥=，
当
314x x =，即3
x =时等号成立，
即x y + 故选：A 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
3．C
解析：C 【分析】 由已知得20211y x +=，再202121202120x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，运用基本不等式可得选项． 【详解】
由2021x y xy +=得
2021
1y x
+=，
2021202122224212021202120x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当20212120x y y x
=且2021
1y x +=，即42,40x y ==.时，等号成立. 故选：C. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．D
解析：D 【分析】
利用函数图象与x 的交点，可知()2
200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或
26x =，再利用根与系数的关系，转化为4b a =-，12c a =-，最后代入不等式220cx bx a +-<，求解集.
【详解】
由条件可知()2
200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =，
则226b a +=-
，26c
a
⨯=-，得4b a =-，12c a =-， 22201280cx bx a ax ax a ∴+-<⇔---<，
整理为：()()2
1281021610x x x x ++>⇔++>，
解得：16x >-
或12
x <-， 所以不等式的解集是11,,26⎛
⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. 故选：D 【点睛】
思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示4b a =-，12c a =-，再代入不等式
220cx bx a +-<化简后就容易求解.
5．D
解析：D 【分析】
由2111333311212222
x x x x x x ⎛
⎫+
=+=-++
⎪-⎝
⎭-
-，利用均值不等式可得答案.
【详解】 21113333331121222222x x x x x x ⎛⎫+
=+=-++≥= ⎪-⎝⎭-- 当且仅当11
3122
x x ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭-,即1
2
x =
时，取得等号. 故选：D 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
6．B
解析：B 【分析】
分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】
对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +，
平均价格为
1212
22
p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为
12
y y
p p +， 平均价格为12121
2
22p p y
y
y p p p p =
++
.
因为()()()()2
2
1212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，121212
22p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
7．A
解析：A 【分析】
由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】
由题：对于任意的x ＞0，不等式
2
31
x
a x x ≤++恒成立， 即对于任意的x ＞0，不等式
1
13a
x x
≤++
恒成立，
根据基本不等式：10,335x x x >++
≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以
1
13x x
++的最大值为1
5
， 所以15
a ≥. 故选：A
【点睛】
此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.
解析：B 【分析】
根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若
2,1,1a b c ===，则
c c
a b
<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题. 9．B
解析：B 【分析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则
1
a 与1b
的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．D
解析：D 【分析】
由3x >，得到30x ->，化简11
3333
y x x x x =+=-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
因为3x >，所以30x ->，
则11333533y x x x x =+
=-++≥=--， 当且仅当1
33
x x -=-，即4x =时取等号， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.
解析：C 【分析】
由题意得出关于x 的不等式()
()2
2
4210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出
2
40a -=或2400
a ⎧-<⎨
∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】
由题意知，关于x 的不等式()
()2
2
4210a x a x -+--<的解集为R .
（1）当240a -=，即2a =±．
当2a =时，不等式()
()2
2
4210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；
当2a =-时，不等式()
()2
2
4210a x a x -+--<化为410x --<，即1
4
x >-
，其解集不为R ，不合乎题意；
（2）当240a -≠，即2a ≠±时．
关于x 的不等式()
()2
2
4210a x a x -+--<的解集为R .
2400
a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．
综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤
- ⎥⎝⎦
．故选C ． 【点睛】
本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
12．D
解析：D 【分析】
对于选项A ，2n ≥时，2n a ≥，所以该选项不正确；对于选项B ，证明+1n n a a ≥，所以该选项不正确；对于选项C ，令2,a =所以2n a =，所以该选项不正确；对于选项D ，令
2a =.所以2n a =，所以该选项正确.
【详解】
对于选项A ，因为0,a >
所以24222a a a =+-≥=，依次类推得到0n a >， 所以2n ≥
时，114222n n n a a a --=+
-≥=，所以不存在2n ≥，使得
2n a <，所以该选项错误；
对于选项B ,由已知得+142n n n a a a =+
-，所以+1n n
a a =242
1n n a a +-，设11
(0)2n t t a =
<≤，所以+1n n a a =22134214()144
t t t -+=-+≤，所以+1n n a a ≤，所以不存在2n ≥，使得+1n n a a <，所以该选项错误； 对于选项C ，因为0,a >所以242a a a =+
-，令24
2a a a a
=+-=，所以2a =.所以2n a =，所以任意0a >，存在*m N ∈，总有m
n a a <不正确，所以该选项不正确；
对于选项D ，因为0,a >所以242a a a =+
-，令24
2a a a a
=+-=，所以2a =.所以2n a =，所以存在0a >，存在*m N ∈，使得n n m a a +=，所以该选项正确.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，考查数列单调性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题
13．【分析】由可得则展开后利用基本不等式求解即可【详解】当且仅当即时等号成立故的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正（即条件要求中字母
解析：9
5
【分析】
由4a b +=，可得(1)5a b ++= ，则()411111154a b a b a b ⎛⎫+=+++⋅⎡⎤ ⎪⎣
⎦++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】
4,(1)5a b a b +=∴++=，
414114(1)1
4(19
[(1)]52511515
55b a b a b a b a b a b a ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=+++⋅=++⋅⋅=
⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣
⎦， 当且仅当4(1)1b a a b +=+，即102
,33
a b ==时等号成立， 故
411
a b ++的最小值为9
5.
故答案为：
95
. 【点睛】 方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
14．9【分析】由已知条件得出将代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】因为正数满足所以即所以当且仅当即时等号成立故答案为：9
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条 解析：9
【分析】 由已知条件得出11x y +=，将代数式1x y +与4y x
+相乘，展开后利用基本不等式可求得4y x
+
的最小值. 【详解】
因为正数,x y 满足10xy y -+=， 所以1xy y +=，即11x y
+=，
所以4144()()559y x y xy x y x xy +=++=++≥+=， 当且仅当2xy =，即3y =，23x =
时，等号成立. 故答案为：9
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．【分析】由可得出根据已知条件得出将代入所求代数式可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】所以由解得则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必 解析：15
【分析】
由0a b ab +-=可得出1b a b =-，根据已知条件得出1b >，将1
b a b =-代入所求代数式
可得出
()19919111
b b a b b +=-++---，利用基本不等式可求得1911b a b +--的最小值. 【详解】 0a b ab +-=，所以，()1a b b -=-，1
b a b ∴=
-， 由010
b a b b ⎧=>⎪-⎨⎪>⎩，解得1b >，则10b ->， 所以，()()
919191919915111111
b b b b a b b b b -++=+=-++≥=------， 当且仅当4b =时，等号成立，
因此，1911
b a b +--的最小值为15. 故答案为：15.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．或【分析】设命题中的取值集合为命题中的取值集合为由题意可得可求的取值范围【详解】由不等式可得或记集合或解不等式得记集合命题是命题成立的必要不充分条件或即或故答案为：或【点睛】本题考查充分条件必要条件 解析：m 1≥或7m ≤-
【分析】
设命题p 中x 的取值集合为A ，命题q 中x 的取值集合为B .由题意可得B A ≠
⊂，可求m 的取值范围.
【详解】
由不等式2
()3()x m x m ->-，可得()()30x m x m --->. 3,3m m x m +>∴>+或x m <，记集合{3A x x m =>+或}x m <.
解不等式2340x x +-<，得41x -<<，记集合{}
41B x x =-<<. 命题p 是命题q 成立的必要不充分条件，B A ， 1m ∴≥或34m +≤-，即m 1≥或7m ≤-.
故答案为：m 1≥或7m ≤-.
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件和解一元二次不等式，属于基础题.
17．【分析】利用基本不等式求出的最小值可得不等式恒成立时的取值范围再取其补集即可【详解】若不等式对任意实数且恒成立则当且仅当且即时等号成立所以故命题为假命题时的取值范围为故答案为:【点睛】本题主要考查命 解析：94m ≥
【分析】 利用基本不等式求出
41a b +的最小值，可得不等式41m a b +>恒成立时，m 的取值范围，再取其补集即可.
【详解】 若不等式41m a b
+>对任意实数0a >，0b >且4a b +=恒成立，则
411411419()()(5)5)4444
b a a b a b a b a b +=++=++≥=， 当且仅当
4b a a b =且4a b +=，即83a =，43b =时等号成立. 所以94m <，故命题为假命题时，m 的取值范围为94
m ≥. 故答案为: 94
m ≥
【点睛】 本题主要考查命题的真假，基本不等式的应用，属于中档题.
18．【分析】按的正负分类讨论由得至少有一个正数然后分全正一负二负然后利用基本不等式可得结论【详解】首先至少有一个正数（1）如果则由得不成立；（2）若中只有一个负数不妨设则又∴即当且仅当时等号成立；（3）
解析：1+【分析】
按,,x y z 的正负分类讨论，由3x y z ++=得,,x y z 至少有一个正数，然后分全正，一负，二负，然后利用基本不等式可得结论．
【详解】
首先,,x y z 至少有一个正数，
（1）如果0,0,0x y z ≥≥≥，则由3x y z ++=得,,[0,3]x y z ∈，
2222736x y z ++<<，不成立；
（2）若,,x y z 中只有一个负数，不妨设0,0,0x y z ≥≥<，
则3z x y -=+-，22()6()9z x y x y =+-++，又2
222
()36()362x y z x y +=-+≤-， ∴2
()6()9x y x y +-++2()362x y +≤-，即2()4()180x y x y +-+-≤，
2x y +≤
2231x y z x y z x y ++=+-=+-≤+12
x y ==+，
1z =时等号成立；
（3）若,,x y z 中有两个负数，不妨设0,0,0x y z ≥<<，
则3y z x --=-，2
222()362y z y z x ++=-≥， ∴2
2
(3)362x x --≥，整理得22210x x --≤，01x ≤≤+
231x y z x y z x ++=--=-≤+
1x =+12
y z ==-时等号成立；
综上所述，x y z ++的最大值是1+
故答案为：1+【点睛】 本题考查用基本不等式求最值，解题关键是根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后利用基本不等式．
19．＞【分析】作差分析差的正负即可求解【详解】因为又所以所以故答案为：>【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小考查了运算能力属于中档题
解析：＞
【分析】
作差，分析差的正负即可求解.
【详解】
因为
()()()22222a b c d ac bd ++-+
()()
2222222222222a c a d b c b d a c b d acbd +=+++-+ 22222b c a d abcd =+-
20(bc ad )=-≥，
又ad bc ≠
所以2()0bc ad ->
所以()()
22222()a b c d ac bd ++>+， 故答案为：>
【点睛】
本题主要考查了比较法判断两个式子的大小，考查了运算能力，属于中档题.
20．【分析】先根据三角形面积关系列等量关系再根据基本不等式求最值【详解】因为所以因此当且仅当即时取等号即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式利用基本不等式求最值考查综合分析求解能力属中档题 解析：16
【分析】
先根据三角形面积关系列,a c 等量关系，再根据基本不等式求最值.
【详解】
因为ABC ABD BDC S
S S =+, 所以11111sin1201sin 601sin 601222ac a c a c
=⨯⨯+⨯⨯∴+=
因此1199(9)()101016c a a c a c a c a c +=++=+
+≥+= 当且仅当911,1c a a c a c =+=即44,3
a c ==时取等号 即9a c +的最小值为16
故答案为：16
【点睛】
本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无。