专题09 概率统计-备战2021年高考数学（文）经典小题考前必刷 （解析版）

专题09 概率统计
.
平均数、中位数与众数的异同：
⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑴平均数、众数和中位数都有单位；
⑴平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑴中位数不受个别偏大或偏小数据的影响； 概率的基本性质 1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；
（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；
（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必
然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

统计案例
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：a bx y +=∧
（最小二乘法）
1
221n
i i i n
i
i x y nx y b x nx a y bx
==⎧
-⎪
⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。

相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=
n
i n
i i i
n
i i i
y y x x
y y x x
r 1
1
2
21
)()()
)((
注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；
（2）||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

3．回归分析中回归效果的判定： ⑴总偏差平方和：
∑=-n
i i
y y
1
2
)(⑵残差：∧
∧-=i i i y y e ；
⑶残差平方和：2
1
)(∑=∧
-n
i yi yi ；⑷回归平方和：∑=-n
i i
y y
1
2
)(－21
)(∑=∧
-n
i yi yi ；⑸相关指数∑∑==∧
---
=n
i i i
n i i
i y y
y y R 1
2
122)()(1 。

注：①2
R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②2
R 越接近于1，，则回归效果越好。

4．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量2
K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

2×2列联表
K 2=n (ad−bc )2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
难度：★★★☆☆建议用时：15分钟正确率：/15
1．（2021·全国高三专题练习（文））2019年12月12日我国出现了新型冠状病毒所感染的肺炎，新型冠状病毒的传染性极强.下图是2020年1月26号到2月17号全国/湖北/非湖北新增新型冠状病毒感染确诊病例对比图，根据图象下列判断错误的是（）
A．该时段非湖北新增感染确诊病例比湖北少
B．全国新增感染确诊病例平均数先增后减
C．2.12全国新增感染确诊病例明显增加，主要是由湖北引起的
D．2.12全国新增感染确诊病例数突然猛增，不会影响该段时期全国新增病例数的中位数
【答案】B
【分析】由图可知A、C正确，2.12之前平均数先增后减，但2.12新增病例数突然猛增，使得平均数也突然增大，但不会影响中位数，选项B错误，D正确.
故选：B.
2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三月考（理））下列说法中正确的是（）
A．若一组数据1，a，3的平均数是2，则该组数据的方差是2 3
B．线性回归直线不一定过样本中心点(,)
x y
C．若两个随机变量的线性相关越强，则相关系数r的值越接近于1
D．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样
【答案】A
【分析】A. 若一组数据1，a ，3的平均数是2，则2a =，该组数据的方差是
()()()222
1212223233s ⎡⎤=-+-+-=⎣
⎦，故正确；
B. 线性回归直线一定过样本中心点(,)x y ，故错误；
C.若两个随机变量的线性相关越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故错误；
D.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m +50，m +100，m +150，……的学生，这样的抽样方法是系统抽样，故错误； 故选:A
3．（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（文））蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：⑴）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据
下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程ˆ0.25y
x k =+
则当蟋蟀每分钟鸣叫60次时，该地当时的气温预报值为（ ） A ．33⑴ B ．34⑴
C ．35⑴
D ．35.5⑴
【答案】C
【分析】由题意，得40x =，30y =，则0.25300.254020k y x =-=-⨯=； 当60x =时，35y =. 故选：C.
4．（2021·全国高三专题练习（文））人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，下图是这六次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是（ ）
A ．人口数逐次增加，第二次增幅最大
B ．第六次普查人数最多，第四次增幅最小
C ．第六次普查人数最多，第三次增幅最大
D ．人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小
【答案】C
【分析】A.人口数逐次增加，第三次增幅最大，故错误； B.第六次普查人数最多，第六次增幅最小，故错误； C.第六次普查人数最多，第三次增幅最大，故正确； D.人口数逐次增加，从第三次开始增幅减小，故错误； 故选：C
5．（2021·全国高三专题练习（文））已知数据12,,
,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则123x +，
223x +，…，23n x +的平均数和方差分别为（ ）
A ．x 和2s
B ．23x +和24s
C ．23x +和2s
D ．23x +和24129s s ++
【答案】B
【分析】因为数据12,,
,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，
所以123x +，223x +，…，23n x +的平均数和方差分别为23x +和24s 故选：B
6．（2021·全国高三专题练习（文））在区间[]10,10-内任取一数x ，则()2log 33x -≤成立的概率为（ ）
A ．
35
B ．
34
C ．
25
D ．
14
【答案】C
【分析】解：由()2log 33x -≤，得：038x <-≤， 解得：53x -≤<， 故所求的概率为()()352
10105
--=--.
故选：C.
7．（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）两个具有线性相关关系的变量的一组数据()11,x y ，()22,x y ，…
(),n n x y ，下列说法错误的是（ ）
A ．相关系数r 越接近1，变量,x y 相关性越强
B ．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C ．相关指数2R 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D ．若x 表示女大学生的身高，y 表示体重则20.64R ≈表示女大学生的身高解释了64%的体重变化 【答案】B
【分析】：对于A. 根据相关系数r 越接近1，变量相关性越强，故正确；
对于B. 回归直线方程拟合效果的强弱是由相关指数2R 或相关系数r 判定，故不正确； 对于C. 相关指数2R 越小，残差平方和越大，效果越差，故正确；
对于D. 根据2R 的实际意义可得，20.64R ≈表示女大学生的身高解释了64%的体重变化，故正确； 故选：B
8．（2021·河南信阳市·高三月考（文））疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
附表及公式：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，n a b c d =+++．
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为5
，则下列判断错误的是（ ） A ．注射疫苗发病的动物数为10
B ．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为23
C ．能在犯错概率不超过0．001的前提下，认为疫苗有效
D ．该疫苗的有效率为75% 【答案】D
【分析】由题知：注射疫苗动物共40只，未注射为60只， 补充列联表，
由此可得A 、B 正确．
计算得：2
2
100(20104030)16.6710.82860405050
K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，
故能在犯错概率不超过0．001的前提下认为疫苗有效．C 正确，D 错误． 故选：D ．
9．（2021·江西赣州市·高三期末（文））对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观测数据(),(1,2,,8)i i x y i =⋅⋅⋅，其回归直线方程是4y x a =-+，且1282x x x ++⋅⋅⋅+=，12832y y y ++⋅⋅⋅+=-，则实数a 的值为（ ） A ．-5
B ．-24
C ．5
D ．-3
【答案】D 解：根据题意知，1282x x x ++⋯+=，12832y y y ++⋯+=-，
∴11284
x =⨯=，
()1
3248
y =⨯-=-，
∴回归直线4y x a =-+过样本中心点1
(,4)4-，
∴1444
a -=-⨯+，
即实数3a
=-．
故选：D ．
10．（2021·四川高三月考（文））2020年春季.新冠肺炎疫情在全球范围内相维爆发.因为政治制度、文化背景等因素的不同.各个国家疫情防控的效果具有明显差异.右图是西方某国在60天内感染新冠肺炎的累计病例人数y （万人）与时间t （天）的散点图.则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是（ ）
A ．y a bx =+
B ．y a =+
C ．x y a be =+
D ．ln y a b x =+
【答案】C 【分析】
根据散点图，对A 、B 、C 、D 进行分析.
【详解】
根据散点图，可以看出，三点大致分布在一条“指数”函数曲线附近，
选项A 对应的“直线型”的拟合函数；选项B 对应的“幂函数型”的拟合函数；选项D 对应的“对数型”的拟合函数； 故选：C
11．（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x
－85.71.
①y 与x 具有正的线性相关关系； ②回归直线过样本点的中心(x ，y )；
③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； ④若该大学某女生身高为170 cm ，则其体重必为58.79 kg . 则上述判断不正确的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【分析】对选项A ，因为0.850>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 对选项B ，回归直线过样本中心()
,x y ，故B 正确； 对选项C ，因为回归方程为0.8585.71y x =-， 所以身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，故C 正确. 对选项D ，170x =时，0.8517085.7158.79y =⨯-=， 但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg ，故D 错误. 故选：A
12．（2021·内蒙古包头市·高三期末（文））对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为（ ）
A ． 6.517y x =+
B ． 6.518y x =+
C ． 6.527.5y x =+
D ． 6.517.5y x =+
【答案】D 【分析】因为245683040605070
5,5055
x y ++++++++=
===,
所以样本中心为：()5,50，
设回归直线方程为 6.5y x a =+,又直线过样本中心， 解得17.5a =,
所以这条回归直线方程为 6.517.5y x =+ 故选：D
13．（2021·江西高三其他模拟（文））江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）
A ．得分在[40,60)之间的共有40人
B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5
C ．这100名参赛者得分的中位数为65
D ．可求得0.005a = 【答案】C
【分析】由频率分布直方图，可得
A 中，得分在[40,60)之间共有[1(0.030.020.01)10]10040-++⨯⨯=人，所以A 正确；
B 中，从100名参赛者中随机选取1人，
其得分在[60,80)中的概率为(0.030.02)100.5+⨯=，所以B 正确；
D 中，由频率分布直方图的性质，可得(0.010.0350.030 2.0200.010)101a +++++⨯=，
解得0.005a =，所以D 正确.
C 中，前2个小矩形面积之和为0.4，前3个小矩形面积之和为0.7，所以中位数在[60，70]，这100名参赛者得分的中位数为0.50.4601063.30.3-+
⨯≈，所以C 不正确； 故选：C.
14．（2021·全国高三月考（文）） 2.5PM 是评估空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 月均值在335μg m 以下空气质量为一级，在33575μg m 之间空气质量为二级，在375μg m 以上空气质量为超标.某地区2020年1月至12月的 2.5PM 月均值(单位：3μg m )的统计数据如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A ．该地区一年中空气质量超标的月份只有1个月
B ．该地区一年中 2.5PM 月均值2月到7月的方差比8月到11月的方差大
C ．该地区上半年中 2.5PM 月均值的平均数约为61.83
D ．该地区从2月份到7月份 2.5PM 值持续增加
【答案】D
【分析】对于A 项，该地区一年中空气质量超标的月份只有6月份，故A 正确；
对于B 项，由折线图中数据可知，2月到7月相比8月到11月数据较为分散，则2月到7月的方差比8月到11月的方差大，故B 正确；
对于C 项，55455665688261.836
+++++≈，故C 正确； 对于D 项，该地区从2月份到7月份 2.5PM 值先增加后减小，故D 错误；
故选：D
15．（2021·山东高三专题练习）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
【答案】D
【详解】
对于A ，并无周期变化，故A 错，
对于B ，并不是不断减弱，中间有增强．故B 错，
对于C ，10月份的波动大小大于11月份，所以方差要大．故C 错，
对于D ，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．故
D 正确，
故选：D ．
16．（2021·河南信阳市·高三期末（文））已知sin y x =，在区间[],ππ-上任取一个实数x ，则y ≥12
-的概率为（ ）
A ．712
B ．23
C ．34
D ．56
【答案】B 【分析】
1sin ,[,]2
y x x ππ=≥-∈-， 5[,][,]66
x ππππ∴∈--⋃-， 则满足12
y ≥-的概率为： 5()()26
6()3P ππππππ---+--==--. 故选：B.
17．（2021·全国高三专题练习（文））中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题.此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取3π=），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ）
A ．55
B ．50
C ．45
D ．40 【答案】C
17=，设三角形内切圆的半径为r ，面积为S ， 利用等面积法可知()118158151722
S r =⨯⨯=⨯++，解得：3r =， 向该直角三角形内随机抛掷100颗米粒，设落在三角形内切圆内的米粒数大约为x , 则利用几何概型可知：2π311008152x ⨯=⨯⨯，解得：2π31004518152
x ⨯⨯==⨯⨯颗. 所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为45.
故选：C。