人教A版选修2-2 1.2 第二课时 导数的运算法则学案

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 学习目标 1.能利用导数的运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
知识点一导数的运算法则
已知f(x)＝x2，g(x)＝sin x，φ(x)＝3.
思考1 试求f′(x)，g′(x)，φ′(x)．
答f(x)＝2x，g′(x)＝cos x，φ′(x)＝0.
思考2 如何求F(x)＝x2＋sin x，G(x)＝x2－sin x，H(x)＝x2sin x，M(x)＝sin x
x2，
Q(x)
＝3sin x的导数．
答F′(x)＝2x＋cos x，G′(x)＝2x－cos x，H′(x)＝2x sin x＋x2cos x，M′(x)＝
sin x′x2－sin x x2′
x22＝x2cos x－2x sin x
x4＝
x cos x－2sin x
x3，
Q′(x)＝3cos x.
1．和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
2．积的导数
(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(2)[cf(x)]′＝cf′(x)．
3．商的导数
[f x
g x]′＝f′x g x－f x g′x
[g x]2
(g(x)≠0)．
知识点二复合函数的概念及求导法则
已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．
思考1 这三个函数都是复合函数吗？
答函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．思考2 试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？
答设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．
思考3 试求函数y ＝ln(2x ＋5)的导数． 答 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝2
2x ＋5.
复合函数 的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成
x 的函数，那么称这个函数为函数
y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．
复合函数的求导法则 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
类型一 应用导数的运算法则求导 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝
x 5＋x 7＋x 9
x
；(2)y ＝x 2＋1
x 2＋3
；
(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)；(4)y ＝x tan x . 解 (1)∵y ＝
x 5＋x 7＋x 9
x
＝x 2＋x 3＋x 4，
∴y ′＝(x 2)′＋(x 3)′＋(x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.
(2)方法一 y ′＝
x 2＋1′x 2＋3－x 2＋1
x 2＋3′
x 2＋32
＝2x x 2＋3－2x x 2＋1x 2＋32＝
4x x 2＋3
2
.
方法二 y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2
x 2＋3
，
y ′＝(1－2x 2＋3)′＝(－2
x 2＋3)′
＝
－2′x 2＋3－－2
x 2＋3′
x 2＋32
＝
4x x 2＋3
2
.
(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，
y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. (4)f ′(x )＝(x tan x )′＝(x sin x
cos x )′
＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x
＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x
＝sin x cos x ＋x cos 2x
.
反思与感悟 1.解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
3．利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1 (1)若函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，且f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(1)等于( )
A ．24
B ．－24
C ．10
D ．－10 (2)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f ′(π
2)等于( )
A ．－2π B.2π C.1π D ．－1
π
(3)已知y ＝x 2－sin x 2cos x
2，则y ′＝________.
答案 (1)A (2)A (3)2x －1
2
cos x
解析 (1)f ′(x )＝(x －1)′[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′
＝(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′.
f ′(1)＝(1－2)·(1－3)·(1－4)·(1－5)＋0＝24.
(2)f ′(x )＝
cos x ′x －cos x x ′x 2＝－x sin x －cos x
x
2
， f ′(π
2
)＝
－π2π2
2
＝－2π.
(3)∵y ＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －1
2cos x .
类型二 复合函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝3
2x －1
；(2)y ＝
12x ＋1
4
；(3)y ＝5log 3(1－x )；
(4)y ＝x 2
cos(2x －π
3
)．
解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合， ∴y ′＝y u ′·u x ′＝(3u )′·(2x －1)′ ＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3. (2)y ＝
1
2x ＋1
4
＝(2x ＋1)－4
，函数y ＝
1
2x ＋1
4
看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合．
y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′
＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5 ＝
－8
2x ＋1
5
.
(3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．
y ′＝y ′u u ′x ＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝
5
ln 3
x －1
.
(4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π
3
的复合．
∴[cos(2x －π3)′]＝(cos u )′(2x －π
3)′
＝－2sin u ＝－2sin(2x －π
3
)．
∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π
3)]′
＝2x cos(2x －π
3)－2x 2sin(2x －π
3)．
反思与感悟 1.复合函数求导的步骤
2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．
跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. (2)已知y ＝ln 3x
e
x ，则y ′|x ＝1＝________.
(3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝_______________________________________________. 答案 (1)1 (2)1－ln 3e (3)3sin 2x cos x －3sin 3x
解析 (1)令u ＝2x ＋a ，
y ′＝y ′u u ′x ＝[u 2]′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )， f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1.
(2)∵(ln 3x )′＝1
x
，
∴y ′＝
ln 3x ′e x －ln 3x
e x ′
e x 2
＝
1x
－ln 3x e x
＝1－x ln 3x x e x
，
y ′|x ＝1＝1－ln 3
e
.
(3)y ′＝(sin 3x )′＋(cos 3x )′＝3sin 2x cos x －3sin 3x . 类型三 导数运算法则的综合应用
例3 (1)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2
＋b
x
(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且
该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． 答案 －3
解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x
2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－7
2
.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＋b 2＝－5，
4a －b 4＝－7
2，
解得⎩⎨⎧
a ＝－1，
b ＝－2，
则a ＋b ＝－3.
(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x ，若该函数表示的曲线存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．
解 因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1
x
存在零点，
即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1
x
＝0有正实数解，
即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0， 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．
反思与感悟 1.此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．
(2)已知f (x )＝1
3x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.
答案 (1)(e ，e) (2)1
解析 (1)设P (x 0，y 0)，∵y ＝x ln x ，
∴y ′＝ln x ＋x ·1
x
＝1＋ln x ，∴k ＝1＋ln x 0.
又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e.∴y 0＝eln e ＝e. ∴点P 的坐标是(e ，e)．
(2)f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.
1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x
C ．2e x sin x
D ．－2e x (sin x ＋cos x )
答案 D
解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 2．函数y ＝cos x
1－x 的导数是( )
A.－sin x ＋x sin x 1－x 2
B.x sin x －sin x －cos x 1－x 2
C.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2
D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x
答案 C 解析 y ′＝⎝
⎛⎭
⎪⎫cos x 1－x ′＝－sin x 1－x －cos x ·－1
1－x 2
＝cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2
.
3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133 D.103 答案 D
解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4， ∴a ＝103
.
4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 答案 2
解析 由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.
5．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标． 解 ∵直线l 过原点， ∴直线l 的斜率k ＝y 0
x 0
(x 0≠0)， ∵点(x 0，y 0)在曲线C 上，
∴y 0＝x 30－3x 2
0＋2x 0，∴y 0x 0
＝x 20－3x 0＋2，
又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝y ′|0x x ＝3x 20－6x 0＋2，
又k ＝y 0x 0，∴3x 2
0－6x 0＋2＝y 0x 0
＝x 2
0－3x 0＋2，
整理得2x 20－3x 0＝0，
∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时，y 0＝－38，k ＝－14，
∴直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－3
8
)．
1．导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 2．和与差的运算法则可以推广
[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )． 3．积商的求导法则
(1)若c 为常数，则[c ·f (x )]′＝c ·f ′(x )；
(2)类比[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )记忆，[
f x
g x ]′＝
f ′x ·
g x －f x ·g ′x
[g x ]2；
(3)当f (x )＝1时有[1
g x ]′＝－g ′x
[g x ]2
.
4．复合函数求导的步骤
(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系； (2)要弄清每一步求导是哪个变量按什么公式求导，不要混淆； (3)将中间变量代回到自变量(如对x )的函数．
一、选择题
1．下列各函数的导数：
①(x )′＝12x 12-；②(a x )′＝a 2ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1
x ＋1.其中正确
的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 答案 B
解析 (x )′＝(x 12
)′＝12
x 1
2-，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′
＝2cos 2x ，③错误；(
x
x ＋1
)′＝
x ′·x ＋1－x ·x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x x ＋12＝
1
x ＋1
2
，
④错误．故正确的只有1个．
2．已知物体的运动方程是s ＝1
4t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0
的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒
答案 D
解析 s ′＝t 3－12t 2＋32t ，
令s ′＝0，即t 3－12t 2＋32t ＝0，解得t ＝0,4,8.
3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π
2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 答案 C
解析 f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，f ′(4)＝e 4(sin 4＋cos 4)． ∵π<4<3
2π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f ′(4)<0.
由导数的几何意义得切线的倾斜角为钝角． 4．设曲线y ＝
x ＋1
x －1
在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－1
2 D ．－2
答案 D 解析 ∵y ＝
x ＋1x －1＝1＋2
x －1
， ∴y ′＝－
2x －1
2
.∴y ′|x ＝3＝－1
2
. ∴－a ＝2，即a ＝－2.
5．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
答案 C
解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
∵y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，f ′(x )＝2ax ＋b ， ∵y ＝f ′(x )的图象过第一、二、三象限，∴a >0，b >0，
∵y ＝f (x )的图象顶点为(－b 2a ，－b 2
4a )，
又－b 2a <0，－b 2
4a
<0，故顶点在第三象限．
6．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )
A ．4
B ．－14
C ．2
D ．－12
答案 A
解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，
f ′(1)＝
g ′(1)＋2＝4.
7．曲线y ＝e 12
x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92
e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2 答案 D
解析 ∵y ′＝e 12x ·12，∴y ′|x ＝4＝12
e 2. ∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝12
e 2(x －4)， 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，
则切线与坐标轴围成的三角形面积
S ＝12
|－e 2||2|＝e 2. 二、填空题
8．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.
答案 2
解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ，
∴f ′(t )＝1t
＋1，t ＝1时f ′(1)＝2. 9．若函数f (x )＝13
x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 答案 6
解析 ∵f (x )＝13
x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)·x ＋1，
将x ＝－1代入上式得f ′(－1)＝1＋2f ′(－1)＋1，
∴f ′(－1)＝－2，再令x ＝1，得f ′(1)＝6.
10．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.
答案 8
解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x
， 得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，
所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，
此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，
消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得
a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.
11．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. 答案 π6
解析 f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，
f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，
令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，
∵其为奇函数，
∴g (0)＝0即cos φ－3sin φ＝0，tan φ＝33
， 又0<φ<π，∴φ＝π6
. 三、解答题
12．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋
154
x －9都相切，求实数a 的值． 解 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，
设曲线y ＝x 3上任意一点(x 0，x 30)处的切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)． 将(1,0)代入得x 0＝0或x 0＝32
. ①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，
则ax 2＋154
x －9＝0， Δ＝(154)2－4a ×(－9)＝0得a ＝－2564
. ②当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274
， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax 2＋154x －9，
y ＝274x －274，所以ax 2
－3x －94＝0， Δ＝32－4a (－94)＝0，得a ＝－1，
故a ＝－2564
或a ＝－1. 13．设函数f (x )＝ax －b x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74
x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74
，② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.
解之得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x
. (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方
程为
y －y 0＝(1＋3
x 20
)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20
)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6
x 0
)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0
||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值， 此定值为6.。