用简易逻辑知识来思考现实问题

用简易逻辑知识来思考现实问题
裴光亚
学习数学,需要准确地理解概念,正确地表达、推理和判断,也就离不开逻辑知识.实际上,逻辑的作用决不仅仅限于数学,在现实生活中,它也是我们认识问题、研究问题不可缺少的工具.先看下面一个问题:例1　某班组织课外活动.班委会决定:没有参加歌唱团的同学必须参加美术社,鉴于时间安排上的冲突,参加歌唱团的同学不能参加数学奥林匹克研讨班.
1)已知小王没有参加美术社,问他是否可以参加数学奥林匹克研讨班?
2)小李既想参加歌唱团,又想参加美术社,问他的要求是否可以得到满足?
为了回答这个问题,我们用符号来表达其中的命题.某同学参加歌唱团,我们记作A,参加美术社,记作B,参加数学奥林匹克研讨班,记作 C.这样“没有参加歌唱团的同学必须参加美术社”应表示为:非A]B(1)“参加歌唱团的同学不能参加数学奥林匹克研讨班”应表示为:A]非C(2)命题(1)的逆否命题是“非B]A”,结合(2)可推知“非B]非C”.它的含义是“没有参加美术社的同学不能参加数学奥林匹克研讨班”.因此,小王不能参加数学奥林匹克研讨班.
至于小李的要求,根据本题的条件是无法断定的.因为“没有参加歌唱团必须参加美术社”这一命题实际上就是命题“班上每个同学必须参加歌唱团或者美术社”,即命题“A或B”为真,由真值表知,“A或B”为真时有3种可能.至于A,B是否可能同时为真,这就要看非A是否为B的必要条件((1)式表明非A是B的充分条件),如果非A不是B的必要条件,小李的要求是可以满足的.
现实生活中,类似于例1的问题是很多的.因为在一定情况下我们会面对多种选择,有些选择可行,而另一些选择会导致矛盾.为了正确的选择,我们必须熟练的应用逻辑知识.社会生活中的现象是很复杂的,缺少逻辑知识,就可能混淆是非,运用逻辑知识,才能够明辨真假.下面是一个关于法庭辨论的案例.
例2　根据已有的证据,可以得到如下3个判断:
①如果A无罪,则B与C都有罪;
②在B与C中必有一人无罪;
③要么A无罪,要么B有罪.
请问:A,B,C中究竟谁有罪?
解　用A,B,C分别表示“A有罪”,“B有罪”,“C有罪”这三个命题,则
判断①为:非A]B且C;
判断②为:(非B)或(非C)为真;
判断③为:(非A)或B为真.
判断①的逆否命题为:(非B)或(非C)] A.结合②知A真,即A有罪.
由A真知(非A)假,结合③和B真,即B有罪.
B真即(非B)假,再结合②知(非C)真,从而C 假,即C无罪.
故A,B都有罪,C无罪.
在社会生活中,为了表达某种公众意愿,也离不开逻辑知识.
例3　一个三人委员会以票数过半决定问题,每个成员以按下按钮表示投“赞成”票.试构作一个开关电路,使其当且仅当“赞成”票过半数时允许电流通过.
解　令P i表示“第i个成员赞成”(i=1,2,3).赞成票过半数的充要条件是
P1且P2,P1且P3,P2且P3中至少有一个为真.也即(P1且P2)或(P1且P3)或(P2且P3)为真.
对联结构“且”,可用串联开关表现;对联结词“或”,可用并联开关表现.
这样所设计的电路图为图1.
图1　例
3答案1图2　例3答案2这个电路图也可以简化为图2.
可以检验,这两个电路图都是合要求,也即这个三人委员会中,若没有或仅有1人按下按钮(赞成)时,不会有电流通过;若有2人或3人按下按钮(赞成)时,才有电流通过.本例可以推广到n人委员会的情况.这题说明,在设计电路时,我们可以借助逻辑式来思考.比如由图1和图2可知
(P1且P2)或(P1且P3)或(P2且P3)=(P1且(P2或P3))或(P2且P3),这就涉及到逻辑式的化简.通常总是先根据实际问题列出逻辑式,再对这个逻辑式化简.从而使思维更加清晰,设计得以简化.当然,这样的知识还有待于专门的学习.
(收稿日期:2001-07-01)
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2001年第18期 数
学通讯
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