人教版高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元达标同步练习试卷

人教版高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元达
标同步练习试卷
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数1
()x x f x e
+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2()()10f x mf x ++=的根
的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 【答案】ABC 【分析】
令()t f x =，画出1
()x x f x e
+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】
()x x f x e
'=-
， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；
当0x >时，0f
x
，故()f x 在0,
上为减函数，
而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：
考虑方程210t mt ++=的解的情况.
24m ∆=-，
当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，
由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是2.
当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==，
由图象可知方程1f x 的解的个数为1，
故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是0.
当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】
本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．
2．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b >>，则
b a a b
> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11
a b
+的最小值为4 C ．己知()11212
x
f x =
-+，且()()2
110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()
2
2log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是
(]11,6--
【答案】BCD 【分析】
利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与
11
a b
+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式
()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等
式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，0a b >>，则1a b
b a
>>，A 选项错误； 对于B 选项，
0a >，0b >，1a b +=，
(
)1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫
∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12a b ==
时，等号成立，所以，11
a b
+的最小值为4，B 选项正确； 对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ， 任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>， 所以，
()()()()
2112121
2121
1111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，
即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，
()()()()
2211112212221212x
x
x x x f x -+-=-==+++，
则()()()()()
()2121221
2122212221x x x x x x x x
f x f x --------====-+⋅++， 所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数， 由()(
)2
110f a f a
-+-<可得()()()2
2
111f a f a f a
-<--=-，
所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确； 对于D 选项，对于函数()()
2
2log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，
由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，
所以min 16380
a
u a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.
故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
3．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数
()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩
（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，
从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 是偶函数
B ．函数()f x 是周期函数
C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=
D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取
20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.
所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.
所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.
4．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
()f x x =称为高斯函
数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数
B ．对于任意实数a b ，
，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是
34434532⎛⎤⎡⎫
⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】
取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】
解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；
对于B 选项，令[]
a a r =+，[]
(,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错
误；
对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]
f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：
函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，
∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的
点，
由图可知，实数a 的取值范围是][34
43,,45
32⎛⎫⋃
⎪⎝⎭，故C 正确；
对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，
01q ≤<，
[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；
当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]
0y =，此时不满足
()()f x f y =，
故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；
5．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记
()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ）
A ．()g x 为奇函数
B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=
C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<
【答案】ABD 【分析】
根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】
由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称
因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z π
π=
+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫
++⋅==≠ ⎪⎝⎭
所以当,2
x k k Z π
π=+∈时，()0g x ≠
当,2
x k k Z π
π≠
+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-
当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--
由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；
当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数
()g x 在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅=
所以函数在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为4个，故C 错误；
由图可知，()g x 大于1的零点123,
22
2
x x π
π
ππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.
6．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式2
20x x a +--<至少有一个负数解的是（ ） A ．9,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．()2,3
C ．1,2
D ．0,1
【答案】ACD
将不等式变形为2
2x a x -<-，作出函数2
,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】
因为2
20x x a +--<，所以2
2x a x -<-且2
20x ，
在同一坐标系中作出2
,2y x a y x =-=-的图象如下图：
当y x a =-与2
2y x =-在y 轴左侧相切时，
2
2x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94
a =-
， 将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍）， 结合图象可知：9,24a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.
7．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．,[]1x x x ∃∈+R
B ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++R
C ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)
D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,
,2n
t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的
最大值是5 【答案】BCD 【分析】
由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论．
[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；
,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；
由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；
若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，
t ≤<t ≤<t ≤<，
，t ≤<
=
6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t <5
n ≤
时，存在t ∈满足题意， 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．
8．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=
B ．122x x e e e +>
C ．1221ln ln 0x x x x +<
D ．12x x >
【答案】ABC 【分析】
根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】
函数x
y e =与ln y x =互为反函数， 则x
y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，
将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，
由直线2y x =-+分别与函数x
y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，
作出函数图像：
则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由
12
12
x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；
对于C ，将2y x =-+与x
y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，
设()2x
f x e x =+-，且函数为单调递增函数，
()010210f =+-=-<，11
2211320222f e e ⎛⎫
=+-=-> ⎪⎝⎭
，
故函数的零点在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，
12211221
1ln ln ln ln
x x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；
对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
9．已知函数12()123
x x x f x x x x ++=
+++++，下列关于函数()f x 的结论正确的为（ ） A ．()f x 在定义域内有三个零点
B ．函数()f x 的值域为R
C ．()f x 在定义域内为周期函数
D ．()f x 图象是中心对称图象
【答案】ABD 【分析】
将函数变形为111()3123f x x x x ⎛⎫=-++
⎪+++⎝⎭
，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC ，由零点存在定理结合单调性可判断A ，由()()46f x f x --=+可求出函数的对称点，即可判断D. 【详解】
解：由题意知，1111()111312311123f x x x x x x x ⎛⎫=-
+-+-=-++ ⎪++++++⎝⎭
， 定义域为()()()(),33,22,11,-∞-⋃--⋃--⋃-+∞，
()
()
()
2
2
2
1
1
()0121
3f x x x x '=
+
+
>+++，
所以函数在()()()(),3,3,2,2,1,1,-∞------+∞定义域上单调递增，C 不正确； 当1x >-时，()3371230,004111523f f ⎛⎫-
=-++<=+> ⎪
⎝⎭
，则()1,-+∞上有一个零点， 当()2,1x ∈--时，750,044f f ⎛⎫⎛⎫
-
<-> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以在()2,1x ∈--上有一个零点， 当()3,2x ∈--时，1450,052f f ⎛⎫
⎛⎫
-
<-> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以在()3,2x ∈--上有一个零点， 当3x <-，()0f x >，所以在定义域内函数有三个零点，A 正确； 当0x <，1x +→-时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 又函数在()1,-+∞递增，且在()1,-+∞上有一个零点，则值域为R ，B 正确；
()1
111(4)363612311123f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++=--++=- ⎪ ⎪⎢
⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 所以()()46f x f x --=+，所以函数图象关于()2,3-对称，D 正确； 故选:ABD. 【点睛】 结论点睛:
1、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称；
2、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称；
3、()y f x =与()2y f a x =-图象关于x a =轴对称；
4、()y f x =与()2y a f x =-图象关于y a =轴对称；
5、()y f x =与()22y b f a x =--图象关于(),a b 轴对称.
10．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，
()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，
()()2f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[-1，1]
D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A ；
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，
对于A ，()f x 为R 上的奇函数，
()1f x +为偶函数，
所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，
(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．
故C 正确． 对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，
[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，
[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，
设()()cos g x f x x =-，
当2
[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，
()22sin g x x x '=-++，
设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，
()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，
且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，
0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，
0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，
所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，
当[]24x ∈，
时，，()()2
cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，
则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，
上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，
所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，
，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，
()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，
又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，
所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，
上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，
时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]
46x ∈，
时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，
()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，
所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.
11．已知函数()sin sin x
x
f x e e
=+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 最小值为2
C ．()f x 在区间,2ππ⎛
⎫
-- ⎪⎝
⎭
上单调递减
D ．()()2
g x f x x π
=-
的零点个数为5
【答案】ABD 【分析】
去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】
∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；
因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变
化情况.()sin sin sin 2,01
,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪
=⎨+<≤⎪⎩
， 当0x π≤≤，()sin 2cos x
f x xe '=，则()f x 在0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()[]
2,2f x e ∈； 当2x ππ≤≤时，()(
)sin sin cos x
x f x x e
e -'=-，则()
f x 在3,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在
3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()12,f x e e ⎡
⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，
B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭上单调递
增，故C 错误. 对于D ，转化为()2
f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,
2
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2
2x π
<，()2
f x x π=
无实根.()3,x π∈+∞时，
()max 2
62x e f x π
>>=，()2
f x x
π
=
无实根，3,
2x ππ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，显然x π=为方程之根.()sin sin x
x f x e
e -=+，
()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e π
ππ⎛⎫=+>⨯=
⎪
⎝⎭
，单独就这段图象，()302
f f π
π⎛⎫'='=
⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内有3个零点，又5252
f e π
⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，结合图象，知D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.
12．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常
数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0
x x >时，总有()()()()00f x h x m
h x g x m
⎧<-<⎪⎨
<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}
|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）
A ．()2
f x x =，()
g x =
B ．()10
2x
f x -=+，()23
x g x x
-=
C ．()21
x f x x
+=，()ln 1ln x x g x x +=
D ．()221
x f x x =+，()()21x
g x x e -=--
【答案】BD 【分析】
根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】
解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，
()()0,()()f x g x f x g x -→>．
对于①，()2
f x x =，()
g x =
当1x >时，令()()()2
F x f x g x x =-=，
由于()20
F x x '=-
>，所以()h x 为增函数，
不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()10
22x
f x -=+>，()23
2,(1)x g x x x
-=
<> ()()f x g x ∴>，
2313
()()10210x
x
x f x g x x x
--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，
因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；
对于③，21
()x f x x
+=，ln 1()ln x x g x x +=，
21111111
()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x
++-=-=+--=-
当1x >且x →∞时，
1x 与1ln x 均单调递减，但1x
的递减速度比1
ln x 快，
所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；
对于④，22()1
x f x x =+，()()21x
g x x e -=--，
当x →∞时，
22()()220+1222
+1x x x f x g x x e x x e
--=-+++=→，且()()0f x g x ->，
因此存在分渐近线．
故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】
本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.
13．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有
1212()()
(
),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21
()1
x f x x +=
- 【答案】ACD 【分析】
根据函数的解析式，求得1212()()
(
)22
x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】
对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则12
12(
)()12
x x f x x +=-++， 121212()()1
(2121)()122
f x f x x x x x +=-+-+=-++，
可得1212()()(
)22x x f x f x f ++=，满足1212()()
()22
++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235
,22x x =
=，则1222
x x +=， 可得3
51()()22
2f f ==-，所以
12()()1
22f x f x +=-，12()(2)02
x x f f +==， 此时1212()()
(
)22
x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3
()5f x x =+，
由幂函数3
y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3
()5f x x =+的图象， 如图所示，
取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12(
)2C x x f y +=，12()()
2
D f x f x y +=，
因为D C y y >，所以1212()()
(
)22
++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；
对于D 中，函数213()211
x f x x x +==+-- 由函数3
y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1
x f x x +=-的图象，
如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12
(
)2
C x x f y +=，12()()
2
D f x f x y +=，
因为D C y y >，所以1212()()
(
)22
++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；
【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.
14．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1
222
a b -<<
B ．34a b ==a b
ab
+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-
D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
1
(,2)(2,)4
-+∞ 【答案】ACD
【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求
a b ab
+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3
y x x =-有三个交点，即可知2
()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围.
【详解】
A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1
222
a b -<<；
B 选项，34a b ==log a =4log b =121211
2(log 3log 4)2a b ab a b
+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、
121
3
x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，
所以22
12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；
D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2
()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20
k h k ∆=+>⎧⎨
-=-≠⎩，解得1
(,2)(2,)4k ∈-+∞
故选：ACD 【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.
15．下列结论正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的定义域为[]
1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1
B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数
()1f x +的值域为[]2,3
C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是
()0,3
D ．已知函数()2
3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数
根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】
根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数
()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.
【详解】
对于A, ()y f x =的定义域为[]
1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为
[]0,1，故正确；
对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相
同，故错误；
对于C, 函数2
()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需
(2)0
(1)0
g g >⎧⎨
->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()2
3f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，
由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或
9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，
综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2
3f x x x
=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.
16．已知函数()()(
)2
2
2
24x x f x x x m m e
e --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零
点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】BC 【分析】
由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于
2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】
∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则2
2
()4()()t
t
f t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，
22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，
所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2
482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得
2()4t t e e -∴+≥
故2
()42()0t
t
f t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =
②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】
方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+
17．已知53a =，85b =，则（ ）
A ．a b <
B ．
112a b
+> C ．11a b a b
+
<+ D ．b a a a b b +<+
【答案】ABD 【分析】
根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】
解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，5
8log b =，
因为3
3
4443
5533535log 3log 54
<⇒<⇒<=
， 又由3
344
43
883
5858log 5log 84
>⇒>⇒>=
，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，5
80log 1b <=<，则
11a >，11b >，所以11
2a b +>，选项B 正确；
因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，
1
1ab
>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+
-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以11
a b a b
+>+，故选项C 不正确； 由
1324a <<和3
14
b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．
18．已知函数2ln(1),0()21,0
x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) −
(1+ a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根
B a <<
时，方程有2个根
C ．当 a =
时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD
【分析】
先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或
()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.
【详解】
解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]
()1()0f x f x a --=，故()1f x =或
()f x a =.
函数2ln(1),0
()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩
中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，
()2
220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式
()()411a a ∆=+-.
（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：
由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程
()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，
1a =时已知方程有1个根；
（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：
10a -<<时，函数()f x 图象如下：
由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；
（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.
下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15
a --<， 故当15
a --<
时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根； 当15
2
a -=
时，21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根； 当
15
12
a -<<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.
综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A 错误；
15
12
a --<<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当
15a --=
3个根，C 正确；当 15
42
a --≤-<时，方程有4个根，故D 正确.
故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：
本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.
19．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01
()12
f x f x +=-=0，且()f x 在
()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（
）
A ．01()12
f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202
个 【答案】AC 【分析】
由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23
π
ω=
，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】
由()01
()12
f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，
∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12
f x +=-，
002(1)()3
x x πωϕωϕω++-+==
， ∴()f x 的最小正周期为23T π
ω
=
=，故A 、C 正确，B 错误；
在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2
f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.
20．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5π
ω
个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A ．f (x )的图象关于直线2
x π=
对称
B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点
C ．f (x )在(0,
)10
π
上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510
) 【答案】CD 【分析】
利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10π
ω
上递增，且
31010π
π
ω
<
，可知C 正确. 【详解】
依题意得()()5f x g x πω=+
sin[()]5x πωω=+sin()5
x πω=+， 2T πω=，如图：
对于A ，令5
2
x k π
π
ωπ+=+
，k Z ∈，得310k x π
π
ω
ω
=
+
，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x π
π
ω
ω
=
+
(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω
=-
+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω
≤<，解得1229
510ω≤<，所以D 正确；
对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-
+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10π
ω上递增，因为29310ω<
<，所以33(1)0101010πππωω
-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故
C正确；
故选：CD.
【点睛】
本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.。