【单元练】江阴市江阴二中高中物理必修2第七章【万有引力与宇宙航行】经典习题(含解析)

一、选择题
1．如下图所示，惯性系S中有一边长为l的立方体，从相对S系沿x方向以接近光速匀速飞行的飞行器上观察该立方体的形状是（）
A．B．
C．D． D
解析：D
根据相对论效应可知，沿x轴方向正方形边长缩短，沿y轴方向正方形边长不变。

故选D。

2．“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，其运动周期为5.74年，则关于“坦普尔一号”彗星的下列说法中正确的是（）
A．彗星绕太阳运动的角速度不变
B．彗星在近日点处的线速度大于远日点处的线速度
C．彗星在近日点处的加速度小于远日点处的加速度
D．彗星在近日点处的机械能小于远日点处的机械能B
解析：B
A．根据开普勒第二定律，可知，彗星绕太阳做椭圆运动时，轨道半径在相等时间内扫过的面积相等，要使面积相等，半径越小，在相等时间内彗星转过的圆心角越大，因此彗星的角速度越大，由此可知，彗星的角速度是变化的，故A错误；
B．彗星绕太阳做椭圆运动时，轨道半径在相等时间内扫过的面积相等，要使面积相等，半径越小，在相等时间内，彗星转过的弧长越大，彗星的线速度越大，即在近日点，彗星的线速度大，故B正确；
C．太阳与彗星的质量不变，在近日点两者间的距离小，由万有引力定律可知，彗星受到的引力大，由牛顿第二定律可知，力越大，加速度越大，所以彗星在近日点的加速度大于在远日点的加速度，故C错误；
D．彗星绕太阳运行的过程中，只有万有引力做功，其机械能是守恒的，即彗星在近日点处的机械能等于远日点处的机械能，故D错误。

故选B。

3．如图所示，A为地球表面赤道上的待发射卫星，B为轨道在赤道平面内的实验卫星，C
为在赤道上空的地球同步卫星，已知卫星C 和卫星B 的轨道半径之比为2：1，且两卫星的环绕方向相同，下列说法正确的是（ ）
A ．卫星
B 、
C 运行速度之比为2：1 B ．卫星B 的向心力大于卫星A 的向心力
C ．同一物体在卫星B 中对支持物的压力比在卫星C 中大
D ．卫星B 的周期为62 D 解析：D A ．根据
2
2
GMm v m r r
= 知
GM
v r
=
所以B 、C 2，故A 错误；
B ．由于不知两卫星质量关系，所以无法比较两卫星向心力大小，故B 错误；
C ．物体在B 、C 卫星中均处于完全失重状态物体对支持物的压力均为零，故C 错误；
D ．根据
2
22Mm G mr r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
得
3
2r T GM
= 所以B 、C 的运行周期之比为
3B B 3C C 2T r T r ==又
C 24h T =
所以卫星B 的周期为62，故D 正确。

故选D 。

4．一宇宙飞船在一个星球表面附近做匀速圆周运动，宇航员要估测星球的密度，只需要测
定飞船的（ ） A ．环绕半径 B ．环绕速度 C ．环绕周期 D ．环绕加速度C
解析：C
根据万有引力提供向心力有
2
22Mm m R R T G π⎛⎫ ⎪⎝⎭
= 解得
23
2
4R M GT
π= 星球的密度为
23
22343=43
R M GT V GT R ππρπ== 所以要估测星球的密度，只需要测定飞船的环绕周期。

故选C 。

5．我国即将展开深空探测，计划在2020年通过一次发射，实现火星环绕探测和软着陆巡视探测，已知太阳的质量为M ，地球、火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径分别为R 1和R 2，速率分别为v 1和v 2，地球绕太阳的周期为T 。

当质量为m 的探测器被发射到以地球轨道上的A 点为近日点，火星轨道上的B 点为远日点的轨道上围绕太阳运行时（如图），只考虑太阳对探测器的作用，则（ ）
A ．探测器在A 点加速度的值大于2
11
v R
B ．探测器在B 点的加速度小于22
GM
R
C ．探测地在B 点的加速度22
2
v R
D ．探测器沿椭圆轨道从A 飞行到B 的时间为3
122
1
1(
)2R R T R + C 解析：C
A ．根据万有引力提供向心力可得
2112
11
v GMm
m ma R R == 探测器在A 点加速度的值等于2
11
v R ，故A 错误；
BC ．根据万有引力提供向心力可得
2222
22
v GMm
m ma R R == 探测器在B 点的加速度为
2
2
2222
v GM a R R ==
故B 错误，C 正确；
D ．设探测器沿椭圆轨道的周期为0T ，由开普勒第三定律可得
3212
3120()2
R T R R T =+
解得
3
12201
()2R R T T R +=
探测器沿椭圆轨道从A 点飞行到B 点的时间为
31221
1()22R R t T R += 故D 错误。

故选C 。

6．在一圆形轨道上运行的人造同步地球卫星中放一只地球上走时正确的摆钟，则启动后这个钟将会（ ） A ．变慢 B ．变快
C ．停摆不走
D ．快慢不变C
解析：C
人造同步地球卫星中放一只用摆计时的挂钟，该挂钟处于完全失重状态，摆停止运动，这个钟将要停摆不走。

故选C 。

7．图甲是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的真实情形，图乙中圆a 、b 、c 的圆心均在地球的自转轴线上，b 、c 的圆心与地心重合，已知万有引力常量G 。

关于卫星环绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A ．b 轨道上卫星的周期比c 轨道卫星周期要长
B ．同步卫星的轨道可能为a
C ．根据c 轨道卫星的角速度和线速度能够求出地球的质量
D ．根据b 轨道卫星的角速度和周期能够求出卫星的质量C 解析：C 【分析】
卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，应用牛顿第二定律求出卫星的周期，然后比较b 、c 卫星的周期关系；同步卫星在地球赤道平面内，位于赤道正上方；应用万有引力公式与牛顿第二定律分析答题。

A ．设地球质量为M ，卫星质量为m ，卫星做圆周运动的周期为T ，轨道半径为r ，卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得
2
22()Mm G
m r r T
π= 解得
3
2r T GM
= 由图示可知，b 轨道半径比c 轨道半径小，b 轨道上卫星的周期比c 轨道卫星周期短，故A 错误；
B ．同步卫星位于赤道平面内，由图示可知，轨道a 没有位于赤道平面内，轨道a 不可能是同步卫星轨道，故B 错误；
C ．已知c 轨道卫星的角速度ω与线速度v ，卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，根据v r ω=可知求出轨道半径，由
2
2GMm v m r r v r
ω== 可以求出地球的质量，故C 正确；
D ．已知b 轨道卫星的角速度ω和周期T ，角速度
2T
πω=
知道角速度可以求出周期，只知道一个量，不能应用万有引力公式与牛顿第二定律求出地球质量，故D 错误。

故选C 。

【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力、知道同步卫星的特点是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题。

8．2017年10月16日晚，全球天文学界联合发布一项重大发现：人类首次直接探测到了双中子星并合产生的引力波及其伴随的电磁信号。

从此在浩淼的宇宙面前，人类终于耳聪目明了。

如图为某双中子星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动的示意图，若A 星的轨道半径小于B 星的轨道半径，双星的总质量为M ，双星间的距离为L ，其运动角速度为ω。

则（ ）
A ．A 星的质量一定大于
B 星的质量 B ．双星总质量M 一定时，L 越大，ω越大
C ．A 星运转所需的向心力大于B 星所需的向心力
D ．A 星运转的线速度大小等于B 星运转的线速度大小A 解析：A
A ．双星圆周运动的向心力由万有引力提供，是同轴转动，角速度相等，恒星A 和恒星
B 轨道半径分别为A r 和B r ，据万有引力提供向心力
22
12122
A B
M M G
M r M r L ωω== 则
12A B M r M r =
因为
B A r r >
所以，A 星的质量一定大于B 星的质量，A 正确；
B ．双星圆周运动的向心力由万有引力提供，是同轴转动，角速度相等，恒星A 和恒星B 轨道半径分别为A r 和B r ，据万有引力提供向心力，对于恒星A
2
1212A
M M G
M r L ω= 对于恒星B
2
1222
B M M G
M r L ω= 结合
A B L r r =+
解得
3
GM
L ω=
B 错误；
C ．双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，C 错误；
D ．双星系统中两颗恒星间距不变，是同轴转动，角速度相等，根据
v r ω=
因为
B A r r >
所以
A B v v <
D 错误。

故选A 。

9．如图所示为某卫星绕地球运动的椭圆轨道，F 1和F 2为椭圆的焦点。

卫星由A 经B 到C 点的过程中，卫星的动能逐渐增大，且路程AB 与路程BC 相等。

已知卫星由A 运动到B 、由B 运动到C 的过程中，卫星与地心的连线扫过的面积分别为S 1和S 2.下列说法正确的是（ ）
A ．地球位于焦点F 1处
B ．S 1一定大于S 2
C ．卫星由A 运动到C ，引力势能增加
D ．卫星由A 运动到C ，加速度减小B
解析：B
A ．已知卫星由A 经
B 到
C 点的过程中，卫星的动能逐渐增大，可知地球的引力对卫星做正功，所以地球位于焦点F 2处，故A 错误；
B ．根据开普勒行星运动定律得卫星由A 经B 到
C 点的过程中，卫星的动能逐渐增大，且路程AB 与路程BC 相等，所以卫星由A 到B 运动的时间大于由B 到C 的时间，所以S 1一定大于S 2，故B 正确；
C ．已知卫星由A 经B 到C 点的过程中，卫星的动能逐渐增大，可知地球的引力对卫星做正功，所以引力势能减小，故C 错误；
D ．根据万有引力公式知卫星在A 处的引力小于在C 处的引力，根据牛顿第二定律可知卫星由A 运动到C ，加速度增大，故D 错误。

故选B 。

10．对于万有引力定律的表述式12
2
m m F G
r =，下面说法中不正确的是（ ） A ．公式中G 为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B ．当r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C ．m 1与m 2受到的引力总是大小相等的，方向相反，是一对作用力与反作用力
D ．m 1与m 2受到的引力总是大小相等的，而与m 1、m 2是否相等无关B 解析：B
A ．万有引力定律的表述式12
2
m m F G r =中的G 为引力常量，它是由实验测得的，不是人为规定的，故A 项正确。

B ．当物体间间距较小时，物体不能视为质点，万有引力公式12
2m m F G r
=不成立。

当r 趋近于零时，万有引力不会趋于无穷大，故B 项错误。

CD ．m 1与m 2受到的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等的，方向相反；与m 1、m 2是否相等无关．故CD 正确． 本题选不正确的，答案是B 。

【点睛】
两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等的，方向相反；与两物体质量是否相等无关。

二、填空题
11．如图，三个质点a 、b 、c 质量分别为1m 、2m 、12,()M M
m M m 。

在c 的万有
引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期之比
:1:8a b T T =，则它们的轨道半径之比为:a b r r =______，从图示位置开始，在b 运动一周
的过程中，a 、b 、c 共线了____次。

解析：1:4
[1]质点a 、b 都在c 的万有引力作用下做圆周运动，由
2
224GMm m r r T
π= 可得
2
2
24GMT
r π
= 可求得
a b :1:4r r =
[2]设每隔t 时间共线一次，有
a 22(
)b
t T T πππ-= 则
b
14
T t =
所以在b 运动一周的时间内，共线次数为
b
14T n t
=
= 12．两颗卫星1、2同绕某一行星做匀速圆周运动，周期分别为1T 、2T ，如图所示是某时刻的位置示意，则经过时间_________两者第一次相距最远，经过时间________两者第一次相距最近。

解析：
()12122T T T T - 12
12
T T T T - [1]行星1比行星2多转动半圈时，第一次相距最远，有
12
2π2π
πt t T T -= 解得
12
212()
TT t T T =
-
[2]行星1比行星2多转动一圈时，第一次相距最近，有
''
12
2π2π2πt t T T -= 解得
'12
21
T T t T T =
- 13．宇宙飞船相对于地面以速度v =0.1c 匀速直线运动，c 为光速。

某时刻飞船头部的飞行员向尾部平面镜垂直发出一个光信号，反射后又被头部接收器收到，飞船仪器记录了光从发射到接受经历时间为t 0，则地面观察者观测光被平面镜反射前后的速度______（相等、不等），地面观察者观测光从发射到接受过程经历时间t ______t 0（大于、等于、小于）相
等大于
解析：相等 大于
[1]根据光速不变原理，地面观察者观测光被平面镜反射前后的速度不变，即平面镜反射前后的速度相等；
[2]飞船仪器记录了光从发射到接受经历时间为0t ；在根据相对论时空观，地面观察者观测光从发射到接受过程经历时间t 满足
000222
2
0.990.0111t t t t v c c
c =
=
=
--
即
0t t >
14．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面的斜坡上的P 点沿水平方向以初速度0v 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q ，斜面的倾角为α，已知该星球半径为
R ，引力常量为G ，该星球表面的重力加速度为__________；该星球的密度为
_________；该星球的第一宇宙速度为_____________；人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期为__________。

【分析】由题可知本题考查万有引力定律的应用以及
平抛运动的规律
解析：02tan v t α 03tan 2v GtR απ0
2tan v R t
α022tan Rt v πα 【分析】
由题可知本题考查万有引力定律的应用以及平抛运动的规律。

[1]设该星球表面的重力加速度为g ，根据平抛运动规律，水平方向有
0x v t =
竖直方向有
2
12
y gt =
平抛位移与水平方向的夹角的正切值
tan 2y gt x v α=
= 解得
02tan v g t
α
=
[2]在星球表面有
2
GMm
mg R = 解得
G
gR M 2
= 该星球的密度
033tan 423
M v RtG R αρππ=
=
[3]根据万有引力提供向心力，万有引力等于重力，则有
2
2
GMm mv mg R R
== 可得
v =
= 该星球的第一宇宙速度
v =
[4]绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，即
22R T v π=
= 15．假设地球为质量均匀分布的球体。

已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为0g ，在赤道处的大小为g ，地球半径为R ，则地球自转的周期T 为________。

解析：2以M 表示地球质量，m 表示物体质量，根据万有引力与重力的关系，有在两极处有
02
Mm
G
mg R =① 在赤道处有
2
22Mm G mg m R R T π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
② 联立①②式，解得
2T = 16．假设地球可视为质量均匀分布的球体。

经测量，某质量为m 的重物在两极的重力大小为F 0、在赤道的重力大小为F ，地球自转的转速为n 。

则离地高度等于地球半径的轨道重力加速度为__，地球的半径为__。

解析：
04F m 0224F F n m π- [1]在两极有：
002
GMm
F mg R ==
离地高度等于地球半径的轨道，有：
2
()2GMm
mg R '=
解得：
00
44g F g m
'=
= [2]在赤道，有：
202()F F mR n π-=
解得地球的半径为：
0224F F
R n m
π-=
17．按照爱因斯坦狭义相对论，以速度v 运动的物体的相对论质量m （即运动质量）与静止质量0m
的关系为
m =
7.9km/s 的运动火箭的相对论质量m 约是静止质量0m 的________倍；速度为0.9c 的运动电子的相对论质量m 是静止质量0m 的________倍．2294 解析：2.294
[1]．速度为7.9km/s 的运动火箭的相对论质量m 与静止质量m 0的比值：
1
m m =≈
即
m ≈m 0
[2] ．速度为0.9c 的运动电子的相对论质量m 是静止质量0m 的
m m == 即
m =2.294m 0.
18．两个行星的质量分别为m 1、m 2，它们绕太阳运动的轨道半径分别为R 1、R 2.如果m 1＝2m 2，R 1＝4R 2，那么，它们运行的周期之比T 1∶T 2＝________.8：1 解析：8：1
行星绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力
2
22
4 GMm
m R R
T
，
解得：2
T
=
1
2
8
1
T
T
===.
【点睛】
本题可以根据开普勒第三定律，运用比例法求解两行星运行的周期之比．或者根据万有引力和圆周运动知识理解．
19．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的运行周期为T1，已知引力常量为G，则该天体的密度为________．若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又可表示为________．
解析：2
1
3
GT
π2
23
2
3()
R h
GT R
π+
［１］.根据万有引力提供向心力
2
22
4
GMm
m R
R T
π
=
得天体的质量
23
2
1
4R
M
GT
π
=
则天体的密度
2
1
3
M
V GT
π
ρ==
［２］.若这颗卫星距该天体的表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，根据
2
22
4
()
()
GMm
m R h
R h T
π
=+
+
天体的质量
()3
2
2
2
4R h
M
GT
π+
=．
则天体的密度
ρ′=
()2
23
2
3R h
GT R
π+
．
【点睛】
解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论列出表达式，结合轨道半径和周期求解
中心天体的质量．
20．两行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量之比M A∶M B＝2∶1，两行星半径之比R A∶R B＝1∶2，则两个卫星周期之比T a∶T b＝
________，向心加速度之比为________.1:48∶1【解析】卫星做圆周运动时万有引力
提供圆周运动的向心力有：得（M 是行星的质量R 是卫星的轨道半径）故；由得故【点睛】根据万有引力提供向心力列出方程得到周期之比和半径以及质量之间的关系代入数据
解析：1:4 8∶1 【解析】
卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，有：2
224Mm G m R R T
π=，得
2R
T R
GM
π=（M 是行星的质量，R 是卫星的轨道半径），故3
3
14
A
A B B
B A T R M T R M =⋅=；由2Mm G ma R =，得2GM
a R =，故2281A A B B B A a M R a M R =⋅=. 【点睛】根据万有引力提供向心力列出方程，得到周期之比和半径以及质量之间的关系，代入数据可得结论．
三、解答题
21．中国赴南极考察船“雪龙号”，从上海港口出发一路向南，经赤道到达南极。

某同学设想，在考察船“雪龙号”上做一些简单的实验，来测算地球的平均密度；当“雪龙号”停泊在赤道时，用弹簧测力计测量一个钩码的重力，记下弹簧测力计的读数F 1，当“雪龙号”到达南极后，仍用弹簧测力计测量同一个钩码的重力，记下弹簧测力计的读数F 2。

设地球自转的周期为T ，万有引力常量为G ，圆周率为π已知，不考虑地球两极与赤道半径差异。

试求：
（1）地球的平均密度；
（2）若人造卫星绕地球做圆周运动的最大速度为m v ，则地球的半径多大。

解析：（1）22213()F GT F F πρ=
-；（2）
m 21
2
2v T
F F R F π
-=（1）设地球半径为R 、质量为M 、体积为V 、平均密度为ρ，钩码在赤道地区
2
1024F F m R T
π-=万
钩码在南极地区有
22
=GMm F F R
=
万 又因为
34
3
M V R ρρπ==⋅
解得
2
2213()
F GT F F πρ=
-
（2）当卫星贴近地表运行时线速度最大，则由万有引力提供向心力
2m 2
v GMm
m R R
= 解得
R =
22．某太空探测器绕火星做匀速圆周运动，离火星表面的高度为h ，环绕n 圈所用时间为t ，已知火星半径为R ，求： （1）该探测器的环绕线速度v ； （2）火星表面重力加速度g 。

解析：（1）2()n R h t π+；（2）223
22
4()n R h n R
π+ （1）根据周期与转速的关系可得
T =
t
n
则
v =
2r T π=2()
n R h t
π+ （2）由万有引力等于向心力可得
2
2
24()()Mm G m R h R h T
π=++ 又万有引力等于重力
2
Mm
G
mg R = 解得
g =23224()R h T R π+=22322
4()n R h n R
π+ 23．火星半径约为地球半径的1
2，火星质量约为地球质量的19
，地球表面的重力加速度g 取10m/s 2。

(1)求火星表面的重力加速度；（结果保留两位有效数字）
(2)若弹簧测力计在地球上最多可测出质量为2kg 的物体所受的重力，则该弹簧测力计在火星上最多可测出质量为多大的物体所受的重力?
解析：(1)4.4m/s 2；(2)4.5kg (1)对于在星球表面的物体，有
2
GMm
mg R =
解得
2144(
)919
g M R g
M
R =
⨯=⨯=火火火 则有
2440
m/s 99
g g =
=火 (2)弹簧测力计在地球上最多可测出质量是2kg 的物体所受的重力，则有弹簧的最大弹力为
max 210N 20N F =⨯=
该弹簧测力计在火星上最大弹力仍为20N ，根据G =mg 火，则有
20
kg 4.5kg 409
m =
= 24．假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h 的轨道做匀速圆周运动，周期为T ，已知万有引力常量为G ，求： (1)该天体的质量是多少？ (2)该天体的密度是多少？
(3)该天体表面的重力加速度是多少？
解析：(1)()3224R h GT π+；(2)()3233R h GT R π+；(3)()3
2224R h R T
π+
(1)卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
()
()2
2
2(
)Mm
G
m R h T
R h π=++ 解得
()3
22
4R h M GT
π+=
(2)天体的密度
()
3
23223
343()43
R h M R h GT V GT R R ππρπ++=== (3)在天体表面，重力等于万有引力，故
2
Mm
mg G
R = 联立解得
23
22
4()R h g R T
π+= 25．设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务后，乘坐返回舱返回围绕火星做匀速圆周运动的轨道舱。

如图所示，已知火星表面重力加速度为g ，火星半径为R ，轨道舱到火星中心的距离为r ，不计火星自转的影响。

求： (1)轨道舱所处高度的重力加速度g '大小；
(2)轨道舱绕火星做匀速圆周运动的速度v 大小和周期T ；
(3)若该宇航员在火星表面做实验发现，某物体在火星表面做自由落体运动的时间，是在地球表面同一高度处做自由落体运动的时间的1.5倍，已知地球半径是火星半径的2倍，求火星的第一宇宙速度1v 与地球的第一宇宙速度2v 的比值。

解析：(1) 2
2'R g g r
=； (2) g v r =；322r T gR = ；23 (1)根据万有引力等于重力可知，在火星表面
2 GMm
mg R
= 在轨道舱所处高度
2
'GMm
mg r = 联立解得轨道舱所处高度的重力加速度大小
2
2'R g g r
=
(2)轨道舱在所处高度，重力提供向心力
22
24'v mg m m r r T
π==
联立解得轨道舱绕火星做匀速圆周运动的速度大小
g
v r
= 周期
3
2
2r T gR
π=(3)物体在星球表面做自由落体运动
212
h gt =
解得
22h g t
=
星球表面，重力等于万有引力
2v mg m
R
=宇宙
解得第一宇宙速度
2=
hR
v gR t
=宇宙 某物体在火星表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动的时间的1.5倍，地球半径是火星半径的2倍，则火星的第一宇宙速度v 1与地球的第一宇宙速度v 2的比值为
v 1：v 2=2:3
26．已知地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G 。

如图所示，A 为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，B 为地球的同步卫星。

(1)求地球的质量及第一宇宙速度；
(2)若已知地球质量为M ，不知道地球表面的加速度g ，求卫星A 运动的速度大小v ； (3)求卫星B 到地面的高度h 。

解析：(1)2gR G gR ；GM R ；2
32
4π
GMT
R (1)由公式
2
GmM
mg R =
得
G
gR M 2
= 对卫星A ，设其质量为m A ，由牛顿第二定律得
2
A A 2Gm M v m R R
= 联立解得
v gR =(2)对卫星A ，设其质量为m A ，由牛顿第二定律得
A 2
R R
解得
GM
v R
=
(3)对卫星B ，设它到地面高度为h ，质量为m B ，同理
2
B B 2
24π()()Gm M m R h R h T
=++ 解得
h =2
324π
GMT －R 27．我国预计于2020年7月采用长征五号遥四运载火箭执行首次火星探测任务。

查阅资料可知火星半径为R 、第一宇宙速度为v 1，现有一探测器绕火星做匀速圆周运动，轨道离火星表面的高度为h 。

已知引力常量为G 。

求： (1)火星的质量M ；
(2)火星表面的重力加速度g ； (3)该探测器在轨道上的绕行速度v 。

解析：(1)21Rv G ；(2)21v R
；(3)1R
v R h +
(1)由于万有引力提供向心力即
212v Mm
G m R R
= 可得
2
1Rv M G
= (2)在近地轨道有
2Mm
G
mg R
= 代入有
21v g R
=
(3)在高度h 轨道上有
()
2
R h
R h ++
解得
v v =
=28．电影《流浪地球》中，由于太阳即将毁灭，人类为了生存，给地球装上推进器，“驾驶”地球逃离太阳系，飞向比邻星系定居，泊入比邻星轨道，成为这颗恒星的卫星。

地球绕比邻星做圆周运动的轨道半径为r ，周期为T ，比邻星的半径为R ，引力常量为G (忽略其他星球对地球的影响)，求： (1)比邻星的质量M ；
(2)比邻星表面的重力加速度g ； (3)比邻星的第一宇宙速度v 1。

解析：(1)2324r M GT π=；(2)23224r g R T π=；(3)1v = (1)地球绕比邻星运动，万有引力提供圆周运动向心力有
2
224Mm G mr r T
π＝ 可得比邻星的质量
23
2
4r M GT
π= (2)在比邻星表面重力与万有引力相等有
2
Mm
G
mg R = 可得比邻星表面的重力加速度
232224GM r g R R T
π==
(3)第一宇宙速度是近比邻星卫星的环绕速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有
212v Mm
G m
R R
= 可得第一宇宙速度
1v ==。