北京市丰台区2021届新高考模拟化学试题(市模拟卷)含解析

北京市丰台区2021届新高考模拟化学试题（市模拟卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()23
ln 1x f x x
+=
的大致图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】
由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10
(3),ln 22727
f =
>， 即()()1?
3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】
本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题． 2．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为
，则的
值为 ( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【详解】 抛物线
的准线为
， 双曲线
的两条渐近线为
， 可得两交
点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
3．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且
2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）
A ．
689
8
B ．
689
6
C ．
526
8
D ．
526
6
【答案】A 【解析】 【分析】
设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】
设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r. 因为4BO =，所以2
2
2
(4)3r r -+=，解得258
r =
. 因为321OD OC CD =-=-=，所以22113
1(4)8
DM r =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，
即2
2113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689
R QB a r ==+=. 故选：A
【点睛】
本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题
4．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A．2
3
B．
16
3
C．6 D．与点O的位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】
如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，
正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，
顶点O在平面11
ADD A上，高为2，
所以四棱锥的体积为18
42
33⨯⨯=，
所以该几何体的体积为
816 8
33 -=.
故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.
5．已知a>0，b>0，a+b =1，若α=
11
a b
a b
β
+=+
，，则αβ
+的最小值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】
∵a>0，b>0，a+b=1，
∴
211111152a b a b
ab a b αβ+=+++=+
≥+=+⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当且仅当1
2
a b ==时取“＝”号． 答案：C 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.
6．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．
1
7
B ．27
C ．
13
D ．
1835
【答案】A 【解析】 【分析】 利用A
n P n
=
计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】
从7本作业本中任取两本共有2
7C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有2
3C 种不同结果，
由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为23271
7
C C =.
故选：A. 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 7．将函数()sin 6f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，
再将图像向左平移3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）
A ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．
(),0π
D ．4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】 【分析】
根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可. 【详解】
解：()sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1
sin 2
6x π⎛⎫+
⎪⎝⎭
再将图像向左平移
3π
个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的图象 ()1
sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403
g π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.
8．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=u u u v u u u v
()·cos ?cos AB AC AB B AC C
+u u u v u u u v
u u u v u u u v ，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心 B ．垂心
C ．外心
D ．内心
【答案】B 【解析】 【分析】
解出AP u u u r
，计算AP BC ⋅u u u r u u u r 并化简可得出结论．
【详解】
AP OP OA =-=u u u r u u u r u u u r
λ（
AB AC AB cosB AC cosC
+⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ）， ∴()
...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫ ⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴AP BC u u u r u u u r
⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅u u u r u u u r
是关键．
9．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，
股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）
A ．
16
37
B ．
949
C ．
937
D ．
311
【答案】C 【解析】 【分析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【详解】
因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，
五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=， 所以此点取自朱方的概率为937
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
10．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在
椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，
113
3
QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．610,2⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
B ．(
62⎤⎦
C ．2312⎛⎤
⎥
⎝⎦
D ．(
31⎤⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得
()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m 的取值范围,进而求得(
)
222
422c a c <≤-再求离心率的范围即可. 【详解】
设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知m n <,
因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以四边形12PFQF 为矩形,12=QF
PF ；
由113QF PF ≥,
可得13m n
≤<,
由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①, 平方相减可得(
)22
2mn a c
=-②,
由①②得
()
2222242c m n m n
mn n m a c +==+-； 令=+m n
t n m ,
令3m v n ⎫=
∈⎪⎪⎣⎭
,
所以12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦, 即
(
)
222422c a c <≤-,
所以()
2222
23
a c c a c -<≤
-,
所以()
222113
e e e -<≤
-,
所以
21
42
e <≤-
解得
12
e <≤. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.
11．已知复数552i
z i i
=+-，则||z =（ ） A
B
．C
．D
．【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】
55(2)
551725
i i i z i i i i +=
+=+=-+-
，故||z ==故选：B 【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题. 12．复数1
i i
+=（ ） A ．2i - B ．1
2
i C ．0 D ．2i
【答案】C 【解析】略
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=，且2454a a +=，则66
=S a __________. 【答案】63 【解析】 【分析】 由题意知24131
2
a a q a a +==+，继而利用等比数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式代入求值即可.
【详解】
解：由题意知241312a a q a a +==+，所以616
66556
61(1)11()112631(1)()2
a q S q q a a q q q ----====-. 故答案为：63. 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.
14．已知非零向量a r ，b r 满足2b a =v v
，且()b a a -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为____________.
【答案】
3
π
（或写成60︒） 【解析】 【分析】
设a r 与b r
的夹角为θ，通过()b a a -⊥r r r ，可得()
=0b a a -⋅r r r ，化简整理可求出cos θ，从而得到答案.
【详解】
设a r 与b r
的夹角为θ
Q (
)
b a a -⊥r r
r
可得()
=0b a a -⋅r r r
，
∴()
2
=0a b a ⋅-r r r
故2cos =0a b a θ⋅⋅-r r r ，将2b a =v v
代入可得
得到1cos 2
θ=
， 于是a r 与b r
的夹角为3
π. 故答案为：3
π. 【点睛】
本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.
15．已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r
，则a b +=r r _________.
【答案】2 【解析】 【分析】
由a b ⊥r r
得0a b ⋅=r r ，算出1k
=，再代入算出a b +r r
即可.
【详解】
Q (1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r
，10a b k ∴⋅=-+=r r ，解得：1k =，
()0,2a b ∴+=r r
，则2a b +=r r .
故答案为：2 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算. 16．已知二项式
的展开式中的常数项为
，则
__________．
【答案】2 【解析】 【分析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值． 【详解】 二项式
的展开式中的通项公式为
，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()sin ax f x e x =.
（1）若()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若1a =，对0,
2x π⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
，恒有()f x bx …成立，求实数b 的最小值. 【答案】（1）[3,)+∞（2）22
e π
π
【解析】 【分析】 （1）求得()'
f
x ，根据已知条件得到()0f x '≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
恒成立，由此得到sin cos 0a x x +≥在06,π
⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
恒
成立，利用分离常数法求得a 的取值范围.
（2）构造函数设()()g x f x bx =-，利用求二阶导数的方法，结合()0g x ≤恒成立，求得b 的取值范围，由此求得b 的最小值. 【详解】
（1）()sin cos (sin cos )ax
ax
ax
f x ae x e x e a x x '=+=+
因为()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()0f x '≥在06
,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立，
即sin cos 0a x x +≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
恒成立，
当0x =时，上式成立，a R ∈
当0,6x π⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
，有cos 1sin tan x a x x ≥-=-，需max 1tan a x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭， 而06
x π
<≤
，0tan x <≤
，
1tan x ≥
1tan x -≤
，故a ≥综上，实数a
的取值范围是[)+∞
（2）设()()sin x
g x f x bx e x bx =-=-，0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则()(sin cos )x
g x e x x b '=+-， 令()(sin cos )x
h x e x x b =+-，
()(2cos )0x h x e x '=≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，也就是()g x '在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递增，
所以2()1,g x b e b π
⎡⎤
'∈--⎢⎥⎣⎦
.
当10b -≥即1b ≤时，()(0)0g x g ≥=，不符合； 当20e b π
-≤即2b e π
≥时，()(0)0g x g ≤=，符合
当210b e b π
-<<-即21b e π
<<时，根据零点存在定理，00,2x π⎛
⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
，使()00g x '=，有()00,x x ∈时，
()0g x '<，()g x 在[)00,x 单调递减，0,2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()g x 在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，(0)0
g =成立，故只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可，有202e b ππ-≤，得222e b e ππ
π
≤<，符合 综上得，22
b e π
π
≥，实数b 的最小值为
22
e π
π
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 18．已知函数221()22
x
x f x e ae a x =
--. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增；
（2）341,
2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
. 【解析】 【分析】
（1）对a 分三种情况0,0,0a a a =讨论求出函数()f x 的单调性；（2）对a 分三种情况0,0,0a a a =，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解. 【详解】 （1）()()22'()22x
x x x f x e
ae a e a e a =--=+-，
当0a =时，2'()0x
f x e =>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；
当0a >时，'()0f x <，ln(2)x a <，'()0f x >，ln(2)x a >， ∴()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；
当0a <时，'()0f x <
，22
222
21
1{ 2a b c a a b c +===+，'()0f x >，ln()x a >-， ∴()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增. 综上：当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；
当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增； 当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增. （2）由（1）可知： 当0a =时，2()0x
f x e
=>，∴0a =成立.
当0a >时，2ln(2)ln(2)2min 1()(ln(2))2ln(2)2
a a f x f a e ae a a ==
--22ln(2)0a a =-≥， ln(2)0a ≤，∴102
a <≤.
当0a <时，2ln()ln()2min 1()(ln())2ln()2
a a f x f a e ae a a --=-=
--- 2232ln()02
a a a =--≥，
3
ln()4
a -≤
，∴34a e ≥-，即340e a -≤<. 综上341
,
2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；
（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii ）若
1p =，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.
参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈
【答案】（1）110（2）（i ）()1
11k
p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4.
【解析】 【分析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可；
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到
()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；
（ii ）由()()12E E ξξ>可得
()11k
p k
<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断
()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值
【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,
则()23
23
5
5A A 1A 10
P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为1
10
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,
()()211k P p ξ∴==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
()()()()()2111111k k k
E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦
,
若()()12E E ξξ=,则()11k
k k k p =+--,则()1
1k
p k
-=
, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111k
p k ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
,
∴p 关于k 的函数关系式为()111k
p f k k ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
（k *∈N ,且2k ≥）
（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得
()11k p k
<-
, 1p =Q
,1k
k ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1
ln 3
f x x x =-（0x >）, 则()113
f x x '=
-,令()0f x '=,则13x =,
∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,
4
1.33333
≈, 4ln 43
∴>
,
又ln5 1.6094≈,
5
1.66673
≈, 5
ln 53
∴<,
∴k 的最大值为4 【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性
20．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,1P -，直线l 的参数方程为(1x tcos t y tsin α
α=⎧⎨=-+⎩
为参数），以坐标原
点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos28sin ρρθθ+=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,,A B M 是线段AB 的中点，当40
9
PM =时，求sin α的值． 【答案】（1）2
4x y =；（2）45
. 【解析】 【分析】
（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，ρ2＝x 2+y 2可得曲线C 的直角坐标方程；
（2）联立直线l 的参数方程与x 2＝4y 由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得． 【详解】
解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos 2θ﹣sin 2θ）＝8ρsinθ， ∴x 2+y 2+x 2﹣y 2＝8y ，即x 2＝4y ， 所以曲线C 的直角坐标方程为：x 2＝4y ．
（2）联立直线l 的参数方程与x 2＝4y 得：（cosα）2t 2﹣4（sinα）t+4＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
由△＝16sin 2α﹣16cos 2α＞0，得sinα＞
2
， t 1+t 2＝
2
4sin cos a
a
，由|PM|＝1222sin 402cos 9t t a a +==， 所以20sin 2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝45
或sinα＝﹣5
4（舍去），
所以sinα＝4
5
． 【点睛】
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
21．如图，在三棱柱ADF BCE -中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，侧面ABCD 为平行四边形，侧面ABEF 为正方形，AC AB ⊥，24AC AB ==，M 为FD 的中点
.
（1）求证：//FB 平面ACM ； （2）求二面角M AC F --的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）45︒ 【解析】 【分析】
（1）连接BD ，交AC 与O ，连接MO ，由//MO FB ，得出结论；
（2）以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM 的法向量，利用夹角公式求出即可. 【详解】
（1）连接BD ，交AC 与O ，连接MO ， 在DFB ∆中，//MO FB ，
又FB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以//FB 平面ACM ；
（2）由平面ABCD ⊥平面ABEF ，AC AB ⊥，AB 为平面ABCD 与平面ABEF 的交线，故AC ⊥平面
ABEF ，故AF AC ⊥，又AF AB ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ，
以A 为原点，AC ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
()0,0,0A ，()4,0,0C ，()0,2,0B ，()4,2,0D -，()0,0,2F ，()2,1,1M -， 设平面ACM 的法向量为(),,m x y z =u r ，()4,0,0AC =u u u r ，()2,1,1AM =-u u u u r
， 由4020
m AC x m AM x y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u u v v ，得()0,1,1m =u r ，
平面ACF 的法向量为()0,1,0AB =u u u r
， 由2cos ,22
AB m ==
u u u r u r ， 故二面角M AC F --的大小为45︒.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 22．已知()()ln f x x m =+，()x
g x e =.
（1）当2m =时，证明：()()f x g x <；
（2）设直线l 是函数()f x 在点()()
()000,01A x f x x <<处的切线，若直线l 也与()g x 相切，求正整数
m 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）2m =. 【解析】 【分析】
（1）令()()()()ln 2x
F x g x f x e x =-=-+，求导()1
'2
x F x e x =-
+，可知()'F x 单调递增，且()1'02F =
，()1
'110F e
-=-<，因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，()F x 在此取得最小值，再证最小值大于零即可.
（2）根据题意得到()f x 在点()()
()000,01A x f x x <<处的切线l 的方程
()0000ln x x y x m x m x m =
-++++①，再设直线l 与()g x 相切于点()1
1,x x e ， 有101x m
e x =+，即
()10ln x x m =-+，再求得()g x 在点()1
1,x x e 处的切线直线l 的方程为()0000ln 1
x m x y x m x m x m
+=
+++++
②由①②可得
()()000000ln 1
ln x m x x m x m x m x m
+-+=+++++，即()()0001ln 1x m x m x +-+=+，根据010x m +->，转化为()0001ln 1x x m x m ++=
+-，001x <<，令()()()1
ln 011
h x x m x x m x +=+-<<+-，
转化为要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()2
1ln 10h m m
=+->求解. 【详解】
（1）证明：设()()()()ln 2x
F x g x f x e x =-=-+，
则()1'2x
F x e x =-
+，()'F x 单调递增，且()1'02F =，()1
'110F e
-=-<，
因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，且()F x 在()2,a -上单调递减，在(),a +∞上单调递增，
从而()F x 的最小值为()()()2
11ln 2022
a a F a e a a a a +=-+=+=
>++.
所以()0F x >，即()()f x g x <. （2）()1
'f x x m =
+，故()00
1'f x x m =+，
故切线l 的方程为()0000ln x x y x m x m x m
=
-++++①
设直线l 与()g x 相切于点()
11,x
x e ，注意到()'x g x e =， 从而切线斜率为1
01
x
m
e x =
+，
因此()10ln x x m =-+，
而()1
101x
g x e x m ==
+，从而直线l 的方程也为()0000ln 1x m x y x m x m x m
+=
+++++ ② 由①②可知
()()000000ln 1
ln x m x x m x m x m x m
+-+=+++++， 故()()0001ln 1x m x m x +-+=+， 由m 为正整数可知，010x m +->， 所以()0001
ln 1
x x m x m ++=
+-，001x <<，
令()()()1
ln 011
h x x m x x m x +=+-<<+-，
则()()()()
2
1
'01x x m x m x m h x ++=
>++-，
当1m =时，()()1
ln 1x x h x x
++-=为单调递增函数，且()1ln 220h =-<，从而()h x 在()0,1上无零点；
当1m >时，要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()2
1ln 10h m m
=+->， 因为()11ln 1h m m m =--为单调递增函数，()11
ln 32
30h =->， 所以3m <；
因为()()22
ln 1h m m m
=+-为单调递增函数，且()21ln 220h =-<， 因此1m >；
因为m 为整数，且13m <<， 所以2m =. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. 23．已知函数2()x f x e ax =-
（1）已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对称，又函数()f x 在1x =处的切线与2l 垂直，求实数a 的值；
（2）若函数()(2)1g x e x =-+，则当0x >，1a =时，求证： ①()()f x g x ≥； ②1(ln 1)x e ex x x --≥-. 【答案】（1）e
12
a =+（2）①证明见解析②证明见解析 【解析】 【分析】
（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得2l 的方程及其斜率.根据函数()f x 在1x =处的切线与2l 垂直列方程，解方程求得a 的值. （2）
①构造函数()()()h x f x g x =-，利用()h x 的导函数证得当0x >时，()0h x ≥，由此证得()()f x g x ≥. ②由①知2e (e 2)10x x x ----≥成立，整理得2e (e 2)1x x x ---≥成立.利用构造函数法证得
ln 1x x +≤，由此得到2(ln 1)x x x +≤，即e (e 2)1(ln 1)x x x x ---≥+，化简后得到
1(ln 1)x e ex x x --≥-.
【详解】
（1）由10,220,x y x y --=⎧⎨--=⎩解得1,
0.x y =⎧⎨
=⎩
2l 必过1l 与l 的交点(1,0)A .
在1l 上取点(0,2)B -，易得点(0,2)B -关于l 对称的点为(1,1)B '--，
2l 即为直线AB '，所以2l 的方程为
011011
y x --=----，即210x y --=，其斜率为1
2.
又因为2()e x f x ax =-，所以()e 2x f x ax '=-，(1)e 2f a '=-，
由题意1(e 2)12a -⨯
=-，解得e 12
a =+. （2）因为1a =，所以2
()e x f x x =-.
①令()()()h x f x g x =-，则2()e (e 2)1x h x x x =----， 则()e 2(e 2)e e 2(1)x
x
h x x x '=---=---， 且(1)0h '=，()e 2x
h x ''=-，
(,ln 2)x ∈-∞时，()0h x ''<，()h x '单调递减； x (ln 2,)∈+∞时，()0h x ''>，()h x '单调递增.
因为(1)0h '=，所以min ()(ln 2)4e 2ln 20h x h ''==--<，因为(0)3e 0h '=->， 所以存在0(0,1)x ∈，使()00,x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；
()0,1x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.
又(0)(1)0h h ==，所以0x >时，()0h x ≥，即2
e (e 2)10x
x x ----≥，
所以()()0f x g x -≥，即()()f x g x ≥成立.
②由①知2e (e 2)10x x x ----≥成立，即有2e (e 2)1x x x ---≥成立. 令()ln x x x ϕ=-，即11()1x x x x
ϕ-'=-=.所以(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ 单调递增；
(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，所以()(1)1x ϕϕ≤=-，即ln 1x x +≤，
因为0x >，所以2
(ln 1)x x x +≤，所以0x >时，e (e 2)1(ln 1)x
x x x ---≥+， 即0x >时，1(ln 1)x
e ex x x --≥-. 【点睛】
本小题考查函数图象的对称性，利用导数求切线的斜率，利用导数证明不等式等基础知识；考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想，数形结合思想和应用意识.。