空间几何体的外接球的体积与表面积的求解策略
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○ 数学教学与研究
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在中线BD 的延长线上, 假设为点 G,又 PC⊥平面 ABC,所以 PC⊥AC, 所以△PCA 为直 角 三 角 形,此 三 角 形 外 接 圆 的 圆 心 为
斜边 PA 的 中 点 E,过 点 E 作 平 面 PAC 的 垂 线,与 过 点 G 且与平面ABC 垂直的线交 于 点F,则 点 F 为 此 三 棱 锥 外 接
为83π. 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二 、总 结
用球的性质找球心时,应该先找这个 几 何 体 中 的 两 个 特
殊的图形(如,等腰 三 角 形,等 边 三 角 形,直 角 三 角 形 等 ),然
例3 三 棱 锥 P -ABC 中,AB =BC = 15,AC =6, PC⊥平面 ABC,PC=2,则该三棱锥外接球的表面积为 .
解
析
:由
余
弦
定
理
得
cosB
BC2+BA2-AC2 = 2BC������BA
=
-
1 5
,
所以角 B 为钝角,sinB=256,所 以 △ABC 的 外 接 圆 的 圆 心
空间几何体的外接球的体积与 表面积的求解策略
车艳杰
摘 要:全国卷中经常考空间几何体的外接球问题,由于 学 生 的 空 间 感 不 强 和 对 球 的 性 质 理 解 不 透 彻,导 致 无 法 求 空 间 几 何体的外接球的表面积或者体积.本文就是要讲解如何解决这个问题.其实无论求哪一种几何体的外接球的表面积和体积, 都 需 要 求 出 球 的 半 径 ,既 然 要 求 出 球 的 半 径 就 要 知 道 球 心 在 哪 里 ,下 面 就 笔 者 这 几 年 的 教 学 经 验 和 研 究 ,总 结 了 几 种 方 法 .
例1 直三棱柱 ABC-DEF 中,侧棱 AE⊥底 面 ABC, 三角形 ABC 中,AB⊥AC,且 AE=AB =AC=2,则 此 三 棱 柱的外接球的表面积为 .
解析:此三棱柱的特点是:从 点 A 出 发 的 三 条 棱 两 两 互 相垂直,
所以此三棱柱 的 外 接 球 就 是 以 AE,AB,AC 为 棱 长 的 正方体的外接球,
直截面圆]
有些几何体的外接球的球心如果不能用上面的两种方
法找出,还 可 以 用 球 的 性 质 法. 能 用 到 的 球 的 性 质 有 哪 些
呢? 下面介绍几个可以用到的球的性质.①与截面垂直的 直径过截面圆的圆 心.② 连 接 球 心 和 截 面 圆 的 圆 心 的 直 线 垂直于截面.③求半径 的 平 方 = 球 心 到 截 面 的 距 离 的 平 方 +截面圆的半径的平方.
球
的
球
心
,连
接
FP
,△ABC
的
外
接
圆
直径
为6 sinB
=526,
设三棱锥的外 接 球 的 球 心 到 平 面 ABC 的 距 离 为d,则
R2
=d2
+
æç5 6 è4
ö
÷
ø
2
=
(2-d)2+
æç5 6 è4
ö
÷
ø
2
,
所以 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 半 径 R2 =883,所 以 表 面 积
所以直径2R=2 2,所以球的表面积为8π. [总结]哪些几何 体 的 外 接 球 可 以 还 原 成 正 方 体 或 长 方 体或圆柱呢? 常见的情况有: 1.从同一顶点出发 的 三 条 线 两 两 互 相 垂 直 (墙 角 结 构 ) 的几何体,如底面是 直 角 三 角 形 的 直 棱 柱,墙 角 结 构 的 三 棱 锥,它们的外接球与以这三条线段为棱长 的 长 方 体 的 外 接 球 相同. 2.正四面体,还原为 正 方 体,正 四 面 体 的 棱 长 就 是 正 方 体的面对角线长. 3.直 棱 柱 的 外 接 球 就 是 此 直 棱 柱 的 外 接 圆 柱 的 外 接 球 . [方 法 二 :定 义 法 ——— 利 用 球 的 定 义 找 球 心 ] 球的定义:空 间 中,到 一 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 集合.
例2 三 棱 锥 A -BCD 中,BC ⊥CD,AB =AD = 2,
BC=1,CD= 3,则该三棱锥外接球的体积为 .
解析:∵BC⊥CD,BC=1,CD= 3, ∴BD =2,又 AD2+AB2=(2)2+(2)2=4=BD2, ∴AD ⊥AB , ∴球心为 BD 的中点(直角三角形斜 边 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 ),∴ 球 的 半 径 为 1,
∴
球
的
体
积
为4π. 3
[总 结 ]能 用 到 定 义 的 三 棱 锥 的 特 点 :
①有两个直角三角形且这两个直角三角形有公共斜边.
② 三 棱 锥 A -BCD 中,对 边 AC 与 BD 的 公 垂 线 为
EF,且 E,F 分别为AC,BD 的中点,则球心在 EF 上.
[方法三:性 质 法———利 用 球 心 与 截 面 圆 圆 心 的 连 线 垂
关 键 词 :还 原 法 ;定 义 法 ;性 质 法
一 、空 间 几 何 体 的 外 接 球 的 体 积 与 表 面 积
[方 法 一 :还 原 法 ——— 还 原 成 正 方 体 或 长 方 体 或 圆 柱 ]
结论:1.正方体和长方体的外接球的直径是它们的 体 对 角线的长.
2.圆柱的外接球:在圆 柱 OO1 中,AB 为 底 面 圆 的 一 条 直径,AC 是一 条 母 线,则 外 接 球 的 球 心 就 是 线 段 BC 的 中 点,设圆柱的底面半径为r,圆柱的高位h,球的半径 为 R,则 (2r)2 +h2 = (2R)2 .
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在中线BD 的延长线上, 假设为点 G,又 PC⊥平面 ABC,所以 PC⊥AC, 所以△PCA 为直 角 三 角 形,此 三 角 形 外 接 圆 的 圆 心 为
斜边 PA 的 中 点 E,过 点 E 作 平 面 PAC 的 垂 线,与 过 点 G 且与平面ABC 垂直的线交 于 点F,则 点 F 为 此 三 棱 锥 外 接
为83π. 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二 、总 结
用球的性质找球心时,应该先找这个 几 何 体 中 的 两 个 特
殊的图形(如,等腰 三 角 形,等 边 三 角 形,直 角 三 角 形 等 ),然
例3 三 棱 锥 P -ABC 中,AB =BC = 15,AC =6, PC⊥平面 ABC,PC=2,则该三棱锥外接球的表面积为 .
解
析
:由
余
弦
定
理
得
cosB
BC2+BA2-AC2 = 2BC������BA
=
-
1 5
,
所以角 B 为钝角,sinB=256,所 以 △ABC 的 外 接 圆 的 圆 心
空间几何体的外接球的体积与 表面积的求解策略
车艳杰
摘 要:全国卷中经常考空间几何体的外接球问题,由于 学 生 的 空 间 感 不 强 和 对 球 的 性 质 理 解 不 透 彻,导 致 无 法 求 空 间 几 何体的外接球的表面积或者体积.本文就是要讲解如何解决这个问题.其实无论求哪一种几何体的外接球的表面积和体积, 都 需 要 求 出 球 的 半 径 ,既 然 要 求 出 球 的 半 径 就 要 知 道 球 心 在 哪 里 ,下 面 就 笔 者 这 几 年 的 教 学 经 验 和 研 究 ,总 结 了 几 种 方 法 .
例1 直三棱柱 ABC-DEF 中,侧棱 AE⊥底 面 ABC, 三角形 ABC 中,AB⊥AC,且 AE=AB =AC=2,则 此 三 棱 柱的外接球的表面积为 .
解析:此三棱柱的特点是:从 点 A 出 发 的 三 条 棱 两 两 互 相垂直,
所以此三棱柱 的 外 接 球 就 是 以 AE,AB,AC 为 棱 长 的 正方体的外接球,
直截面圆]
有些几何体的外接球的球心如果不能用上面的两种方
法找出,还 可 以 用 球 的 性 质 法. 能 用 到 的 球 的 性 质 有 哪 些
呢? 下面介绍几个可以用到的球的性质.①与截面垂直的 直径过截面圆的圆 心.② 连 接 球 心 和 截 面 圆 的 圆 心 的 直 线 垂直于截面.③求半径 的 平 方 = 球 心 到 截 面 的 距 离 的 平 方 +截面圆的半径的平方.
球
的
球
心
,连
接
FP
,△ABC
的
外
接
圆
直径
为6 sinB
=526,
设三棱锥的外 接 球 的 球 心 到 平 面 ABC 的 距 离 为d,则
R2
=d2
+
æç5 6 è4
ö
÷
ø
2
=
(2-d)2+
æç5 6 è4
ö
÷
ø
2
,
所以 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 半 径 R2 =883,所 以 表 面 积
所以直径2R=2 2,所以球的表面积为8π. [总结]哪些几何 体 的 外 接 球 可 以 还 原 成 正 方 体 或 长 方 体或圆柱呢? 常见的情况有: 1.从同一顶点出发 的 三 条 线 两 两 互 相 垂 直 (墙 角 结 构 ) 的几何体,如底面是 直 角 三 角 形 的 直 棱 柱,墙 角 结 构 的 三 棱 锥,它们的外接球与以这三条线段为棱长 的 长 方 体 的 外 接 球 相同. 2.正四面体,还原为 正 方 体,正 四 面 体 的 棱 长 就 是 正 方 体的面对角线长. 3.直 棱 柱 的 外 接 球 就 是 此 直 棱 柱 的 外 接 圆 柱 的 外 接 球 . [方 法 二 :定 义 法 ——— 利 用 球 的 定 义 找 球 心 ] 球的定义:空 间 中,到 一 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 集合.
例2 三 棱 锥 A -BCD 中,BC ⊥CD,AB =AD = 2,
BC=1,CD= 3,则该三棱锥外接球的体积为 .
解析:∵BC⊥CD,BC=1,CD= 3, ∴BD =2,又 AD2+AB2=(2)2+(2)2=4=BD2, ∴AD ⊥AB , ∴球心为 BD 的中点(直角三角形斜 边 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 ),∴ 球 的 半 径 为 1,
∴
球
的
体
积
为4π. 3
[总 结 ]能 用 到 定 义 的 三 棱 锥 的 特 点 :
①有两个直角三角形且这两个直角三角形有公共斜边.
② 三 棱 锥 A -BCD 中,对 边 AC 与 BD 的 公 垂 线 为
EF,且 E,F 分别为AC,BD 的中点,则球心在 EF 上.
[方法三:性 质 法———利 用 球 心 与 截 面 圆 圆 心 的 连 线 垂
关 键 词 :还 原 法 ;定 义 法 ;性 质 法
一 、空 间 几 何 体 的 外 接 球 的 体 积 与 表 面 积
[方 法 一 :还 原 法 ——— 还 原 成 正 方 体 或 长 方 体 或 圆 柱 ]
结论:1.正方体和长方体的外接球的直径是它们的 体 对 角线的长.
2.圆柱的外接球:在圆 柱 OO1 中,AB 为 底 面 圆 的 一 条 直径,AC 是一 条 母 线,则 外 接 球 的 球 心 就 是 线 段 BC 的 中 点,设圆柱的底面半径为r,圆柱的高位h,球的半径 为 R,则 (2r)2 +h2 = (2R)2 .