2023-2024学年安徽省六安一中高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．下列结论正确的是（ ）
A ．若f （x ）＝sin x +x 2，则f ′（x ）＝﹣cos x +2x
B ．若f(x)=√x ，则f ′（x ）=
2√x
C ．若f （x ）＝2π，则f '（x ）＝2
D ．若f （x ）＝（2x ﹣1）3，则f '（x ）＝3（2x ﹣1）2 2．已知数列{n
a n
}是首项为3，公差为1的等差数列，则a 2024＝（ ） A ．
2025
2026
B ．
1012
1013
C ．
2025
2024
D ．
1011
1013
3．抛物线y ＝x 2上到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离最小的点的坐标是（ ） A ．(12，14
)
B ．（1，1）
C ．(32，9
4
)
D ．（2，4）
4．等比数列{a n }为递减数列，若a 2a 6＝6，a 3+a 5＝5，则a 5
a 7
=（ ）
A ．32
B ．23
C ．16
D ．6
5．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．如南宋数学家杨辉在《详解九章算法．商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
A ．464
B ．465
C ．466
D ．495
6．已知函数y ＝f （x ）为连续可导函数，y ＝（x +1）f '（x ）的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．f（﹣1）是函数的最小值
B．f（﹣3）是函数的极小值
C．y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增D．y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率大于0
7．设双曲线x2
a2−
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，若双曲线右支上存在点P，使得|PF2|，
|PF1|，|F1F2|成等差数列，则该双曲线的离心率的取值范围为（）
A．[3，+∞）B．（1，3]C．（3，+∞）D．（1，3）
8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝e x+sin x，则不等式f（3x﹣1）＜eπ的解集是（）
A．(1−π
3，1+π
3
)B．(0，1+π
3
)
C．(0，1+e π
3)D．(
1+π
3
，+∞)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线C：x 2
m−1+
y2
3−m
=1(m∈R)，则下列说法正确的是（）
A．若1＜m＜3，则C为椭圆B．若m＜1，则C为双曲线
C．若C为椭圆，则其长轴长一定大于2D．曲线C不能表示圆
10．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x，关于f（x）的性质，以下四个结论中正确的是（）A．f（x）是奇函数B．函数f（x）在区间（0，2）上是增函数C．f（x）有两个零点D．函数f（x）在x=√2处取得最小值
11．设椭圆C：x2
2
+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论中正确的有
（）
A．离心率e=√3
2
B．|PF1|+|PF2|=2√2
C．△PF1F2面积的最大值为1D．直线x+y−√2=0与以线段F1F2为直径的圆相切12．对于数列{a n}，若a1＝1，a4＝2，a n+2＝a n+2（n∈N*），则下列说法正确的是（）A．a2＝0B．数列{a n}是单调递增数列
C．数列{a2n﹣1}是等差数列D．数列{a n+a n+1}是等差数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知等差数列{a n}满足a3+a6+a8+a11＝12，则2a9﹣a11的值为．
14．已知曲线f(x)=x+a x在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则实数a的值为．
15．已知函数f （x ）＝sin x ﹣ax 在区间(π6，π
3)上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．
16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b
2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =1
2，P 和M 是椭圆C 上
的点，且∠F 1PF 2＝60°，△F 1PF 2的面积为4√3，O 是坐标原点，则MF 1→•MO →
的最小值为 ． 四．解答题：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 2、a 5成等比数列，且该数列的前10项和为100． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n ＝a n ﹣10，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 18．（12分）已知函数f （x ）＝4x 3﹣3x 2﹣18x +27，x ∈R ． （1）求f （x ）的单调区间与极值；
（2）求f （x ）在区间[0，3]上的最大值与最小值．
19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =1
2
S n +1．
（1）求{a n }的通项公式； （2）若b n =
n+2
a n+1
，求数列{b n }的前n 项和T n ． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx +ax +2（a ＜0），若f （x ）的最大值为2． （1）求a 的值；
（2）若f （x ）≤bx 在[1，+∞）上恒成立，求b 的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x （2x ﹣a ），其最小值为−2e −1
2． （1）求a 的值；
（2）若关于x 的方程f （x ）﹣bx +b ＝0有两个不相等的实根，求实数b 的取值范围． 22．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：y =
x 24的焦点F 与椭圆C ：x 2a 2+y 2
b
2=1(a ＞b ＞0)的一个顶点重合，点P 是椭圆C 上任意一点，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，且∠F 1PF 2的最大值为
2π3
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过抛物线M 上在第一象限内的一点N 作抛物线M 的切线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，过点N 作垂直于x 轴的直线，与直线OG 交于点E ，求证：点E 在定直线上．
2023-2024学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．下列结论正确的是（ ）
A ．若f （x ）＝sin x +x 2，则f ′（x ）＝﹣cos x +2x
B ．若f(x)=√x ，则f ′（x ）=
2√x
C ．若f （x ）＝2π，则f '（x ）＝2
D ．若f （x ）＝（2x ﹣1）3，则f '（x ）＝3（2x ﹣1）2
解：由f （x ）＝sin x +x 2，得f ′（x ）＝（sin x ）′+（x 2）′＝cos x +2x ，选项A 错误； 由f （x ）=√x ，得f ′（x ）=
12×x −12=12√x
，选项B 正确； 由f （x ）＝2π，得f ′（x ）＝0，选项C 不正确；
由f （x ）＝（2x ﹣1）3，得f ′（x ）＝3（2x ﹣1）2×（2x ﹣1）′＝6（2x ﹣1），选项D 不正确； 故选：B ． 2．已知数列{n
a n
}是首项为3，公差为1的等差数列，则a 2024＝（ ） A ．
2025
2026
B ．
1012
1013
C ．
2025
2024
D ．
1011
1013
解：根据题意，n a n
=3+(n −1)×1=n +2，所以a n =
n n+2，故a 2024=20242024+2=10121013
． 故选：B ．
3．抛物线y ＝x 2上到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离最小的点的坐标是（ ） A ．(12，1
4
)
B ．（1，1）
C ．(32，9
4
)
D ．（2，4） 解：设P （x ，y ）为抛物线上任意一点，则点P 到直线的距离d =
|x−y−4|
√2
， 因为y ＝x 2
，所以d =|x−x 2−4|√2=(x−12)2
+15
4
√2
，
当x =12时，d 最小值，此时y =1
4，所以点P 的坐标为（12，14
）．
故选：A ．
4．等比数列{a n }为递减数列，若a 2a 6＝6，a 3+a 5＝5，则a 5
a 7
=（ ）
A ．32
B ．23
C ．16
D ．6
解：由{a n }为等比数列，得a 2a 6＝a 3a 5＝6，又a 3+a 5＝5，
∴a3，a5为方程x2﹣5x+6＝0的两个根，解得a3＝2，a5＝3或a3＝3，a5＝2，由{a n}为递减数列得a n＞a n+1，∴a3＝3，a5＝2，
∴q2=a5
a3
=
2
3
，则
a5
a7
=
1
q2
=
3
2
．
故选：A．
5．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．如南宋数学家杨辉在《详解九章算法．商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（）
A．464B．465C．466D．495
解：记第n层有a n个球，则a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，
结合高阶等差数列的概念知a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝4，⋯，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2），
则第30层的小球个数a30＝（a30﹣a29）+（a29﹣a28）+⋯+（a2﹣a1）+a1＝30+29+28+⋯+2+1＝465．故选：B．
6．已知函数y＝f（x）为连续可导函数，y＝（x+1）f'（x）的图象如图所示，以下命题正确的是（）
A．f（﹣1）是函数的最小值
B．f（﹣3）是函数的极小值
C．y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增
D．y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率大于0
解：由图象可看出当x＞﹣1时，（x+1）f'（x）＞0⇒f'（x）＞0，
当﹣3＜x＜﹣1时，（x+1）f′（x）＞0⇒f′（x）＜0，
当x＜﹣3时，（x+1）f′（x）＜0⇒f′（x）＞0，
当x＝﹣3时，（﹣3+1）f′（﹣3）＝0⇒f'（﹣3）＝0，
故f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，故C错误；
f（﹣1）是函数f（x）的极小值，但无法确定是不是最小值，故A错误；
f（﹣3）是函数的极大值，故B错误；
由于（0+1）f′（0）＞0＝f′（0）＞0，故y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率大于0，故D正确．
故选：D．
7．设双曲线x2
a2−
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，若双曲线右支上存在点P，使得|PF2|，
|PF1|，|F1F2|成等差数列，则该双曲线的离心率的取值范围为（）
A．[3，+∞）B．（1，3]C．（3，+∞）D．（1，3）
解：由题意|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，可得：|PF2|+|F1F2|＝2|PF1|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，|PF1|≥a+c，可得2c﹣2a≥a+c，解得c≥3a，所以e≥3，
故选：A．
8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝e x+sin x，则不等式f（3x﹣1）＜eπ的解集是（）
A．(1−π
3，1+π
3
)B．(0，1+π
3
)
C．(0，1+e π
3)D．(
1+π
3
，+∞)
解：当x≥0时，f（x）＝e x+sin x，f′（x）＝e x+cos x，
因为e x≥1，cos x∈[﹣1，1]，所以f′（x）＝e x+cos x≥0恒成立，
所以f（x）在[0，+∞）单调递增，
又因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0]单调递减，所以f（﹣π）＝f（π）＝eπ，
所以由f（3x﹣1）＜eπ，可得﹣π＜3x﹣1＜π，解得1−π
3
＜x＜
1+π
3
．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线C：x 2
m−1+
y2
3−m
=1(m∈R)，则下列说法正确的是（）
A．若1＜m＜3，则C为椭圆B．若m＜1，则C为双曲线C．若C为椭圆，则其长轴长一定大于2D．曲线C不能表示圆
解：由题意，在曲线C：
x2
m−1
+
y2
3−m
=1(m∈R)中，
A项，当1＜m＜3时，0＜m﹣1＜2，0＜3﹣m＜2，
但当m﹣1＝3﹣m即m＝2时，曲线C：x2+y2＝1（m∈R）为圆，故A错误；
B项，当m＜1时，m﹣1＜0，3﹣m＞2，为双曲线，B正确；
C项，若C为椭圆，由A选项知，m∈（1，2）∪（2，3），
当m∈（1，2）时，m﹣1∈（0，1），3﹣m∈（1，2），
∴长轴长为2√3−m＞2，
当m∈（2，3）时，m﹣1∈（1，2），3﹣m∈（0，1），
∴长轴长为2√m−1＞2，故C正确；
D项，由A知当m＝2时，曲线C：x2+y2＝1（m∈R）为圆，D错误．
故选：BC．
10．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x，关于f（x）的性质，以下四个结论中正确的是（）A．f（x）是奇函数B．函数f（x）在区间（0，2）上是增函数
C．f（x）有两个零点D．函数f（x）在x=√2处取得最小值
解：选项A，f（﹣x）＝[（﹣x）2﹣2（﹣x）]e﹣x＝（x2+2x）e﹣x，所以f（x）是非奇非偶函数，即A错误；
选项B，求导得f'（x）＝（x2﹣2）e x，令f'（x）＝0，则x＝±√2，
当x＜−√2或x＞√2时，f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，−√2）和（√2，+∞）上单调递增，当−√2＜x＜√2时，f'（x）＜0，所以f（x）在（−√2，√2）上单调递减，即B错误；
选项C，令f（x）＝（x2﹣2x）e x＝0，则x2﹣2x＝0，解得x＝0或2，所以f（x）有两个零点，即C正确；
选项D，由上可知，f（x）在（−√2，√2）上单调递减，在（﹣∞，−√2）和（√2，+∞）上单调递增，所以f（x）在x=√2处取得极小值，且f（√2）＝2（1−√2）e√2＜0，
当x＜0时，f（x）＞0恒成立，所以f（√2）是最小值，即D正确．
故选：CD．
11．设椭圆C：x2
2
+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论中正确的有
（）
A．离心率e=√3
2
B．|PF1|+|PF2|=2√2
C．△PF1F2面积的最大值为1D．直线x+y−√2=0与以线段F1F2为直径的圆相切
解：由椭圆方程可知椭圆离心率为e =√2−12=√2
2
，故A 错误；
由椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2√2，故B 正确；
当P 在上下顶点时△PF 1F 2的面积可取得最大值为√1×√2−1=1，故C 正确； 以F 1F 2为直径的圆的圆心为原点，半径为r =√2−1=1， 而圆心到直线x +y −√2=0的距离d =|0−√2|
2
=1=r ，即与直线相切，故D 正确． 故选：BCD ．
12．对于数列{a n }，若a 1＝1，a 4＝2，a n +2＝a n +2（n ∈N *），则下列说法正确的是（ ） A ．a 2＝0
B ．数列{a n }是单调递增数列
C ．数列{a 2n ﹣1}是等差数列
D ．数列{a n +a n +1}是等差数列
解：对A ，由题意a 4＝2，a 4＝a 2+2，故a 2＝0，故A 正确； 对B ，因为a 1＝1，a 2＝0，a 1＞a 2，故B 错误；
对C ，a 2(n+1)−1−a 2n−1=a 2n+1−a 2n−1=2(n ∈N ∗)，故数列{a 2n ﹣1}是等差数列，故C 正确； 对D ，(a n+1+a n+2)−(a n +a n+1)=a n+2−a n =2(n ∈N ∗)，故数列{a n +a n +1}是等差数列，故D 正确． 故选：ACD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知等差数列{a n }满足a 3+a 6+a 8+a 11＝12，则2a 9﹣a 11的值为 3 ． 解：等差数列{a n }满足a 3+a 6+a 8+a 11＝12，
由等差数列通项公式得a 1+2d +a 1+5d +a 1+7d +a 1+10d ＝12， 即4a 1+24d ＝12，故a 1+6d ＝3，
2a 9﹣a 11＝2（a 1+8d ）﹣a 1﹣10d ＝a 1+6d ＝3． 故答案为：3． 14．已知曲线f(x)=
x+a e x 在点（1，f （1））处的切线与直线2x +y ﹣1＝0垂直，则实数a 的值为 −e
2
． 解：根据题意，曲线f(x)=
x+a
e x
， 其导数f ′（x ）=e x −(x+a)e x (e x )
2=1−(x+a)e x ，则f ′（1）=−a
e ， 若曲线f(x)=
x+a e x 在点（1，f （1））处的切线与直线2x +y ﹣1＝0垂直，则有f ′（1）=−a e =−e
2
， 变形可得：a =−e
2．
故答案为：−e
2
．
15．已知函数f （x ）＝sin x ﹣ax 在区间(π6，π
3)上单调递减，则实数a 的取值范围为 [√32
，+∞) ．
解：因为函数f （x ）＝sin x ﹣ax 在区间(π6，π
3
)上单调递减，
所以在区间(π6，π3)上f ′（x ）＝cos x ﹣a ≤0，即a ≥cos x 在区间(π6，π
3)上恒成立，
因为x ∈(π6，π
3)，所以12＜cosx ＜√32
，所以a ≥√32．
故答案为：[
√3
2
，+∞)．
16．已知椭圆C ：
x 2a 2+y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2
，其离心率e =1
2，P 和M 是椭圆C 上的点，且∠F 1PF 2＝60°，△F 1PF 2的面积为4√3，O 是坐标原点，则MF 1→
•MO →
的最小值为 8 ． 解：由e =1
2，得a ＝2c ．设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m +n ＝2a ，
S △F 1PF 2=1
2
mnsin60°=4√3，解得mn ＝16，
在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：
（2c ）2＝m 2+n 2﹣2mn cos60°＝（m +n ）2﹣3mn ＝4a 2﹣3mn ， 解得a 2﹣c 2＝b 2＝12，从而a ＝4，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为
x 216
+
y 212
=1，F 1（﹣2，0），
设M （x 0，y 0）（﹣4≤x 0≤4），则x 0216+y 0
212
=1，
所以y 02=34
(16−x 02
)，
所以MF 1→⋅MO →=x 02+2x 0+y 02
=14
(x 0+4)2+8，
所以当x 0＝﹣4时，MF 1→⋅MO →
取得最小值8． 故答案为：8．
四．解答题：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 2、a 5成等比数列，且该数列的前10项和为100． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n ＝a n ﹣10，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 解：（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 2、a 5成等比数列， 且该数列的前10项和为100， ∴{(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)
S 10=10a 1+10×92
d =100d ≠0
，
∴解得a1＝1，d＝2，
∴a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．
（2）∵b n＝a n﹣10＝2n﹣11，
∴b1=2﹣11＝﹣9，b n﹣b n﹣1＝（2n﹣11）﹣[2（n﹣1）﹣11]＝2，∴数列{b n}是首项为﹣9，公差为2的等差数列，
T n=−9n+n(n−1)
2
×2=n2﹣10n＝（n﹣5）2﹣25．
∴当n＝5时，数列{b n}的前n项和T n的最小值为﹣25．18．（12分）已知函数f（x）＝4x3﹣3x2﹣18x+27，x∈R．（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求f（x）在区间[0，3]上的最大值与最小值．
解：（1）已知f（x）＝4x3﹣3x2﹣18x+27，函数定义域为R，
可得f′(x)=12x2−6x−18=12(x+1)(x−3
2 )，
当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当−1＜x＜3
2
，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞3
2
时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，极大值f（﹣1）＝38，
当x=3
2
时，函数f（x）取得极小值，极小值f（
3
2
）=
27
4
；
（2）因为0≤3
2
≤3，且f（0）＝27，f（3）＝54，
易知f(3
2
)＜f(0)＜f(3)，
又函数f（x）在区间[0，3]上连续，
所以函数f（x）在区间[0，3]内的最大值为54，最小值为27 4
．
19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=1
2
S n+1．（1）求{a n}的通项公式；
（2）若b n=n+2
a n+1
，求数列{b n}的前n项和T n．
解：（1）因为a n=1
2
S n+1，①
则当n＝1时，得a1=1
2
S1+1=
1
2
a1+1，解得a1＝2．
当n≥2时，a n−1=1
2
S n−1+1，②
①﹣②得：a n−a n−1=1
2
(S n−S n−1)=
1
2
a n，即
1
2
a n=a n−1，
又a1＝2，a2＝4，满足上式，所以
a n
a n−1
=2，
所以{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n=2n．
（2）由（1）知b n=n+2
a n+1
=
n+2
2n+1
，
所以T n=3
22
+
4
23
+⋯+
n+1
2n
+
n+2
2n+1
，
所以1
2
T n=
3
23
+
4
24
+⋯+
n+1
2n+1
+
n+2
2n+2
，
所以1
2
T n=
3
4
+
1
23
+⋯+
1
2n+1
−
n+2
2n+2
=1−
n+4
2n+2
，所以T n=2−
n+4
2n+1
．
20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax+2（a＜0），若f（x）的最大值为2．（1）求a的值；
（2）若f（x）≤bx在[1，+∞）上恒成立，求b的取值范围．
解：（1）易知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
根据题意可得f′(x)=1
x
+a=
1+ax
x
，
令f′（x）＝0，得x=−1 a ，
当x∈(0，−1
a
)时，f′（x）＞0，即f（x）在(0，−1a)上单调递增，
当x∈(−1
a
，+∞)时，f（x）＜0，即f（x）在(−1
a
，+∞)上单调递减；
所以f(x)max=f(−1
a
)=ln(−
1
a
)+1=2，解得a=−
1
e
．
（2）由（1）知f(x)=lnx−x
e
+2，
因为x≥1，所以lnx−x
e
+2≤bx，可化为b≥
lnx
x
−
1
e
+
2
x
，
设g(x)=lnx
x
−
1
e
+
2
x
，
所以g′(x)=1−lnx
x2
−
2
x2
=
−lnx−1
x2
，
则g′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，即可得g（x）在[1，+∞）上单调递减，
b≥g（x）max＝2−1
e
，
因此b的取值范围是[2−1
e
，+∞)．
21．（12分）已知函数f （x ）＝e x （2x ﹣a ），其最小值为−2e −12．
（1）求a 的值；
（2）若关于x 的方程f （x ）﹣bx +b ＝0有两个不相等的实根，求实数b 的取值范围．
解：（1）因为f （x ）＝e x （2x ﹣a ），
所以f '（x ）＝e x （2x ﹣a +2），
当x ＞a−22时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ＜a−22
时，f ′（x ）＜0，函数单调递减， 故函数f （x ）最小值在x =
a−22处取到， 所以f(a−22
)=−2e −12，即−2e a−22=−2e 12， 所以a ＝1；
（2）因为a ＝1，f （x ）＝e x （2x ﹣1），
由f （x ）﹣bx +b ＝0可得f （x ）＝b （x ﹣1），
所以e x （2x ﹣1）＝b （x ﹣1），
显然x ＝1不是方程的根，
所以b =e x (2x−1)x−1
(x ≠1)， 令g(x)=e x (2x−1)x−1，则g ′(x)=x(2x−3)e x (x−1)2， 当x ＞32或x ＜0时，g ′（x ）＞0，当0＜x ＜32
且x ≠0时，g ′（x ）＜0， 所以g （x ）在（﹣∞，0）和(32，+∞)上单调递增，在（0，1）和(1，32
)上单调递减． 当x ＜0时，g （x ）＞0，当0＜x ＜1时，g （x ）＜1且g （12
）＝0，当x ＞32时，g （x ）＞4e 32， 其大致图象如图所示
要想b =e x (2x−1)x−1
(x ≠1)有两个不同实根，即使y ＝b 与g （x ）有两不同交点即可， 结合g （x ）的图象可知，b 的范围为{b |0＜b ＜1
或b ＞4e 32}． 22．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：y =x 24的焦点F 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的一个顶点重合，点P 是椭圆C 上任意一点，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，且∠F 1PF 2的最大值为2π3．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过抛物线M 上在第一象限内的一点N 作抛物线M 的切线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，过点N 作垂直于x 轴的直线，与直线OG 交于点E ，求证：点E 在定直线上．
解：（1）∵x 2＝4y ，∴F （0，1），则F 为椭圆C 的上顶点，
∴b ＝1，由题意知：当P 为椭圆的短轴端点时，
∠F 1PF 2取得最大值2π3，此时在Rt △POF 1中，
|OP |＝1，∠F 1PO =π3，∴tan ∠F 1PO =c b
=√3， 则c =√3，∴a 2＝b 2+c 2＝4，
∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2=1；
（2）证明：如图，设点N(n ，
n 24)(n ＞0)，
对y =14x 2求导得y ′=12
x ， ∴直线AB 的斜率k =12n ，∴直线AB 的方程为y −n 24=n 2
(x −n)， 即y =n 2x −n 24
，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{x 24+y 2=1y =n 2x −n 24
，消去y 化简得：(1+n 2)x 2−n 3x +n 44−4=0， 由Δ=16(1+n 2−n 416
)＞0，得：n 4﹣16n 2﹣16＜0， ∴x 1+x 2=n 31+n 2，x 1x 2=n 4−164(1+n 2)
，
∴y1+y2=n
2
(x1+x2)−
n2
2
=−
n2
2(1+n2)
，
∴G(
n3
2(1+n2)
，−n
2
4(1+n2)
)，∴k OG=−
1
2n
，
则直线OG的方程为y=−
1
2n
x，又过点N且垂直于x轴的直线的方程为x＝n，
则由{y=−
1 2n
x
x=n ，得：y E=−
1
2
，
∴点E在定直线y=−1
2上．。