专题06 动量和能量观点在电磁学中的应用(原卷版)

专题 06 动量观点和能量观点在电磁学中的应用
【要点提炼】
一、电势能变化的规律
1.电场力做正功(负功)，电势能减小(增大)；正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势低处电势能大。

2.电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化，而能量总和应保持不变。

(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。

(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。

二、电磁感应中的功能关系
克服安培
――→
力做功
电流做功
――→
三、备考策略
1.洛伦兹力对运动电荷不做功。

2.安培力可做正功，也可做负功。

3.力学中的三大观点(动力学、动量、能量观点)仍是解决力电综合问题首选的方法。

【方法指导】
一、电磁感应中求解焦耳热的三种方法
二、电磁感应中动力学问题的“两分析、两状态”
1.分析受力情况、分析运动情况
(1)导体切割磁感线运动产生感应电动势，在电路中产生感应电流，导体在磁场中受安培力，安培力将阻碍导体运动。

(2)安培力一般是变力，导体做切割磁感线运动的加速度发生变化，当加速度为零时，导体达到稳定状态，最后做匀速直线运动。

2.两种状态的处理方法
(1)导体处于平衡状态——根据导体所受合力等于零列式分析。

(2)导体处于非平衡状态——根据牛顿第二定律、动量定理进行动态分析或结合功能关系分析。

命题点一：应用能量观点解决力电综合问题
电能
焦耳热或其他
形式的能量
其他形式
的能量
考向一电场中的功能关系
【典例1】(多选)图1 中虚线a、b、c、d、f 代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b 上的电势为2 V。

一电子经过a 时的动能为10 eV，从a 到d 的过程中克服电场力所做的功为6 eV。

下列说法正确的是( )
A.平面c 上的电势为零
B.该电子可能到达不了平面f
C.该电子经过平面d 时，其电势能为4 eV
D.该电子经过平面b 时的速率是经过d 时的2 倍（图1）
考向二能量观点在电磁场中的应用
【典例2】如图2 所示，一带正电小球穿在一根绝缘粗糙直杆上，杆与水平方向夹角为θ，整个空间存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，先给小球一初速度，使小球沿杆向下运动，在A 点时的动能为100 J，在C 点时动能减为零，D 为AC 的中点，那么带电小球在运动过程中( )
A.到达C 点后小球不可能沿杆向上运动
B.小球在AD 段克服摩擦力做的功与在DC 段克服摩擦力做的功不等
C.小球在D 点时的动能为50 J
D.小球电势能的增加量等于重力势能的减少量（图2）
考向三动力学观点和能量观点在电磁感应中的应用
【典例3】小明设计的电磁健身器的简化装置如图3 所示，两根平行金属导轨相距l ＝0.50 m，倾角θ＝53°，导轨上端串接一个R＝0.05 Ω 的电阻。

在导轨间长d＝0.56 m 的区域内，存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0 T。

质量m＝4.0 kg 的金属棒CD 水平置于导轨上，用绝缘绳索通过定滑轮与拉杆GH 相连。

CD 棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s＝0.24 m。

一位健身者用恒力F＝80 N 拉动GH 杆，CD 棒由静止开始运动，上升过程中CD 棒始终保持与导轨垂直。

当CD 棒到达磁场上边界时健身者松手，触发恢复装置使CD 棒回到初始位置(重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，不计其他电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量)。

求：
(1)CD 棒进入磁场时速度v 的大小；
(2)CD 棒进入磁场时所受的安培力F A 的大小；
(3)在拉升CD 棒的过程中，健身者所做的功W
和电阻产生的焦耳热Q。

（图 3）
【拓展练习】
（图6）
2 qL
1.(多选)如图4 所示，两个倾角分别为30°和60°的光滑斜面固定于水平地面上，并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场中。

两个质量均为m、带电荷量为＋q 的滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放，运动一段时间后，两滑块都将飞离斜面。

此过程中( )
（图 4）
A.甲滑块飞离斜面瞬间的速度比乙滑块飞离斜面瞬间的速度大
B.甲滑块在斜面上运动的时间比乙滑块在斜面上运动的时间短
C.甲滑块在斜面上运动的位移与乙滑块在斜面上运动的位移大小相同
D.两滑块在斜面上运动的过程中，重力的平均功率相等
2.(多选)如图5，同一平面内的a、b、c、d 四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M 为a、c 连线的中点，N 为b、d 连线的中点。

一电荷量为q(q>0)的粒子从a 点移动到b 点，其电势能减小W1；若该粒子从c 点移动到d 点，其电势能减小W2。

下列说法正确的是( )
A.此匀强电场的场强方向一定与a、b 两点连线平行
B.若该粒子从M 点移动到N 点，则电场力做功一定为
W1＋W2
C.若c、d 之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为W2
（图 5）
D.若W1＝W2，则a、M 两点之间的电势差一定等于b、N 两点之间的电势差
3.如图6 甲所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ 是处于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨，间距l＝0.2 m，在导轨一端连接着阻值为R＝0.4 Ω的定值电阻，ab 是放在导轨上质量为m＝0.1 kg 的导体棒。

从零时刻开始，通过一小型电动机对ab 棒施加一个牵引力，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好。

图乙是拉力F 与导体棒ab 速率倒数关系图象(F1 未知)。

已知导体棒ab 与导轨间的动摩擦因数μ＝0.2，除R 外，其余部分电阻均不计，不计定滑轮的质量和摩擦，g 取10 m/s2。

(1)求电动机的额定功率；
(2)若导体棒ab 在16 s 内运动了90 m 并恰好达到最大速度，求在0～16 s 内电阻R 上
产生的焦耳热。

命题点二：应用动量观点和能量观点解决力电综合问题考向一动量观点和能量观点在电场中的应用
【典例1】(多选)如图7 所示，一平行板电容器连接在直流电源上，电容器的极板水平；
两微粒a、b 所带电荷量大小相等、符号相反，使它们分别静止于电容器的上、下极板附近，
与极板距离相等。

现同时释放a、b，它们由静止开始运动。

在随后的某时刻t，a、b 经过电容器两极板间下半区域的同一水平面。

a、b 间的相互作用和重力可忽略。

下列说法正确的是( )
A.a 的质量比b 的大
B.在t 时刻，a 的动能比b 的大
C.在t 时刻，a 和b 的电势能相等
D.在t 时刻，a 和b 的动量大小相等（图7）
考向二动量观点和能量观点在电磁感应中的应用
【典例2】(多选)如图8 所示，足够长的光滑水平轨道，左侧轨道间距为0.4 m，右侧轨道间距为0.2 m。

空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为0.2 T。

质量均为0.01 kg 的金属棒M、N 垂直导轨放置在轨道上，开始时金属棒M、N 均保持静止，现使金属棒M 以5 m/s 的速度向右运动，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，M 棒总在宽轨上运动，N 棒总在窄轨上运动。

已知两金属棒接入电路的总电阻为0.2 Ω，轨道电阻不计，下列说法正确的是( )
A M、N 棒在相对运动过程中，回路内产生顺时针方向的电流(俯视)
B.M、N 棒最后都以2.5 m/s 的速度向右匀速运动
C.从开始到最终匀速运动电路中产生的焦耳热为6.25×10－2 J （图8）
D.在两棒整个的运动过程中，金属棒M、N 在水平导轨间扫过的面积之差为0.5 m2
【拓展练习】
如图9 所示，将带电荷量Q＝＋0.3 C、质量m′＝0.3 kg 的滑块放在小车的水平绝缘板的右端，小车的质量M＝0.5 kg，滑块与绝缘板间的动摩擦因数μ＝0.4，小车的绝缘板足够长，它们所在的空间存在磁感应强度B＝20 T 的水平方向的匀强磁场(垂直于纸面向里)。

开始时小车静止在光滑水平面上，一摆长L＝1.25 m、质量m＝0.15 kg 的摆球从水平位置由静止释放，摆球到最低点时与小车相撞，碰撞后摆球恰好静止，g 取10 m/s2。

求：
(1)与小车碰撞前摆球到达最低点时对摆线的拉力；
(2)摆球与小车的碰撞过程中系统损失的机械能ΔE；
(3)碰撞后小车的最终速度。

（图 9）
【专题训练】
一、选择题(1～2 题为单项选择题，3～8 题为多项选择题)
1.如图1 所示，固定在倾角为θ＝30°的斜面内的两根平行长直光滑金属导轨的间距为d ＝1 m，其底端接有阻值为R＝2 Ω 的电阻，整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度大小为B＝2 T 的匀强磁场中。

一质量为m＝1 kg(质量分布均匀)的导体杆ab 垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触。

现杆在沿斜面向上、垂直于杆的恒力F＝10 N 作用下从静止开始沿导轨向上运动距离L＝6 m 时，速度恰好达到最大(运动过程中杆始终与导轨保持垂直)。

设杆接入电路的电阻为r＝2 Ω，导轨电阻不计，重力加速度大小为g＝10 m/s2。

则此过程( )
A.杆的速度最大值为4 m/s
B.流过电阻R 的电荷量为6 C
C.在这一过程中，整个回路产生的热量为17.5 J
D.流过电阻R 的电流方向为由c 到d （图1）
2.如图2 所示，平行板电容器水平放置，两极板间电场强度大小为E，中间用一光滑绝
h
2
缘细杆垂直连接，杆上套有带正电荷的小球和绝缘弹簧，小球压在弹簧上，但与弹簧不拴接，开始时对小球施加一竖直向下的外力，将小球压至某位置使小球保持静止。

撤去外力后小球从静止开始向上运动，上升h 时恰好与弹簧分离，分离时小球的速度为v，小球上升过程不会撞击到上极板，已知小球的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.与弹簧分离时小球的动能为mgh＋qEh
B.从开始运动到与弹簧分离，小球增加的机械能为mgh＋qEh
C.从开始运动到与弹簧分离，小球减少的电势能为
qE
D.撤去外力时弹簧的弹性势能为
1
m v2－(qE－mg)h （图2）
3.一带电小球在空中由A 点运动到B 点的过程中，只受重力、电场力和空气阻力三个力的作用。

若重力势能增加5 J，机械能增加1.5 J，电场力做功2 J，则小球( )
A.重力做功为5 J
B.电势能减少2 J
C.空气阻力做功0.5 J
D.动能减少3.5 J
4.如图3 所示，平行金属板A、B 水平正对放置，分别带上等量异种电荷。

一带电微粒水平射入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么( )
A.若微粒带负电荷，则A 板可能带正电荷
B.微粒从M 点运动到N 点电势能可能增加
C.微粒从M 点运动到N 点机械能一定增加
D.微粒从M 点运动到N 点动能一定增加（图3）
5.如图4 所示，两个足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，上端接有一定值电阻，匀强磁场垂直导轨平面向上。

一导体棒以平行导轨向上的初速度从ab 处上滑，到最高点后又下滑回到ab 处。

下列说法中正确的是( )
（图 4）
A.上滑过程中导体棒克服安培力做的功大于下滑过程中克服安培力做的功
B.上滑过程中导体棒克服安培力做的功等于下滑过程中克服安培力做的功
C.上滑过程中安培力对导体棒的冲量大小大于下滑过程中安培力对导体棒的冲量大小
D.
上滑过程中安培力对导体棒的冲量大小等于下滑过程中安培力对导体棒的冲量大小6.如图5 所示，半径为R 的光滑半圆弧绝缘轨道固定在竖直平面内，磁感应强度为B 的
（图 7） 10B 2L 2 匀强磁场方向垂直轨道平面向里。

一可视为质点、质量为 m 、电荷量为 q (q ＞0)的小球由轨道左端 A 处无初速度滑下。

当小球滑至轨道最低点 C 时，给小球再施加一始终水平向右的外力 F ，使小球能保持不变的速率滑过轨道右侧的 D 点。

若小球始终与轨道接触，重力加速度为 g ，则下列判断中正确的是( )
A. 小球在 C 点受到的洛伦兹力大小为 qB gR
B. 小球在 C 点对轨道的压力大小为 3mg －qB 2gR
C. 小球从 C 到 D 的过程中，外力 F 的大小保持不变
D. 小球从 C 到 D 的过程中，外力 F 的功率逐渐增大 （图 5）
7. 空间 AA ′与 DD ′之间为磁感应强度大小为 B 的匀强磁场区域，间距为 H ，磁场方向垂直纸面向里，DD ′距离地面高度为 L 。

现有一质量为 m 、边长为 L (L ＜H )、电阻为 R 的正方形线框由 AA ′上方某处自由落下(线框始终处于竖直平面内，且 ab 边始终与 AA ′平行)，恰能匀速进入磁场区域。

当线框的 cd 边刚要触地前瞬间线框的加速度大小为 a ＝0.1g ，g 为重力加速度，空气阻力不计，则( )
A. m 2gR 2 线框自由下落的高度为 2B 4L 4
B.
线框触地前瞬间线框的速度为 9mgR C. 线框进入磁场的过程中，线框产生的热量为 mgL D. mR 2B 2L 3 线框的 cd 边从 AA ′运动到触地的时间为 10B 2L 2＋ mgR （图 6）
8. 如图 7 所示，PQ 、MN 为两根光滑绝缘且固定的平行轨道，两轨道间的宽度为 L ，轨道斜面与水平面成 θ 角。

在矩形 abdc 内存在方向垂直轨道斜面向下、磁感应强度为 B 的匀强磁场，已知 ab 、cd 间的距离为 3d 。

有一质量为 m 、长为 L 、宽为 d 的矩形金属线圈 ABCD 放置在轨道上，开始时线圈 AB 边与磁场边界 ab 重合。

现让线圈由静止出发沿轨道下滑， 从 AB 边进入磁场到 CD 边进入磁场的过程中，流过线圈的电荷量为 q 。

线圈通过磁场的总时间为 t ，重力加速度为 g 。

下列说法正确的是( )
A. 线圈在磁场中不可能做匀加速直线运动
B. 线圈的电阻为 R
BLd ＝ q C. 线圈 CD 边刚好通过磁场下边界时，线圈的速度大小为 v
mgt sin θ－BLq
＝ m （mgt sin θ－2BLq ）2
D. 线圈在时间 t 内电阻的发热量为 Q ＝4mgd sin θ－ 2m
二、计算题
9. 如图 8 所示，轨道 ABCDP 位于竖直平面内，其中圆弧段 CD 与水平段 AC 及倾斜段
DP 分别相切于C 点和D 点，水平段AB、圆弧段CD 和倾斜段DP 都光滑，水平段BC 粗糙，DP 段与水平面的夹角θ＝37°，D、C 两点的高度差h＝0.1 m，整个轨道绝缘，处于方向水平向左、场强未知的匀强电场中。

一个质量m1＝0.4 kg、带正电、电荷量未知的小物块Ⅰ在A 点由静止释放，经过时间t＝1 s，与静止在B 点的不带电、质量m2＝0.6 kg 小物块Ⅱ碰撞并粘在一起在BC 段上做匀速直线运动，到达倾斜段DP 上某位置。

物块Ⅰ和Ⅱ与轨道BC 段的动摩
擦因数都为μ＝0.2。

g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

求：
（图 8）
(1)物块Ⅰ和Ⅱ在BC 段上做匀速直线运动的速度大小；
(2)物块Ⅰ和Ⅱ第一次经过C 点时，圆弧段轨道对物块Ⅰ和Ⅱ支持力的大小。

10.如图9 所示，MN、PQ 两平行光滑水平导轨分别与半径r＝0.5 m 的相同竖直半圆导轨在N、Q 端平滑连接，M、P 端连接定值电阻R，质量M＝2 kg 的cd 绝缘杆垂直且静止在
水平导轨上，在其右侧至N、Q 端的区域内充满竖直向上的匀强磁场。

现有质量m＝1 kg 的ab 金属杆以初速度v0＝12 m/s 水平向右运动，与cd 绝缘杆发生正碰后，进入磁场并最终未滑出，cd 绝缘杆则恰好能通过半圆导轨最高点，不计除R 以外的其他电阻和摩擦，ab 金属杆始终与导轨垂直且接触良好，g 取10 m/s2(不考虑cd 杆通过半圆导轨最高点以后的运动)，求：
(1)cd 绝缘杆恰好通过半圆导轨最高点时的速度大小v；
(2)电阻R 产生的焦耳热Q。

（图 9）
11.两足够长且不计电阻的光滑金属轨道如图10 甲所示放置，间距为d＝1 m，在左端弧
形轨道部分高h＝1.25 m 处放置一金属杆a，弧形轨道与平直轨道的连接处光滑无摩擦，在
平直轨道右端放置另一金属杆b，杆a、b 的电阻分别为R a＝2 Ω、R b＝5 Ω，在平直轨道区
域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2 T。

现杆b 以初速度大小v0＝5 m/s 开始向左滑动，同时由静止释放杆a，杆a 由静止滑到水平轨道的过程中，通过杆b 的平均电流为0.3 A；从a 下滑到水平轨道时开始计时，a、b 运动的速度—时间图象如图乙所示(以a 运动方向为正方向)，其中m a＝2 kg，m b＝1 kg，g＝10 m/s2，求：
(1)杆a 在弧形轨道上运动的时间；
(2)杆a 在水平轨道上运动过程中通过其截面的电荷量；
(3)在整个运动过程中杆b 产生的焦耳热。

（图 10）。