高考数学步步高2022理科人教版A 第七章 强化训练6 不等式中的综合问题

强化训练6 不等式中的综合问题
1．若1a <1
b <0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2<b 2
B ．ab <b 2
C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
答案 D
解析 由题意可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误． 2．(2020·沅陵模拟)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，B ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |x <－1或x >1} B ．{x |2<x <3} C ．{x |1<x <3} D ．{x |1<x <2}
答案 B
解析 由题意可知，A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |1<x <3}，则A ∩B ＝{x |2<x <3}．
3．(2020·浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )
A ．(－∞，4]
B ．[4，＋∞)
C ．[5，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 如图，l 1：x －3y ＋1＝0，l 2：x ＋y －3＝0.
不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3y ＋1≤0，
x ＋y －3≥0表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．
设初始直线为l ：y ＝－1
2
x ，
直线l 通过向上平移经过可行域内的第一个点为l 1与l 2的交点P (2,1)， 因此z 的最小值z min ＝2＋2×1＝4， 所以z ≥4.
4．(2020·扬州新华中学模拟)若关于x 的不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)
B ．(－1,3]
C ．(－∞，－3]
D ．(－1,3)
答案 B
解析 当a －3＝0，即a ＝3时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，①
当a ≠3时，则需⎩
⎪⎨⎪⎧
a －3<0，
Δ＝4(a －3)2＋16(a －3)<0，
∴－1<a <3，②
由①②得，实数a 的取值范围是(－1,3]．
5．(2020·周市质检)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足2a 1，1
2a 3，a 2成等差数列，若存在
两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则2m ＋8
n 的最小值为( )
A ．18 B.92 C.10
3 D ．3
答案 D
解析 由2a 1，1
2a 3，a 2成等差数列，可得
a 1q 2＝2a 1＋a 1q ，
∴q 2－q －2＝0，而q >0，∴q ＝2. ∵a m a n ＝4a 1，∴2m ＋n －2
＝16＝24，
∴m ＋n ＝6，
∴2m ＋8n ＝1
6(m ＋n )⎝⎛⎭⎫2m ＋8n ＝16⎝⎛⎭⎫10＋2n m ＋8m n ≥1
6⎝
⎛⎭
⎫
10＋22n m ·8m n ＝3， 当且仅当2n m ＝8m
n 即m ＝2，n ＝4时，等号成立．
6．已知y ＝x 4＋3x 2＋3
x 2＋1，则y 的最小值为( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．3 答案 D
解析 令t ＝x 2＋1，则t ≥1且x 2＝t －1， ∴y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝(t －1)2＋3(t －1)＋3t
＝t 2＋t ＋1t ＝t ＋1
t ＋1.
∵t ≥1，∴t ＋1t
≥2
t ·1
t
＝2， 当且仅当t ＝1
t
，即t ＝1时，等号成立，
∴当x＝0时，y取得最小值3.
7．要使y＝x2－4x＋3有意义，则x的取值范围为________．
答案{x|x≤1或x≥3}
解析因为y＝x2－4x＋3有意义，
则x2－4x＋3≥0，
解不等式得x≤1或x≥3，
即x的取值范围为{x|x≤1或x≥3}．
8．已知p：(x＋3)(x－1)>0；q：x>a2－2a－2，綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
答案(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析已知p：(x＋3)(x－1)>0，
可知p：x>1或x<－3，
∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
得a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，
即a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
9．(2020·江苏邗江中学模拟)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝p(p－a)(p－b)(p－c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝6 cm，c＝4 cm，则此三角形面积的最大值为________ cm2.
答案2 5
解析由已知条件可得p＝a＋b＋c
2＝5(cm)，
∴S＝p(p－a)(p－b)(p－c)＝5(5－a)(5－b)
≤5(5－a＋5－b)
2＝25(cm
2)，
当且仅当a＝b＝3 cm时，等号成立．
因此，该三角形面积的最大值为2 5 cm2.
10．(2020·渭南模拟)已知函数y＝|log a x|(a>0，a≠1)与函数y＝b(b>0)存在两个不同的交点，两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，则2x1＋x2的最小值为________．
答案2 2
解析由题意，根据函数y＝|log a x|的特点，可知0＜x1＜1＜x2，
且log a x1＋log a x2＝0，即log a(x1x2)＝0，x1x2＝1，
故x 2＝1
x 1
，
∴2x 1＋x 2＝2x 1＋1
x 1
≥2
2x 1·1
x 1
＝2 2.
当且仅当2x 1＝1x 1，即x 1＝2
2
时，等号成立．
11．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝1
2x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨
二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
解 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000
x －200
≥2
12x ·80 000
x
－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的
平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－1
2x 2＋300x －80 000＝－1
2(x －300)2－35 000，因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－8 0000，－40 000]．故
该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损． 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，
F (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；
(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，求b 的取值范围． 解 (1)因为f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝2，
所以f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，
因为F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )，x >0，
－f (x )，x <0，
所以F (2)＋F (－2)＝8.
(2)由题知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1
x
－x 在x ∈(0,1]上恒成立，
根据单调性可得g (x )＝1x －x 的最小值为0，h (x )＝－1
x
－x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.
13．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b >0，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1
c 的最小值
是( )
A ．9
B ．8
C ．4
D ．2 答案 A
解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为 x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)． 因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1
c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b >0，c >0， 所以4c b ＋b c
≥2
4c b ·b
c
＝4. 当且仅当4c b ＝b
c 时等号成立．
由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即当b ＝23，c ＝13时，4b ＋1
c 取得最小值9.
14．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
4x ＋y －8≥0，x ＋y －5≤0，
y －1≥0，则z ＝
2x ＋y ＋1
x
的最小值为( ) A.12 B.52 C.32 D.7
2 答案 B
解析 由题意作出可行域，如图，
因为z ＝2x ＋y ＋1x ＝2＋y ＋1
x
，
所以求z 的最小值，即求可行域内的动点(x ，y )与定点A (0，－1)连线斜率的最小值再加2， 数形结合可得，z min ＝k AB ＋2，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －5＝0，
y －1＝0，可得点B (4,1)， 所以z min ＝2＋
1＋14＝5
2
.
15．圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →
的最小值为________． 答案 6
解析 设∠CPE ＝α，
则∠EPF ＝2α，
由切线长定理可得|PE →|＝|PF →|， |PC →|＝
|PE →
|2＋4，
cos α＝|PE →|
|PC →|
，
PE →·PF →＝|PE →|·|PF →|cos 2α ＝|PE →|2·(2cos 2α－1)
＝|PE →|2·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2|PE →|2|PE →|2＋4－1
＝2|PE →|4|PE →
|2＋4－|PE →|2 ＝2[(|PE →
|2＋4)－4]2|PE →|2
＋4－|PE →|2
＝2(|PE →|2＋4)－16＋32|PE →
|2＋4－|PE →
|2
＝(|PE →
|2＋4)＋
32
|PE →|2
＋4
－12
＝|PC →
|2＋32|PC →|
2－12，
圆心M 的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)， 则|MC →
|＝(2＋5cos θ－2)2＋(5sin θ)2＝5， 由图可得|MC →|－1≤|PC →|≤|MC →
|＋1， 即4≤|PC →|≤6，则16≤|PC →
|2≤36，
由对勾函数的单调性可知，函数y ＝x ＋32
x －12在区间[16,36]上单调递增，
所以当|PC →|2＝16时，PE →·PF →
取得最小值为16＋3216
－12＝6.
16.(2020·郑州模拟)如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为20米，在C 点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C 为圆心，以10米为半径的圆，在△ABC 内部的扇形CPQ 区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点M ，N 分别在线段CA ，CB 上，并且与扇形的弧相切于△ABC 内的T 点，步道宽度忽略不计，设∠MCT ＝α.
(1)试用α表示该步行道MN 的长度；
(2)试求出该步行道MN 的长度的最小值，并指出此时α的值． 解 (1)因为∠ACB ＝π3，所以∠NCT ＝π
3－α，
因为MN 与扇形弧PQ 相切于点T ，所以CT ⊥MN . 在Rt △CMT 中，因为CT ＝10，所以MT ＝10tan α，
在Rt △CNT 中，∠NCT ＝π
3－α，
所以NT ＝10tan ⎝⎛⎭⎫
π3－α，
所以MN ＝10tan α＋10tan ⎝⎛⎭⎫π3－α，其中0<α<π
3. (2)因为0<α<π
3
，所以0<tan α<3，
MN ＝10tan α＋10tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝10⎝ ⎛
⎭⎪⎫tan α＋3－tan α1＋3tan α， 令1＋3tan α＝t ，其中1<t <4，
则MN ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋3－tan α1＋3tan α＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13＋4－t 3t ＝1033⎝⎛⎭⎫t ＋4t －2≥2033，
当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，α＝π6时，MN 的最小值为2033，
故当α＝π6时，步行道的长度有最小值203
3
米．。