2020-2021学年重庆四十二中高二(下)期中数学复习卷1(含解析)

2020-2021学年重庆四十二中高二(下)期中数学复习卷1
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数
(是虚数单位)，则
A. B.
C.
D. 2
2. 通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，
由K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)得K 2=
50(20×15−10×5)230×20×25×25
≈8.333
参照附表，得到的正确结论是( )
爱好 不爱好 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计
30
20 50
p(k 2≥k)
0.010 0.005 0.001 k
6.635
7.879
10.828
A. 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
3. 已知a ∈R ，则“a <2”是“|x −2|+|x|>a 恒成立”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 设函数f(x)=x
sinx ，则f′(π
2)等于( )
A. −π
2
B. π
2
C. 1
D. −1
5. 已知a =√2
2
，b =log 23，c =sin160°，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. a <b <c
B. a <c <b
C. c <a <b
D. c <b <a
6.如图是将二进制数11111(2)化为十进制数的一个程序框图，判断框内应
填入的条件是()
A. i≤5
B. i≤4
C. i>5
D. i>4
7.数列5，9，17，33，x，y，…中的y等于()
A. 47
B. 65
C. 129
D. 128
8.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小值为()．
A. 1
B.
C.
D.
9.直线l过极坐标系中的点P(1,π)，且垂直于极轴，则l的极坐标方程是()
A. ρ=1
B. ρ=cosθ
C. ρcosθ=−1
D. ρcosθ=1
10.设复数z=1+2i，设z2+3
=()
z−1
A. 2i
B. −2i
C. 2
D. −2
)，则() 11.已知函数f(x)=(2x−1)e x，a=f(1)，b=f(−√2)，c=f(−ln2)，d=f(−1
2
A. a>b>c>d
B. b>a>c>d
C. d>a>b>c
D. a>d>c>b
12.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数
y=f′(x)的图象可能为()
A.
B.
C.
D.
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．
根据收集到的数据(见下表)，由最小二乘法求得回归方程
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为．
14.设f(x)=sinx+2xf′(π
3)，f′(x)是f(x)的导函数，则f′(π
2
)=______．
15.函数f(x)=1
3x3−x2+8
3
，则f(x)的极小值为______ ．
16.已知函数f(x)=x
4+a
x
−lnx−3
2
，其中a∈R，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线
x−2y=0，则切线方程为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为{x=√3t
y=1+t
(t为参数)，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.直线l与曲线C交于A，B两点．
(I)求|AB|的长；
(II)若P点的极坐标为(1,π
2
)，求AB中点M到P的距离．
18. 某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组
数据关系如表所示：
参考数据：∑x i 27i=1=280，∑y i 2
7i=1=45309，∑x i 7i=1y i =3487．
(1)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程(结果精确到0.01)； (2)若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元．
19. 已知函数f(x)=lnx +1．
(1)①证明：当x >0时，f(x)≤x(当且仅当x =1时取得等号)； ②当n ≥2，n ∈N ∗时，证明：∑lnk
k+1n k=1<
n(n−1)4
；
(2)设g(x)=ax +(a −1)⋅1
x −lnx −1，若g(x)≥0对x >0恒成立，求实数a 的取值范围．
20.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为√3的圆柱，求
圆柱的表面积和圆锥的体积．
21.设函数f(x)=lnx−2ax+x2，a∈R．
(1)若a=0，求函数f(x)在[1,e]上的最小值；
(2)求函数f(x)的极值点．
22.设函数f(x)=a2x2(a>0)，g(x)=blnx．
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x−y−3=0距离的最小值为√2，求a的值；
(2)关于x的不等式(x−1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f(x)≥kx+m和g(x)≤
kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=√2
，b=e，试探究
2 f(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：
本题主要考查复数的应用，熟悉复数的四则运算是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．
解：由题意得，∴z=2i
1−i =2i(1+i)
(1+i)(1−i)
=i(1+i)=−1+i，
则|z|=√2，
故选B．
2.答案：A
解析：解：由K2≈8.333>7.879，
参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，
故选：A．
由K2的值及参照附表可得可得解．
本题考查了独立性检验，属基础题．
3.答案：C
解析：解：函数y=|x−2|+|x|的值域为[2,+∞)
则当a<2时，|x−2|+|x|>a恒成立
反之若，|x−2|+|x|>a，则说明a小于函数y=|x−2|+|x|的最小值2恒成立，即a<2
故“a<2”是“|x−2|+|x|>a恒成立”的充要条件
故选C
要判断“a<2”是“|x−2|+|x|>a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x−2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．
判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
4.答案：C
解析：解：f′(x)=sinx−xcosx
sin2x
，
则f′(π
2)=1
1
=1，
故选：C．
根据导数的运算法则求导，再带值计算．
本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
5.答案：C
解析：解：∵0<c=sin160°<sin135°<1，a=√2
2
=sin135°，
∴0<c<a<1，
又b=log23>log22=1，
∴c<a<b．
故选：C．
由于0<c=sin160°<sin135°=√2
2
=a，b>1，从而可得答案．
本题考查不等式比较大小，通过与0与1的比较是关键，属于基础题．
6.答案：D
解析：试题分析：首先将二进制数化为十进制数，
=1×20+1×21+1×22+1×23+1×24=31，
由框图对累加变量S和循环变量i的赋值S=1，i=1，
i不满足判断框中的条件，执行S=1+2×S=1+2×1=3，i=1+1=2，i不满足条件，执行S=1+2×3=7，i=2+1=3，
i不满足条件，执行S=1+2×7=15，i=3+1=4，
i仍不满足条件，执行S=1+2×15=31，此时31是要输出的S值，说明i不满足判断框中的条件，由此可知，判断框中的条件应为i>4．
故选D．
考点：本题主要考查算法中的程序框图，进位制。

点评：简单题，算法方面的考题，越来越成为必考题目，难度一般不大，关键是理解程序框图的意义。

将二进制数11111(2)化为十进制数，得到十进制数的数值，然后假设判断框中的条件不满足，执行算法步骤，待累加变量S的值为31时，算法结束。

7.答案：C
解析：解：根据题意，数列5，9，17，33，x，y，…
分析可得：9−5=22=4，
17−9=23=8，
33−17=24=16，
则x−33=25=32，则x=65，
y−x=y−65=26=64，则y=129．
故选：C．
根据题意，分析数列各项变化的规律，据此分可得x、y的值，即可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的应用，属于基础题．
8.答案：B
解析：由已知y′=2x−，令2x−=1，解得x=1.曲线在x=1处的切线方程为y−1=x−1，即x−y=0.两直线x−y=0，x−y−2=0之间的距离为d==．
9.答案：C
解析：解：点P的直角坐标为(−1,0)，l的直角坐标方程是x=−1，
化为极坐标方程化为ρcosθ=−1，
故选：C．
由题意求得点P的直角坐标为(−1,0)，可得l的直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．
10.答案：C
解析：解：∵z=1+2i，
∴z2+3
z−1=(1+2i)2+3
1+2i−1
=4i
2i
=2，
故选：C．
把z=1+2i代入z2+3
z−1
，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
11.答案：A
解析：解：函数f(x)=(2x−1)e x，可得f′(x)=(2x+1)e x，
当x<−1
2
时，f′(x)<0，函数是减函数，
∵ln√e<ln2<lne，∴1
2
<ln2<1<√2，
∴−√2<−1<−ln2<−1
2
，
∴f(−√2)>f(−ln2)>f(−1
2
)，
∵f(1)>0，f(−√2)<0，
∴a>b>c>d．
故选：A．
求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后判断函数值的大小．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断与应用，是基础题．
12.答案：A
解析：
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题
先从f(x)的图象判断出f(x)的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象．
解：由f(x)的图象判断出从左到右函数的单调性在y轴左侧先增，再减，
在y轴的右侧，函数单调递减，
∴导函数y=f′(x)的图象可能为区间(−∞,0)内先有f′(x)>0，
再有f′(x)<0，
在(0,+∞)内f′(x)<0．
故选：A．
13.答案：68
解析：试题分析：由表可知：，所以，设模糊数据为，则。

考点：回归直线方程的有关知识。

点评：切记：回归直线方程一定过样本点的中心。

在计算过程中一定要仔细认真，避免出现计算错误。

14.答案：−1
解析：解：∵f(x)=sinx+2xf′(π
3)，∴f′(x)=cosx+2f′(π
3
)，
令x=π
3，可得：f′(π
3
)=cosπ
3
+2f′(π
3
)，解得f′(π
3
)=−1
2
，
则f′(π
2)=cosπ
2
+2×(−1
2
)=−1．
故答案为：−1．
f(x)=sinx+2xf′(π
3)，可得f′(x)=cosx+2f′(π
3
)，令x=π
3
，可得：f′(π
3
)，进而得出f′(π
2
).
本题考查了等导数的运算法则、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.答案：4
3
解析：
本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是基础题．
先求出函数的导函数，得到单调区间，找出极小值点，从而求出极小值．
解：∵f′(x)=x2−2x=x(x−2)，
令f′(x)>0，解得：x <0，x >2， 令f′(x )<0，解得：0<x <2，
∴f(x)在(−∞,0)，(2,+∞)递增，在(0,2)递减； ∴x =2是f(x)的极小值点， ∴f(2)=4
3， 故答案为：43．
16.答案：2x +y −2=0
解析：解：(Ⅰ)∵f(x)=x
4+a
x −lnx −3
2， ∴f′(x)=1
4−a
x 2−1
x ，
∵曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线x −2y =0， ∴f′(1)=14−a −1=−2，
解得：a =5
4， ∴f(1)=0，
∴切线方程为y =−2(x −1)，即2x +y −2=0． 故答案为：2x +y −2=0．
由曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线x −2y =0可得f′(1)=−2，可求出a 的值，可得切点坐标，即可求出切线方程．
本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，求出a 是关键，难度中档．
17.答案：解：(I)曲线C 的极坐标方程为ρ2⋅cos2θ=1，∴ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=1，即x 2−y 2=1．
直线l 的参数方程为{x =√3t
y =1+t (t 为参数)，化为标准形式：{y =1+12
t
x=√3
2t
， 代入上述普通方程可得：t 2−2t −4=0． 则t 1+t 2=2，t 1t 2=−4．
∴|AB|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4−4×(−4)=2√5． (II)P 点的极坐标为(1,π
2)，化为直角坐标P(0,1)．
AB 中点M 对应的参数t =
t 1+t 22
=1，∴M(√32
,32
)，点M 到P 的距离d =1．
解析：(I)曲线C 的极坐标方程为ρ2⋅cos2θ=1，利用倍角公式可得ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=1，再利用
互化公式即可得出普通方程．直线l 的参数方程为{x =√3t y =1+t (t 为参数)，化为标准形式：{y =1+12
t
x=√3
2t
，代入上述普通方程可得：t 2−2t −4=0.利用|AB|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2即可得出． (II)P 点的极坐标为(1,π
2)，化为直角坐标P(0,1).AB 中点M 对应的参数t =t 1+t 22
=1，可得M(√32
,32
)，
可得点M 到P 的距离．
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了数形结合方法∖ 推理能力，属于中档题．
18.答案：解：(1)根据题意，得到x =
3+4+5+6+7+8+9
7
=6，
y =
66+69+73+81+89+90+91
7
=
5597
≈79.86．
设回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂． ∴b ̂=3487−7×6×
559
7
280−7×36
=
13328
=4.75，
a
̂=559
7
−6×4.75≈51.36，
∴回归直线方程为y
̂=4.75x +51.36， (2)根据(1)，得y
̂=4.75x +51.36 将x =20代入，得y
̂=4.75×20+51.36≈146元， ∴本周内某天的销售为20件时，估计这天的纯收入大约为146元．
解析：(1)首先，求解x =6，y ≈79.86，然后，得到回归直线方程；
(2)根据(1)，得y ̂=4.75x +51.36，将x =20代入，得y ̂=4.75×20+51.36≈146元，从而得到答案．
本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程，属于中档题，解题关键是记住回归系数的求解公式．
19.答案：(1)证明：①构造函数m(x)=f(x)−x =lnx +1−x ，
m′(x)=1
x −1=
1−x x
=0(x >0)得x =1；
当x ∈(0,1)时，m′(x)>0；当x ∈(1,+∞)时，m′(x)<0； ∴[m(x)]max =m(1)=0； ∴m(x)≤0；
∴f(x)≤x ；(当且仅当x =1时取得等号)； ②由①可知，ln(x −1)≤x −2，x >1， 令x −1=t ，则lnt ≤t −1，t >0， 取t =n 2，则lnn 2≤n 2−1，即lnn ≤(n+1)(n−1)
2
，
故lnn
n+1≤
n−12
，n ∈N ∗，n ≥2
∴∑lnk
k+1n k=1≤1
2+2
2+⋯+
n−12
=
n(n−1)4
(2)解：若g(x)≥0对x >0恒成立等价于a ≥lnx+1+1x
x+
1
x 对x >0恒成立；
记G(x)=
lnx+1+1x
x+
1x ，问题等价于a ≥G(x)max ；
由(1)知lnx +1≤x(当且仅当x =1时取得等号)； ∴G(x)=
lnx+1+1x
x+
1x ≤
x+
1x x+1x
=1(当且仅当x =1时取得等号)；
故G (x)max =1，所以a ≥1； ∴实数a 的取值范围为[1,+∞)．
解析：(1)①先构造函数m(x)=lnx +1−x ，然后求导，根据导数符号即可求出函数m(x)的最大值为0，即得到m(x)≤0，从而证得f(x)≤x ；
②由①可知，ln(x −1)≤x −2，令x −1=t ，则lnt ≤t −1，再用赋值法，取t =n 2，则lnn 2≤n 2−1，即lnn ≤
(n+1)(n−1)
2
，由此即可证明结论成立；
(2)根据x >0，ax +(a −1)⋅1
x −lnx −1≥0便可解得a ≥lnx+1+1x
x+
1
x ，而根据上面知lnx +1≤x 恒成立，
从而便可求得
lnx+1+1x
x+
1
x 的最大值，进而即可得出实数a 的取值范围．
考查构造函数解决问题的方法，根据函数导数符号求函数最值的方法和过程，不等式的性质，在解决第二问时能用上第一问的结论很巧妙．
20.答案：解：圆锥的高ℎ=√42−22=2√3，
因为圆柱的高为√3，所以圆柱的底面半径为1， 所以圆柱的表面积为2π+2√3π．
圆锥的体积为1
3
πr 2ℎ=
8√3π
3
．
解析：本题主要考查圆锥的内接圆柱的表面积及圆锥的体积公式，考查空间想象能力，计算能力．属基础题．
求出圆柱的高，求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的表面积．求出圆锥的高，即可根据圆锥的体积公式得解．
21.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=lnx +x 2(x >0)，则f′(x)=1
x +2x(x >0)，
∴当x ∈[1,e]时，f′(x)>0，∴f(x)在[1,e]上单调递增， ∴f(x)min =f(1)=1；
(2)f(x)=lnx −2ax +x 2，则f′(x)=2x 2−2ax+1
x
(x >0)，
令ℎ(x)=2x 2−2ax +1(x >0)，则
①当a ≤0时，ℎ(x)>0在(0,+∞)上恒成立，此时f′(x)>0， ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，函数f(x)无极值点；
②当a >0，△=(−2a)2−8≤0，即0<a ≤√2时，ℎ(x)≥0在(0,+∞)上恒成立， 此时f′(x)≥0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，函数f(x)无极值点； 当△>0，即a >√2时，令ℎ(x)=0，则x =2±√a
2−2
2
，
∴当0<x <2−√a
2−2
2
或x >2+√a
2−2
2
时，ℎ(x)>0，
此时f′(x)>0，∴f(x)在(0,2−√a
2−2
2
)和(2+√a 2−2
2
,+∞)上单调递增，
当2−√a
2−2
2
<x <
2+√a 2−2
2
时，ℎ(x)<0，此时f′(x)<0， ∴f(x)在(2−√a
2−2
2
,
2+√a 2−2
2
)上单调递减， ∴f(x)的极大值点为2−√a
2−2
2
，极小值点为2+√a
2−2
2
．
综上，当a ≤√2时，f(x)无极值点； 当a >√2时，f(x)的极大值点为2−√a
2−2
2
，极小值点为2+√a
2−2
2
．
解析：(1)由条件可得f′(x)=1
x +2x(x >0)，判断f′(x)在[1,e]上的符号，确定f(x)的单调性，进一步得到f(x)的最小值；
(2)对f(x)求导，构造函数ℎ(x)=2x 2−2ax +1(x >0)，再分a ≤0和a >0两类来讨论f(x)的单调情况，进一步确定f(x)的极值点．
本题考查求函数在闭区间上的最值和利用导数研究函数的单调性与极值，考查分类讨论思想和函数思想，属难题．
22.答案：解：(1)因为f(x)=a 2x 2，所以f′(x)=2a 2x ，令f′(x)=2a 2x =1
得：x =12a 2，此时y =1
4a 2，
则点(12a 2,1
4a 2)到直线x −y −3=0的距离为√2， 即√2=
|
12a 2−14a 2
−3|√2
，解之得a =1
2或√5
10
；
(2)不等式(x −1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个，
等价于(1−a 2)x 2−2x +1>0恰有三个整数解，故1−a 2<0，
令ℎ(x)=(1−a 2)x 2−2x +1，由ℎ(0)=1>0且ℎ(1)=−a 2<0(a >0)， 所以函数ℎ(x)=(1−a 2)x 2−2x +1的一个零点在区间(0,1)，
则另一个零点一定在区间(−3,−2)，这是因为此时不等式解集中有−2，−1，0恰好三个整数解 故{ℎ(−2)>0ℎ(−3)≤0解之得43≤a <32． (3)设F(x)=f(x)−g(x)=1
2x 2−elnx ， 则F ′(x)=x −e
x =
x 2−e x
=
(x−√e)(x+√e)
x
．
所以当0<x <√e 时，F′(x)<0；当x >√e 时，F′(x)>0． 因此x =√e 时，F(x)取得最小值0，
则f(x)与g(x)的图象在x =√e 处有公共点(√e,e
2)． 设f(x)与g(x)存在“分界线”，
方程为y −e
2=k(x −√e)，即y =kx +e
2−k √e ， 由f(x)≥kx +e 2−k √e 在x ∈R 恒成立， 则x 2−2kx −e +2k √e ≥0在x ∈R 恒成立．
所以△=4k 2−4(2k √e −e)=4k 2−8k √e +4e =4(k −√e)2≤0成立， 因此k =√e ．
下面证明g(x)≤√ex −e
2(x >0)恒成立．
设G(x)=elnx−x√e+e
2，则G′(x)=e
x
−√e=√e(√e−x)
x
．
所以当0<x<√e时，G′(x)>0；当x>√e时，G′(x)<0．
因此x=√e时G(x)取得最大值0，则g(x)≤√ex−e
2
(x>0)成立．
故所求“分界线”方程为：y=√ex−e
2
．
解析：(1)直接运用点到直线的距离公式，然后求解即可得到答案．
(2)关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解．(3)属于新定义的题目，可以用函数求导数求最值的方法解答．
此题主要考查点到直线距离公式的应用及利用导函数求闭区间极值问题，题中涉及到新定义的问题，此类型的题目需要仔细分析再求解，综合性较强，有一定的技巧性，属于难题．。