自动控制原理第四次课—传递函数及结构图简化

G2(s)
两个串联的方框可以 合并为一个方框，合 并后方框的传递函数
C(等s)于两个方框传递函
数的乘积。
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R(s)
C(s)
G1(s) • G2(s)
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2. 并联结构的等效变换
• 并联结构图
C1(s)
G1(s)
R(s)
C(s)
G2(s)
C2(s)
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等效变换证明推导(1)
11变换结果例2解题方法一之步骤6串联环节等效变换例2解题方法一之步骤7串联环节等效变换结果例2解题方法一之步骤8内反馈环节等效变换例2解题方法一之步骤9内反馈环节等效变换结果例2解题方法一之步骤10反馈环节等效变换例2解题方法一之步骤11等效变换化简结果例2解题方法二将综合点前移然后与综合点交换
2－3 传递函数 (transfer function)
Mm(s)=CmIa(s)
Eb(s)=Kbsm(s)
Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
r (s)
e (s) K s Us(s) c (s)
K Ua (s) a
I 1
Las Ra
a ( s ) Cm Mm(s)
Eb(s)
K bs
1
m
(s)
Js2 f s
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Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
r (s)
e (s)
c (s)
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系统各元部件的动态结构图(2)
e(s)=r(s)c(s)
Us(s)=Kse(s)
Ua(s)=KaUs(s) Ua(s)=RaIa(s)LasIa(s)
Eb(s)
Mm(s)=CmIa(s)
Eb(s)=Kbsm(s)
Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
21
系统各元部件的动态r (s结) 构图e((1s))
e(s)=r(s)c(s)
Mm(s)=CmIa(s)
Us(s)=Kse(s)
Eb(s)=K cb(ss) m(s)
Ua(s)=KaUs(s)
Ua(s)=RaIa(s)LasIa(s) Eb(s)
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三、传递函数举例说明
例1.
如图所示的RLC无源
L
网络，图中电感为L
（亨利），电阻为R （欧姆），电容为C
ui
（法），试求输入电 压ui(t)与输出电压 uo(t)之间的传递函数 。
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R
i C uc
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解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络 作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感 组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对 其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求 的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R 、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
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3.综合点
省略时也表示＋
＋
综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符 号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线 的箭头附近标以负号。
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4. 引出点
U (s)
U (s)
表示同一信号传输到几个地方。
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二、动态结构图的基本连接形式
Ua(s)=KaUs(s) Ua(s)=RaIa(s)LasIa(s)
Eb(s)
Eb(s)=Kbsm(s)
Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
r (s)
e (s) K s Us(s) c (s)
K Ua(s) a
U s (s)
Ka Ua (s)
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• 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关；
• 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分
n m 子，分母的阶次是：
。
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一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之 对应。这将在第四章根轨迹中详述。
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1. 串联结构的等效变换（３）
• 等效变换证明推导
R(s)
U(s)
C(s)
G1(s)
G2(s)
C(s) = G1(s)G2(s)R(s)
C(s) R(s)
=
G1(s)G2(s)
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1. 串联结构的等效变换（４）
• 串联结构的等效变换图
R(s)
U(s)
G1(s)
G(s)
= T2s2
1
2Ts1
式中：T为时间常数， 为阻尼系数。
⑦二阶微分环节，传递函数为
G(s)=2s22s1
式中： 为时间常数， 为阻尼系数
此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间
为 ，该环节的传递函数为：
G(s) =es
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2－4 动态结构图
动态结构图是一种数学模型，采用 它将更便于求传递函数，同时能形 象直观地表明输入信号在系统或元 件中的传递过程。
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一、动态结构图的概念
系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态 结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、 综合点和引出点。
1. 信号线
表示信号输入、输出的通道。箭头代 表信号传递的方向。
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2. 传递方框
G(s)
方框的两侧为输入信号线和输出信号线， 方框内写入该输入、输出之间的传递函数 G(s)。
eE (sb)(s)K=sKbUss (m s()s)
Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
r (s)
e ( s) K s Us(s)
c (s)
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系统各元部件的动态结构图(3)
e(s)=r(s)c(s)
Mm(s)=CmIa(s)
Us(s)=Kse(s)
系统各元部件的动态结构图(4)
e(s)=r(s)c(s)
Mm(s)=CmIa(s)
Us(s)=Kse(s)
Ua(s)=KaUs(s) Ua(s)=R)
Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
r (s)
e (s) K s Us(s) c (s)
Us(s)=Kse(s)
Ua(sM)= (s)KaUs(s1)1
m
(
s
)
m
Ua(s)=RaIa(JsJss)2 ffLssasIa(s)
Eb(s)
Mm(s)=CmIa(s)
Eb(s)=Kbsm(s)
Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
r (s)
e (s) K s Us(s) c (s)
3.反馈结构的等效变换
①比例环节，传递函数为：
G(s) = K
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②积分环节，传递函数为 ③微分环节，传递函数为
G (s) = 1 s
G(s) = s
④惯性环节，传递函数为
G(s) =
1
Ts 1
⑤一阶微分环节，传递函数为
G(s)=s1
式中： ，T 为时间常数。
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⑥二阶振荡环节，传递函数为
式的连接称为并联连接。
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3. 反馈连接
R(s)
－
C(s) G(s)
H(s)
一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输 入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。
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三、系统动态结构图的构成
• 构成原则：
按照动态结构图的基本连接形式，构 成系统的各个环节，连接成系统的动 态结构图。
即t= 0 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
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一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
G ( s ) = U c( s ) U r( s )
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二、关于传递函数的几点说明
• 传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出；
K Ua (s) a
I 1
Las Ra
a ( s ) Cm Mm(s)
Eb(s)
1
m
(s)
Js2 f s
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系统各元部件的动态结构图(7)
e(s)=r(s)c(s)
Us(s)= m(K s)se(Ksb)s Eb (s)
Ua(s)=KaUs(s)
Ua(s)=RaIa(s)LasIa(s) Eb(s)
r (s)
e (s) K s Us(s) c (s)
K Ua (s) a
I 1
Las Ra
a ( s ) Cm Mm(s)
Eb(s)
K bs
1 Js2 f s
m
(s)
1
i
c (s)
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四 结构图的等效变换
思路：
在保证总体动态关系不变的条件下，设 法将原结构逐步地进行归并和简化，最 终变换为输入量对输出量的一个方框。
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举例说明系统动态结构图的构成
• 以机电随动系统为例，如下图所示
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对象方程组 如下：
e(s)=r(s)c(s)
Us(s)=Kse(s)
Ua(s)=KaUs(s)
Ua(s)=RaIa(s)LasIa(s) Eb(s)
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Mm(s)=CmIa(s)
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1. 串联结构的等效变换（１）
• 串联结构图
R(s)
U(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
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1. 串联结构的等效变换（２）
• 等效变换证明推导
R(s)
U(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
U (s)=G 1(s)R C ((s s))=G 2(s)U (s)
传递函数的概念与定义
线性定常系统在输入、输出初始条件均 为零的条件下，输出的拉氏变换与输入 的拉氏变换之比，称为该系统的传递函 数。
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这里，“初始条件为零”有两方面含义：
一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入
量及其各阶导数，在t= 0 时的值为零。
二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，
传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，
因为 G (s)=C(s)／ R(s)
当 r(t) =(t) 时，R(s) = 1 ，所以，
c ( t ) = L 1 C ( s ) = L 1 G ( s ) R ( s ) = L 1 G ( s )
传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是 系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实 意义，而且容易实现。
C 1(s)=G 1(s)R (s)
G1(s) C1(s)
R(s)
C(s)
G2(s) C2(s)
C 2(s)=G 2(s)R (s)
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2. 并联结构的等效变换
• 等 R(s) 效 变 换
G1(s) C1(s)
C(s)
G2(s) C2(s)
证
明 C(s)=[G1(s)G2(s)]R(s)
K Ua(s) a
1 Las Ra
E b (s)
I a (s)
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系统各元部件的动态结构图(5)
e(sI)a = (s) r(s)C mc(Ms)m(s)
Us(s)=Kse(s)
Ua(s)=KaUs(s)
Ua(s)=RaIa(s)LasIa(s) Eb(s)
Mm(s)=CmIa(s)
U i(s)= L s R 1 /sC I(s) Uo(s)=1/sCI(s)
则传递函数为
U U o i((s s))=L s 1 R /s C 1/sC=L C s2 1 R C s1
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四、典型环节
• 一个传递函数可以分解为若干个基本因 子的乘积，每个基本因子就称为典型环 节。常见的几种形式有：
Eb(s)=Kbsm(s)
Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
r (s)
e (s) Ks Us(s)
K Ua(s) a
1 Las Ra
Ia(s)
Cm Mm(s)
c (s)
Eb(s)
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系统各元部件的动态结构图(6)
e(s)=r(s)c(s)
推 导
C(s) R(s)
=G1(s)
G2(s)
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并联结构的等效变换图
两个并联的方框可
R(s)
G1(s) C1(s)
以合并为一个方框， 合并后方框的传递
C(s) 函数等于两个方框
传递函数的代数和。
G2(s) C2(s)
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R(s)
C(s)
G1(s) G2(s)
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系统各元部件的动态结构图(8)
e(s)=r(s)c(s)
Us(s)=Kse(s)
Ua(s)=KaUs(s)
Ua(sm)(= s) RaEI1ba((iss)) cL(ass)Ia(s)
Mm(s)=CmIa(s)
Eb(s)=Kbsm(s)
Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
1. 串联连接
X(s) G1(s)
Y(s) G2(s)
方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输 出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称 为串联连接。
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2.并联连接
G1(s)
X(s)
－ Y(s)
＋
G2(s)
两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并 以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形