福建省泉港区2018届高三数学上学期第一次月考试题 文

2018届高三上学期第一次月考文科数学试卷
满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．若
1i
i 1i
a b -=++（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则a b +的值是 （A ）1 （B ）0 （C ）1- （D ）2- 2．若全集U =R ，集合210x A x
x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，1222x B x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，则()U A B =ð （A ）11012x x x ⎧⎫-<<<<⎨⎬⎩⎭
或 （B ）1
1012
x x x ⎧⎫-<≤<<⎨⎬⎩
⎭
或
（C ）11012
x x x ⎧⎫
-<<≤<⎨⎬⎩
⎭
或 （D ）11012
2
x x x ⎧
⎫
-<≤<<⎨⎬⎩
⎭
或
3．下列结论中，正确的是
（A ）若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题
（B ）命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为假命题
（C ）命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-” （D ）“x ∀∈R ，211x +≥”的否定是“x ∃∈R ，211x +≤” 4．若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且2436a a =-，则9S 等于
（A ）54 （B ）50 （C ）27 （D ）25
5．若0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）既不充分也不必要条件 （D ）充分必要条件
6．若3sin 5ϕ=， 2ϕπ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
，，且函数()sin()(0)f x x ωϕϕ=+>的图象的相邻两条对称轴之间
的距离等于2π，则4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为
（A ）35- （B ）45- （C ）35 （D ）45
7．向量(34)=-，
a 在向量(30)=，
b 的方向上的投影为 （A ） 3- （B ） 95- （C ） 95
（D ） 3
8．若函数()2()ln 1f x x x
=+-的零点在区间()()1k k k +∈Z ，内，则k 的值为 （A ）1- （B ）1 （C ）1-或1 （D ）1-或2
9．函数21
()ln(2)e x f x x -=+-的大致图象是
（A ） （B ） （C ） （D ）
10．函数()e cos x
f x x =的图象在点()()11f ，处的切线的倾斜角为
（A ）0 （B ）锐角 （C ）直角 （D ）钝角
11．若函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，其部分对应值如下表；又()f x 的导函数()y f x '=的
图象如图所示．那么满足不等式()211f a +<的实数a 的取值范围是
（A ）302⎛⎫
⎪⎝⎭
，
（B ）1322⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
（C ）1722⎛⎫ ⎪⎝⎭，
（D ）3322⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
12．若数列{}n a ，{}n b 满足：11a =，n a ，1n a +是方程220n
n x b x -+=的两根，则39b =
（A ）2032⨯ （B ）202 （C ）192 （D ）1932⨯
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i ，j 为互相垂直的单位向量．若向量2=-a i j ，2λ=+b i j ，且//a b ，则实数 λ= ．
14．若()f x ()0x x ≠∈R ，是奇函数，()20f -=，当0x <时，()0f x '>，则不等式()0
f x >的解集是 ．
15.若函数2()sin cos f x x x x =的图象与直线(0)y m m =>相切，则m = ． 16．若数列{}n a 满足112101035
2111
n n n a a a
n +++
+=-+，且对任意的*n ∈N ，存在*m ∈N ，使 得不等式n m a a ≤恒成立，则m = ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17． (本小题满分12分)
设函数()cos cos )f x x x x ωωω=+，其中02ω<<． （Ⅰ）若()f x 的最小正周期为π，当63
x ππ
-
≤≤时，求()f x 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 的图象的一条对称轴为3
x π
=，求ω的值．
18． (本小题满分12分)
数列{}n a 中，已知11a =，n S 为其前n 项和，且121n n S S n +=++ (*n ∈N )． （Ⅰ）求证：数列{1}n a +是等比数列； （Ⅱ）设2211
log (1)log (1)
n n n b a a +=++（*n ∈N ），n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：
1n T <．
19．(本小题满分12分)
ABC ∆中，8AC =，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，5CD =．
（Ⅰ）若6
A π
=
，求sin B 的值； （Ⅱ）若2BD AD =，求AD 的长．
20．(本小题满分12分)
已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>
，点1⎛ ⎝
⎭在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线0x y m -+=与椭圆C 交于不同的两点A ，B ．若线段AB 的中点不在圆
225
9
x y +=
内，求实数m 的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知函数32
()f x x x b =-++，()ln ()g x a x a b =∈R ，．
（Ⅰ）若()f x 在112⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
，
上的最大值为38，求b 的值； （Ⅱ）是否存在实数a ，使得函数()()()h x f x g x =+有四个单调区间？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．
22． (本小题满分10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,
,
x t y t ⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为
极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为sin()14
ρθπ+=． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线l 的极坐标方程为()00θαρ=≥，其中0tan 2α=．若射线l 与曲线1C 交于点O ，P ，与曲线2C 交于点Q ，求PQ 的值．
23．(本小题满分10分)
已知函数()2
2f x x t x =-++（t ∈R ）．
（Ⅰ）若1t =，解不等式()f x 5>；
（Ⅱ）若不等式()3f x <有解，求t 的取值范围．
泉港一中2018届高三上学期第一次月考文科数学参考答案与评分标准
一、选择题：每小题5分，满分60分．
（1）C （2）B （3）C （4）C （5）B （6）B （7）A （8）C （9）A （10）D （11）D （12）D
二、填空题：每小题5分，满分20分． （13）4- （14）()()202-+∞，， （15）32
（16）10
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17． (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）2()cos cos f x x x x ωωω+
1cos222
x
x ωω+=
+
…………………… 2分 1sin 262x ωπ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭． …………………… 4分
因为T =π，0ω>，所以22ω
π
=π，1ω=． ……………………5分 当63x ππ-
≤≤时，52666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，故1sin 2162x π⎛
⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
， 由此得函数()f x 的取值范围为32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
0，． …………………… 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x 1sin 262x ωπ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭．
因为3x π=
是函数()f x 的对称轴，所以存在k ∈Z 使得2362k ωπππ
⋅+=π+，
解得3
12
2
k ω=+（k ∈Z ）． ………………………………… 9分 又02ω<<，所以113
k -<<． …………………… 11分 而k ∈Z ，所以0k =，从而1
2
ω=． …………………… 12分
18． (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由121n n S S n +=++，得12n n S S n -=+（2n ≥）
两式相减得121n n a a +=+， ……………………………2分 故112(1)n n a a ++=+． …………………………………4分 又当1n =时，212114S S =++=，得23a =也满足上式，……………………5分 故{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得12n n a +=，故21n
n a =-． …………………………………8分
于是2211111
log (1)log (1)(1)1
n n n b a a n n n n +=
==-++++，……………………… 10分
所以1111
1111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+-+
+-=-< ⎪ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
． …………………… 12分
19． (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）在ACD △中，由已知以及正弦定理可得
58
sin sin 62B =
ππ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
， ……………………………… 2分 亦即5
8
cos sin 6
B =
π
．解得：4
cos 5
B =． ……………………………… 4分
由于0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，故3sin 5B =． ……………………………… 6分
（Ⅱ）设CDA θ∠=，则CDB θ∠=π-；设AD m =，则2BD m =．
在ACD △中，由已知以及余弦定理可得2642525cos m m θ=+-⋅⋅． ………………8分 又在Rt CDB ∆中，有5
cos cos()cos 2CDB
m
θθ∠=π-=-
=
．………………………… 10分 故2
56425252m m m ⎛⎫=+-⋅⋅-
⎪⎝⎭
． ……………………………… 11分
解得m AD = ……………………………… 12分
20．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）因为c a
，所以22222
11122b a c a a -==-=，故222a b =． ①
……………………………… 2分
又椭圆过点1⎛ ⎝
⎭，故2211
12a b +=． ② ……………………………… 3分
由①、②解得1a b ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩
，
故椭圆C 的方程为2
212x y +=． ……………………………… 6分
（Ⅱ）由22
12
0x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩
，
得2234220x mx m ++-=．
由已知得()()222
161222830m m m ∆=--=-+>，解得m < ③
……………………………… 8分 此时，1243
m x x +=-
，1212422233m m
y y x x m m +=++=-+=， 即AB 的中点为233m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，． ……………………………… 9分
因为AB 的中点不在22
59x y +=
内，所以2224559999
m m m +=≥． 解得1m ≤-或1m ≥．④ ……………………………… 11分
综合③、④得1m ≤-或1m ≤ ……………………………… 12分
21．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由32()f x x x b =-++，得2
)32(32)f x x x x x '(=-+=--．
令)0f x '(=，得0x =或23
x =
． 在112⎡⎫
-⎪⎢⎣，上，函数()f x 与()f x '的变化情况如下表：
故函数()f x 最大值为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭或23f ⎛⎫
⎪⎝⎭
． …………3分
由1328f b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭和24327f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得1223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以()f x 的最大值为13
328
8f b ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，所以0b =． ………………5分
（Ⅱ）若32()+ln h x x x b a x =-++存在四个单调区间，
则2
()32a
h x x x x
'=-++
在(0)+∞，
有三个零点， ……………7分 故直线y a =与曲线3232y x x =-在(0)+∞，
有三个交点． ……………8分 由2940y x x '=-=，解得4
9
x =
或0x =， 从而当409x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，函数3232y x x =-单调递减，
当49x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，时，函数3232y x x =-单调递增，
故不存在直线y a =与曲线3232y x x =-在(0)+∞，
有三个交点． 亦即不存在实数a ，使得函数32()ln h x x x a x =-++有四个单调区间．……………12分
22．(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）由已知可得曲线1C
的普通方程为22(2x y +=，………………………2分
即220x y +-=，
化为极坐标为2cos 0ρθ-=， ……………………………………………4分
即ρθ=. ……………………………………………5分 （Ⅱ）由已知0tan 2α=
可得0sin α
0cos α …………………7分
由0ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩
，可得点P
的极坐标为0)P α． ………………………8分
由0sin()14πρθθα⎧
+=⎪⎨⎪=⎩，可得点Q
的极坐标为0)Q α． ………………………9分
所以PQ =
． ……………………………………………10分
23．(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）当1t =时，()12f x x x =-++，由()f x 5>可得125x x -++>， 当1x ≥时，原不等式等价于125x x -++>，所以2x >；…………………………1分 当21x -≤<时，原不等式等价于125x x -++>，所以x ∈∅；……………………2分 当2x <-时，原不等式等价于125x x --->，所以3x <-. ………………………3分 综上，所求的不等式的解集为{|2x x >或3}x <-. .……………………………5分
（Ⅱ）由已知可得()2222
2()(2)22f x x t x x t x t t =-++≥--+=+=+，即
()f x 的最小值为22t +. .……………………………8分
要使不等式()3f x <有解，须且只须223t +<，解得11t -<<.
所以t 的取值范围为()11-，
． ……………………………10分。