初等函数图像的平移与变换总结

技法点拨
初等函数图像的平移与变换总结
■郭扬文
摘要：初等函数图像的平移和变换问题一直都是高中教学的重点，但是由于对图像变换过程把握的不完全，很多学生在学习过程中无法了解其学习要点。

本文结合初等函数图像的平移与变换展开探索，提出了其在平移变换、伸缩变换、对称变换等方面的应用特性。

使学生抓住学习的基本方法，在循循诱导的过程中解决学习难点，鼓励学生在学习过程中理解数学思维渗透特性，由此提高学生的自我探索能力，完成初等函数图像平移与变换知识的总结构建。

关键词：初等函数；图像变换；高中教学引言：初等函数的相关问题不仅在高中数学学习中占有很大一部分，也在学生学习思维的培养中起着重要的作用，教师要了解到初等函数知识教学的紧迫性及艰巨性。

初等函数图像的变换主要包括平移变换、伸缩变换、对称变换等三个方面，本文将从这三个方面展开，列举更优越的、更适合学生学习的教学方法，加强学生的自主学习探讨，帮助学生突破初等函数题的解题局限。

一、平移变换
函数图像的平移变换主要包括水平变换和竖直变换两个方面。

教师在教学的时候要注重函数表达式与图像相结合，让学生更加透彻地理解初等函数图像的变换关系。

教师在教授的过程中要意识到解答题目并不是单纯地把答案给学生，或者是机械地将答案教授给学生，而是要将解题技巧及解题思维传授给学生，从而使学生形成良好的数学思维。

例如，若f ()x =x 2+1，g ()x =x 2-2x +2，说明y =g ()x 和y =f ()x 图像的变换关系。

由于g ()x =x 2-2x +2=(x -1)2+1，即利用代换，把
f ()x =x 2
+1中的x 用x -1代入，可以得到y =g (x )的解析式，
所以y =g ()x 的图像可由y =f ()x 向右平移一个单位得到。

在图像的平移变换知识讲解过程中，教师要尽量从水平变
换与竖直变换这两个突破口开始引入。

帮助学生理解水平变换、竖直变换模式下函数的变换特征，使学生寻找出问题的正确答案。

二、伸缩变换
函数的伸缩变换主要分为两种，一种是纵坐标不变，而将横坐标伸长或缩短；第二种是横坐标保持不变，将纵坐标伸长缩短。

对于伸缩变换的知识点教学，要让学生理解函数y =af ()x 与函数y =f ()ax ,a >0这两种类型的区别。

函数y =f ()
x 图像上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍，可以得到函数y =af ()x 的图像。

函数y =f ()x 图像上每一点的纵坐标
不变，横坐标变为原来的1
a
倍，可以得到函数y =f ()ax 的图像。

在伸缩变换方法应用过程中，教师需要学生掌握的重点是
系数变化对图像伸缩产生的影响。

按照伸缩变量计算关系，找
出问题的解决突破口，借助数形结合的教学方法，引导学生理解函数伸缩变换的解题技巧。

无论函数图像怎么变化，不变的是核心思维，因此，在函数的学习中，必须培养学生的核心思维能力。

三、对称变换
对称变换是函数关于某一条对称轴或某一个对称中心进行对称变换。

对称变换的图像想象起来相对复杂，因此图形结合解答问题就显得更加重要。

教师可以通过计算机来绘制出图像的变化过程，给学生更直观的变化体验，以加深学生的印象。

例如，对于函数y =f (x )(x ∈R )，给出下列命题：①在同一直角坐标系中，函数y =f (1-x )与y =f (x -1)
的图像关于直线x =0对称；②若f （1-x ）=-f （x -1），则函数y =f (x )的图像关于（0，0）
对称.
其中，所有正确命题的序号是．看到这个题目，学生会觉得过于抽象而无法下手，这就需要教师引导学生去理解函数表达式中的几何特征。

对于命题①，可以从函数y =f (x )的图像入手，将其向右平移一个单位，得到y =f ()x -1的图像。

另一方面，把函数y =f (x )的图像关于y 轴对称，得到函数y =f ()-x 的图像，再向右平移一个单位，可以得到函数y =f ()1-x 的图像。

从而，可以看出函数y =f （x-1）与y =f （1-x ）的图像关于直线x =1对称，即命题①错误。

对于命题②，若f ()1-x =-f ()x -1时，则可得f （-t ）=-f （t ），即函数f （x ）为奇函数，从而可得函数y=f （x ）的图像关于点（0，0）对称，即命题②错误。

四、结语
由于基本初等函数是高中教学的一个重点及难点，且具有高度的抽象性和扩展性，因此，教师在教学过程中要正确引导学生对数学原理的探讨。

由伸缩变换、对称变换、平移变换这三个方面去讲解函数变换，努力让学生对该部分知识学懂、学透。

注意培养学生的自主学习能力及数学思维，重视学生在学习上的自主激发，从而增强学生学习的信心。

在帮助学生打好稳固基础并考出好成绩的同时，改变学生的思维方式，带给学生比分数更加宝贵的财富。

参考文献［1］李丽霞，李逢泽.运用对称、平移作初等函数图像［J ］.数学通报，1986（4）.
［2］田发胜.考查函数图像的三种方式［J ］.中学生数理化（高一版），2005（14）：17-18.
（作者单位：浙江省东阳市第二高级中学）
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