专题17 规律探索与阅读理解题-2020年中考数学真题分专题训练(江苏专版)(教师版含解析)

专题17规律探索题与阅读理解题
一．选择题(共2小题)
1．(2020•扬州)小明同学利用计算机软件绘制函数2
(()ax
y a x b =
+、b 为常数)的图象如图所
示，由学习函数的经验，可以推断常数a 、b 的值满足( )
A ．0a >，0b >
B ．0a >，0b <
C ．0a <，0b >
D ．0a <，0b <
【解答】由图象可知，当0x >时，0y <， 0a ∴<；
x b =-时，函数值不存在， 0b ∴-<， 0b ∴>；
故选：C ．
2．(2020•盐城)把1~9这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”(图①)，是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为( )
A ．1
B ．3
C ．4
D ．6
【解答】由题意，可得827x +=+， 解得1x =．故选：A ．
二．填空题(共2小题)
3．(2020•泰州)以水平数轴的原点O 为圆心，过正半轴Ox 上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转30︒、60︒、90︒、⋯、330︒得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为(5,0)︒、(4,300)︒，则点C 的坐标表示为 ．
【解答】如图所示：点C 的坐标表示为(3,240)︒．故答案为：(3,240)︒．
4．(2020•徐州)如图，30MON ∠=︒，在OM 上截取1OA =．过点1A 作11A B OM ⊥，交ON 于点1B ，以点1B 为圆心，1B O 为半径画弧，交OM 于点2A ；过点2A 作22A B OM ⊥，交ON 于点2B ，以点2B 为圆心，2B O 为半径画弧，交OM 于点3A ；按此规律，所得线段2020A B 的长等于 ．
【解答】111B O B A =，112B A OA ⊥， 112OA A A ∴=，
22B A OM ⊥，11B A OM ⊥， 1122//B A B A ∴，
11221
2
B A A B ∴=
， 22112A B A B ∴=，
同法可得233221122A B A B A B ==，⋯， 由此规律可得192020112A B A B =，
111tan3031A B OA =︒=⨯
=， 1920202A B ∴=， 故答案为192． 三．解答题(共11小题)
5．(2020•南京)如图，在ABC ∆和△A B C '''中，D 、D '分别是AB 、A B ''上一点，
AD A D AB A B ''
=''
．
(1)当
CD AC AB
C D A C A B ==
''''''
时，求证ABC ∆∽△A B C ''． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
(2)当
CD AC BC
C D A C B C ==
''''''
时，判断ABC ∆与△A B C '''是否相似，并说明理由． 【解答】(1)证明：
AD A D AB A B ''
=
''
， ∴
AD AB
A D A
B =
''''
， CD AC AB
C D A C A B ==
''''''
， ∴
CD AC AD
C D A C A D ==
''''''
， ADC ∴∆∽△A D C ''，
A A ∴∠=∠'，
AC AB
A C A
B =
''''
， ABC ∴∆∽△A B C '''．
故答案为：
CD AC AD
C D A C A D ==
''''''
，A A ∠=∠'．
(2)如图，过点D ，D '分别作//DE BC ，//D E B C ''''，DE 交AC 于E ，D E ''交A C ''于E '． //DE BC ， ADE ABC ∴∆∆∽，
∴
AD DE AE
AB BC AC
==
， 同理，
A D D E A E A
B B
C A C ''''''
==
''''''
， AD A D AB A B ''
=
''
， ∴DE D E BC B C ''
=
''， ∴
DE BC
D E B C =
''''
， 同理，
AE A E AC A C ''
=
''
， ∴AC AE A C A E AC A C -''-''=''，即EC E C AC A C ''
=
''， ∴
EC AC
E C A C =
''''
， CD AC BC
C D A C B C ==
''''''
， ∴
CD DE EC
C D D E E C ==
''''''
， DCE ∴∆∽△D C E '''， CED C E D ∴∠=∠'''， //DE BC ，
90CED ACB ∴∠+∠=︒，
同理，180C E D AC B ∠'''+∠'''=︒， ACB AC B ∴∠=∠'''， AC CB
A C C
B =
''''
， ABC ∴∆∽△A B C '''．
6．(2020•南京)如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
(1)如图②，作出点A 关于l 的对称点A '，线段A B '与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB 是最短的．
为了证明点C 的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C '，连接AC '、BC '，证明
AC CB AC C B '+<'+．请完成这个证明．
(2)如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由)． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
【解答】证明：(1)如图②，连接A C ''， 点A ，点A '关于l 对称，点C 在l 上， CA CA '∴=，
AC BC A C BC A B ''∴+=+=，
同理可得AC C B A C BC '''''+=+， A B A C C B ''''<+， AC BC AC C B ''∴+<+；
(2)如图③，
在点C 出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB ，(其中点D 是正方形的顶点)； 如图④，
7．(2020•扬州)阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足35
x y
-=①，237
x y
+=②，求4
x y
-和75
x y
+的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得42
x y
-=-，由①+②2
⨯可得7519
x y
+=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组
27,
28,
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
则x y
-=，x y
+=；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x、y，定义新运算：*x y ax by c
=++，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*515
=，4*728
=，那么1*1=．
【解答】(1)
27
28
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
．
由①-②可得：1
x y
-=-，
由1
(
3
①+②)可得：5
x y
+=．
故答案为：1
-；5．
(2)设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意，得：
203232 395358
m n p
m n p
++=
⎧
⎨
++=
⎩
①
②
，
由2⨯①-②可得6
m n p
++=，
5555630
m n p
∴++=⨯=．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
(3)依题意，得：
3515 4728
a b c
a b c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
①
②
，
由3⨯①2
-⨯②可得：11
a b c
++=-，即1*111
=-．
故答案为：11
-．
8．(2020•连云港)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋)中写道：
“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车O按逆时针方向每分钟转5
6
圈，筒车与
水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
(3)若接水槽MN所在直线是O的切线，且与直线AB交于点M，8
MO m
=．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．
(参考数据：
11
cos43sin47
15
︒=︒≈，
11
sin16cos74
40
︒=︒≈，
3
sin22cos68)
8
︒=︒≈
【解答】(1)如图1中，连接OA．
由题意，筒车每秒旋转
5
360605
6
︒⨯÷=︒，
在Rt ACO
∆中，
2.211 cos
315
OC
AOC
OA
∠===．
43
AOC
∴∠=︒，
∴18043
27.4
5
-
=(秒)．
答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点．
(2)如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时 3.4517
AOP
∠=⨯︒=︒，
431760
POC AOC AOP
∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
过点P 作PD OC ⊥于D ，
在Rt POD ∆中，1
cos603 1.5()2
OD OP m =︒=⨯=， 2.2 1.50.7()m -=，
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面0.7m ． (3)如图3中，
点P 在O 上，且MN 与O 相切，
∴当点P 在MN 上时，此时点P 是切点，连接OP ，
则OP MN ⊥，
在Rt OPM ∆中，3
cos 8
OP POM OM ∠==， 68POM ∴∠=︒，
在Rt COM ∆中， 2.211
cos 840
OC COM OM ∠===
， 74COM ∴∠=︒，
180180687438POH POM COM ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴需要的时间为
38
7.65
=(秒)， 答：盛水筒P 从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN 上．
9．(2020•连云港)(1)如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += ；
(2)如图2，点P 为ABCD 内一点(点P 不在BD 上)，点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S (其中21)S S >，求PBD ∆的面积(用含1S 、2S 的代数式表示)；
(3)如图3，点P 为ABCD 内一点(点P 不在BD 上)，过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S (其中21)S S >，求PBD ∆的面积(用含1S 、2S 的代数式表示)；
(4)如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P (点P 不在AC 、BD 上)，设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，
PBD ∆的面积为3S ，
PAC ∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式(写出一种情况即可)．
【解答】(1)如图1中，
过点P 作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ． 四边形ABCD 是矩形，//EF BC ，
∴四边形AEPM ，四边形MPFD ，四边形BNPE ，四边形PNCF 都是矩形，
2BE PN CF ∴===，1
62PFC S PF CF ∆=⨯⨯=，AEP APM S S ∆∆=，PEB PBN S S ∆∆=，PDM PFD S S ∆∆=，
PCN PCF S S ∆∆=，ABD BCD S S ∆∆=，
AEPM PNCF S S ∴=矩形矩形， 126S S ∴==， 1212S S ∴+=，
故答案为12．
(2)如图2中，连接PA ，PC ，
在APB ∆中，点E 是AB 的中点，
∴可设APE PBE S S a ∆∆==，同理，APH PDH S S b ∆∆==，PDG PGC S S c ∆∆==，PFC PBF S S d ∆∆==，
AEPH PFCG S S a b c d ∴+=+++四边形四边形，PEBF PHDG S S a b c d +=+++四边形四边形， 12AEPH PFCG PEBF PHDG S S S S S S ∴+=+=+四边形四边形四边形四边形， 121
2
ABD ABCD S S S S ∆∴==+平行四边形，
1121121()()PBD ABD PBE PHD S S S S S S S S a S a S S ∆∆∆∆∴=-++=+-++-=-．
(3)如图3中，由题意四边形EBGP ，四边形HPFD 都是平行四边形，
2EBP EBGP S S ∆∴=四边形，2HPD HPFD S S ∆=四边形，
()()1212111
22222ABD EBP HPD EBP HPD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∴==+++=+++平行四边形，
1211
()()2
PBD ABD EBP HPD S S S S S S S ∆∆∆∆∴=-++=-．
(4)如图41-中，结论：2134S S S S -=+．
理由：设线段PB ，线段PA ，弧AB 围成的封闭图形的面积为x ，线段PC ，线段PD ，弧CD 的封闭图形的面积为y ． 由题意：1413S x S S y S ++=++， 34x y S S ∴-=-，
12142()S S x y S x S +++=++， 214342S S x y S S S ∴-=-+=+．
同法可证：图42-中，有结论：1234S S S S -=+． 图43-中和图44-中，有结论：1234||||S S S S -=-．
10．(2020•徐州)我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB
AB AC
=
，那么称点B 为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为
51
-． (1)在图①中，若20AC cm =，则AB 的长为 cm ；
(2)如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点； (3)如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点()E AE DE >，连接BE ，作CF BE ⊥，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【解答】(1)点B 为线段AC 的黄金分割点，20AC cm =， 51
20(10510)AB cm -∴=
⨯=-． 故答案为：(10510)-． (2)延长EA ，CG 交于点M ， 四边形ABCD 为正方形， //DM BC ∴， EMC BCG ∴∠=∠，
由折叠的性质可知，ECM BCG ∠=∠， EMC ECM ∴∠=∠， EM EC ∴=，
EC ∴===
EM ∴=
10DM ∴=，
tan
DC DMC DH ∴∠=
===．
tan BCG ∴∠=
即
BG BC ， AB BC =，
∴
BG AB =
， G ∴是AB 的黄金分割点；
(3)当BP BC =时，满足题意． 理由如下：
四边形ABCD 是正方形， AB BC ∴=，90BAE CBF ∠=∠=︒， BE CF ⊥，
90ABE CBF ∴∠+∠=︒，
又90BCF BFC ∠+∠=︒， BCF ABE ∴∠=∠，
()ABE BCF ASA ∴∆≅∆，
BF AE ∴=，
//AD CP ，
AEF BPF ∴∆∆∽，
∴
AE AF
BP BF
=
， 当E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点时，
AE DE >，
∴
AF BF
BF AB
=
，
∴AF BF AE
BF AB BC ==
，
∴
AE AE
BP BC
=
， BP BC ∴=．
11．(2020•常州)如图1，I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交I 于P 、Q 两点(Q 在P 、H 之间)．我们把点P 称为I 关于直线a 的“远点“，把PQ PH 的值称为I 关于直线a 的“特征数”．
(1)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为(0,4)．半径为1的O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．
①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则O 关于直线m 的“远点”是点 (填“A ”．“B ”、“C ”或“D ”)，O 关于直线m 的“特征数”为 ；
②若直线n 的函数表达式为4y =+．求O 关于直线n 的“特征数”；
(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,4)M ，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，
F ．若F 与直线1相离，点(1,0)N -是F 关于直线1的“远点”
．且F
关于直线l 的“特征数”是l 的函数表达式．
【解答】(1)①由题意，点D 是O 关于直线m 的“远点”，O 关于直线m 的特征数2510DB DE ==⨯=，
故答案为：D ，10．
②如图11-中，过点O 作OH ⊥直线n 于H ，交O 于Q ，P ．
设直线4y =+交x 轴于(F ，0)，交y 轴于(0,4)E ，
4OE ∴=，43
OF =
3
tan OF FEO OE ∴∠=
=
， 30FEO ∴∠=︒， 1
22
OH OE ∴==，
3PH OH OP ∴=+=，
O ∴关于直线n 的“特征数”236PQ PH ==⨯=．
(2)如图2中，设直线l 的解析式为y kx b =+． 当0k >时，过点F 作FH ⊥直线l 于H ，交F 于E ，N ．
由题意，22EN =，45EN NH =， 10NH ∴=，
(1,0)N -，(1,4)M ，
222425MN ∴=+=，
22201010HM MN NH ∴=-=-=， MNH ∴∆是等腰直角三角形， MN 的中点(0,2)K ， 5KN HK KM ∴===，
(2,3)H ∴-，
把(2,3)H -，(1,4)M 代入y kx b =+，则有4
23k b k b +=⎧⎨-+=⎩，
解得13113k b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴直线l 的解析式为111
33
y x =
+， 当0k <时，同法可知直线l '经过(2,1)H '，可得直线l '的解析式为37y x =-+． 综上所述，满足条件的直线l 的解析式为111
33
y x =+或37y x =-+．
12．(2020•盐城)木门常常需要雕刻美丽的图案．
(1)图①为某矩形木门示意图，其中AB 长为200厘米，AD 长为100厘米，阴影部分是边长
为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；
(2)如图②，对于(1)中的木门，当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．
【解答】(1)如图①，过点P 作PE CD ⊥于点E ， 点P 是边长为30厘米的正方形雕刻模具的中心， 15PE cm ∴=，
同理：A B ''与AB 之间的距离为15cm ，
A D ''与AD 之间的距离为15cm ，
B C ''与BC 之间的距离为15cm ，
2001515170()A B C D cm ∴''=''=--=， 100151570()B C A D cm ''=''=--=，
()170702480A B C D C cm ''''∴=+⨯=四边形， 答：图案的周长为480cm ；
(2)连接PE 、PF 、PG ，过点P 作PQ CD ⊥于点Q ，如图②
P 点是边长为303cm 的等边三角形模具的中心，
PE PG PF ∴==，30PGF ∠=︒，
PQ GF ⊥，
153GQ FQ cm ∴==，
tan3015PQ GQ cm ∴=︒=， 30cos30GQ
PG cm =
=︒
，
当EFG ∆向上平移至点G 与点D 重合时，
由题意可得，△E F G '''绕点D 顺时针旋转30︒，使得E G ''与AD 边重合，
DP ∴'绕点D 顺时针旋转30︒到DP ''，
∴3030
5180
p p l cm ππ'''⨯=
=， 同理可得其余三个角均为弧长为5cm π的圆弧，
∴(200303100303)254600120320()C cm ππ=-+-⨯+⨯=-+，
答：雕刻所得图案的周长为(600120320)cm π-+．
13．(2020•盐城)以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．
(Ⅰ)在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，22AB =，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，
收集到一组数据如下表：(单位：厘米)
AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC BC +
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
(Ⅱ)根据学习函数的经验，选取上表中BC 和AC BC +的数据进行分析：
①BC x =，AC BC y +=，以(,)x y 为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点： ②连线：
观察思考
(Ⅲ)结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x ＝____时，y 最大；
(Ⅳ)进一步精想：若Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边2(AB a a =为常数，0)a >，则BC ＝____时，AC BC +最大． 推理证明
(Ⅴ)对(Ⅳ)中的猜想进行证明．
问题1，在图①中完善(Ⅱ)的描点过程，并依次连线； 问题2，补全观察思考中的两个猜想：(Ⅲ) ；(Ⅳ) ； 问题3，证明上述(Ⅴ)中的猜想；
问题4，图②中折线B E F G A --------是一个感光元件的截面设计草图，其中点A ，B 间的距离是4厘米，1AG BE ==厘米．90E F G ∠=∠=∠=︒．平行光线从AB 区域射入，60BNE ∠=︒，线段FM 、FN 为感光区域，当EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
【解答】问题1：函数图象如图所示：
问题2:(Ⅲ)观察图象可知，2x =时，y 有最大值． (Ⅳ)猜想：2BC a =．
故答案为：2，BC =． 问题3：设BC x =，AC BC y +=， 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒
AC ∴==
y x ∴=+，
y x ∴-=
222224y xy x a x ∴-+=-， 2222240x xy y a ∴-+-=， 关于x 的一元二次方程有实数根，
∴△222442(4)0y y a =-⨯⨯-，
228y a ∴， 0y >，0a >， 22y a ∴，
当y =时，22240x a -+=
22)0a ∴-=，
12x x ∴==，
∴当BC =时，y 有最大值．
问题4：延长AM 交EF 的延长线于C ，过点A 作AH EF ⊥于H ，过点B 作BK GF ⊥于K 交AH 于Q ．
在Rt BNE ∆中，90E ∠=︒，60BNE ∠=︒，1BE cm =，
tan BE
BNE EN
∴∠=
，
)NE cm ∴=
， //AM BN ， 60C ∴∠=︒， 90GFE ∠=︒， 30CMF ∴∠=︒， 30AMG ∴∠=︒，
90G ∠=︒，1AG cm =，30AMG ∠=︒，
∴在Rt AGM ∆中，tan AG
AMG GM
∠=
，
)GM cm ∴=，
90G GFH ∠=∠=︒，90AHF ∠=︒，
∴四边形AGFH 为矩形，
AH FG ∴=，
90GFH E ∠=∠=︒，90BKF ∠=︒
∴四边形BKFE 是矩形，
BK FE ∴=，
2FN FM EF FG EN GM BK AH BQ AQ KQ QH BQ AQ +=+--=++++=++，
在Rt ABQ ∆中，4AB cm =，
由问题3可知，当BQ AQ ==时，AQ BQ +的值最大，
BQ AQ ∴==FN FM +的最大值为2cm ． 14．(2020•南通)【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
(1)如图①，对余四边形ABCD 中，5AB =，6BC =，4CD =，连接AC ．若AC AB =，求sin CAD ∠的值；
(2)如图②，凸四边形ABCD 中，AD BD =，AD BD ⊥，当2222CD CB CA +=时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
(3)在平面直角坐标系中，点(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于ABC ∆内部，90AEC ABC ∠=︒+∠．设AE u BE =，点D 的纵坐标为t ，请直接写出u 关于t 的函数解析式．
【解答】(1)过点A 作AE BC ⊥于E ，过点C 作CF AD ⊥于F ．
AC AB =，
3BE CE ∴==， 在Rt AEB ∆中，2222534AE AB BE =-=-=，
CF AD ⊥，
90D FCD ∴∠+∠=︒，
90B D ∠+∠=︒，
B DCF ∴∠=∠，
90AEB CFD ∠=∠=︒，
AEB DFC ∴∆∆∽，
∴
EB AB CF CD =， ∴354
CF =， 125CF ∴=
， 12
125sin 525
CF CAD AC ∴∠===． (2)如图②中，结论：四边形ABCD 是对余四边形．
理由：过点D 作DM DC ⊥，使得DM DC =，连接CM ．
四边形ABCD 中，AD BD =，AD BD ⊥，
45DAB DBA ∴∠=∠=︒，
45DCM DMC ∠=∠=︒，
90CDM ADB ∠=∠=︒，
ADC BDM ∴∠=∠，
AD DB =，CD DM =，
()ADC BDM SAS ∴∆≅∆，
AC BM ∴=，
2222CD CB CA +=，22222CM DM CD CD =+=，
222CM CB BM ∴+=，
90BCM ∴∠=︒，
45DCB ∴∠=︒，
90DAB DCB ∴∠+∠=︒，
∴四边形ABCD 是对余四边形．
(3)如图③中，过点D 作DH x ⊥轴于H ．
(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，
1OA ∴=，3OB =，4AB =，22AC BC ==，
222AC BC AB ∴+=，
90ACB ∴∠=︒，
45CBA CAB ∴∠=∠=︒，
四边形ABCD 是对余四边形，
90ADC ABC ∴∠+∠=︒，
45ADC ∴∠=︒，
90135AEC ABC ∠=︒+∠=︒，
180ADC AEC ∴∠+∠=︒，
A ∴，D ，C ，E 四点共圆，
ACE ADE ∴∠=∠，
45CAE ACE CAE EAB ∠+∠=∠+∠=︒，
EAB ACE ∴∠=∠，
EAB ADB ∴∠=∠，
ABE DBA ∠=∠，
ABE DBA ∴∆∆∽，
∴
BE AE AB AD =， ∴AE AD BE AB
=， 4AD u ∴=
， 设(,)D x t ，
由(2)可知，2222BD CD AD =+，
222222(3)2[(1)(2)](1)x t x t x t ∴-+=-+-+++，
整理得22(1)4x t t +=-，
在Rt ADH ∆中，AD =，
4)4AD u t ∴==<<，
即4)u t <<． 15．(2020•镇江)【算一算】
如图①，点A 、B 、C 在数轴上，B 为AC 的中点，点A 表示3-，点B 表示1，则点C 表示的数为 ，AC 长等于 ；
【找一找】
如图②，点M 、N 、P 、Q 中的一点是数轴的原点，点A 、B 1-1+，Q 是AB 的中点，则点 是这个数轴的原点； 【画一画】
如图③，点A 、B 分别表示实数c n -、c n +，在这个数轴上作出表示实数n 的点E (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a 个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m 个学生，每分钟又有b 个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a 、m 、b 会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数4m b +记作(4)m b ++，用点A 表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a 记作
8a -，用点B 表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示(2)m b ++、12a -的点F 、G ，并写出(2)m b ++的实际意义；
②写出a 、m 的数量关系： ．
【解答】(1)【算一算】：记原点为O ，
1(3)4AB =--=，
4AB BC ∴==，
5OC OB BC ∴=+=，28AC AB ==．
所以点C 表示的数为5，AC 长等于8．
故答案为：5，8；
(2)【找一找】：记原点为O ，
211)2AB =+--=， 1AQ BQ ∴==，
11OQ OB BQ ∴=--= N ∴为原点． 故答案为：N ．
(3)【画一画】：记原点为O ，
由()2AB c n c n n =+--=，
作AB 的中点M ，
得AM BM n ==，
以点O 为圆心，
AM n
=长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
(4)【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：4
=．
m a
4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
+=(Ⅰ)；
434
m b a
m b a
∴+=⨯⨯，即412
2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
m b a
∴+=⨯⨯，即28
+=(Ⅱ)；
242
m b a
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则4
==，
OG OE a
OE BE a
==，在数轴负半轴上用圆规截取312
则点G即为所求．
++的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
m b
(2)
②方程(Ⅱ)2
⨯-方程(Ⅰ)得：4
=．
m a
故答案为：4
=．
m a。