高三数学解题方法谈：导数中的“看图说话”

导数中的“看图说话”
导数的引入，为研究函数的单调性、求最值提供了有力的工具，与传统的证明和各种求解技巧相比，导数的优势是简洁．使用导数首先要学会“看图说话”，因为导数往往和函数图象，各种图表联系紧密！
例1 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ ）
解析：()2f x x b '=+，由f （x ）图象的顶点在第四象限得b ＜0，则直线()2f x x b '=+的斜率为2，且直线在y 轴的截距为负．易知，只有（A ）符合要求．
评注：解析几何中的许多问题是通过图象来表达出来的，因此要能够根据文字语言、图形语言的提示信息，准确读懂图表，并将隐藏其中的数学信息挖掘出来．
例2 设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图1所示，则()f x 的图象最有可能是（ ）
解析：由()f x '的图象在x ＜0，x ＞2的符号为正，
则()f x 在x ＜0，x ＞2为增函数，当0＜x ＜2时()f x '为负，
则()f x 在0＜x ＜2为减函数，故选（C ）．
评注：其实，有许多看似无从下手的函数问题，如果有应用导数的意识的话，会变得简单起来．
例3 已知函数32
()(0)f x ax bx x a b ab =++∈≠R ，，的图象如图2所示（12x x ，为两个极值点），且12x x >，则有（ ）
Ａ．
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ．a ＞0，b ＞0 Ｂ．a ＜0，b ＜0 Ｃ．a ＜0，b ＞0 Ｄ．a ＞0，b ＜0 解析：因为12x x >，根据图象，显然有1212000x x x x <><，，，
又12x x >，即1220x x x x ->+<，为f （x ）的两个极值点，
求导数有2
()321f x ax bx '=++，即方程23210ax bx ++=的 两个实根为12x x ，．
由根与系数关系知12122133b x x x x a a
+=-
=，． 因此a ＜0，b ＜0．故选Ｂ．。