甘肃省嘉峪关市2020年高一下期末质量检测数学试题含解析

甘肃省嘉峪关市2020年高一下期末质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下：
根据以上数据估计（ ） A ．甲比乙的射击技术稳定 B ．乙.比甲的射击技术稳定 C ．两人没有区别 D ．两人区别不大
【答案】A 【解析】 【分析】
先计算甲、乙两人射击5次，命中环数的平均数，再计算出各自的方差，根据方差的数值的比较，得出正确的答案. 【详解】
甲、乙两人射击5次，命中环数的平均数分别为：
129.89.910.11010.29.4+10.3+10.8+9.7+9.8
10==1055
x x ++++=
=、，甲、乙两人射击5次，命中环
数的方差分别为：
22222
21
(9.810)(9.910)(10.110)(1010)(10.210)0.025
S -+-+-+-+-==，
22222
22
(9.410)(10.310)(10.810)(9.710)(9.810)0.2445
S -+-+-+-+-==，
因为22
12S S <，所以甲比乙的射击技术稳定，故本题选A.
【点睛】
本题考查了用方差解决实际问题的能力，考查了方差的统计学意义.
2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面的对称点的坐标为( ) A ．（−3，4，5） B ．（−3，−4，5） C ．（3，−4，−5） D ．（−3，4，−5）
【答案】A 【解析】 【分析】
由关于Oyz 平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解.
【详解】
关于Oyz 平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P （3，4，5）关于Oyz 平面的对称点的坐标为（−3，4，5）．故选A ． 【点睛】
本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法，属于基础题. 3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ） A ．
11
a b
> B ．a b <
C ．22a b <
D ．33a b <
【答案】D 【解析】 【分析】
利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3
y x =的单调性，可证明D 正确. 【详解】
取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，
由函数3
y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题. 4．把函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6
π
个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A ．12
x π
=-
B ．12
x π
=
C ．3
x π
=
D ．712
x π=
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程. 【详解】
由题得图像变换最后得到的解析式为sin 2()sin(2)63
y x x π
π
=-=-， 令5
2,,3
2
212
k x k k Z x π
π
πππ-
=+
∈∴=
+， 令k=-1,所以12
x π
=-.
故选A 【点睛】
本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()cos2g x x =的图象（ ）
A ．向左平移6π
个单位长度 B ．向右平移
6π
个单位长度 C ．向左平移12
π
个单位长度
D ．向右平移12
π
个单位长度
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据图象确定A 的值，进而根据三角函数结果的点求出求ϕ与ω的值，确定函数()f x 的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果． 【详解】
由题意，函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图象， 可得11,4
312
4
A T π
π
π
==
-
=
，即T π=，所以2ω=，
再根据五点法作图，可得212
2
π
π
ϕ⨯
+=
，求得3
π
ϕ=
，
故()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
． 函数()y f x =的图象向左平移12
π
个单位，可得sin[2()]sin(2)1232
y x x πππ
=+
+=+ cos2x =的图象，
则只要将()cos2g x x =的图象向右平移12
π
个单位长度可得()f x 的图象，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于
基础题．
6．等差数列{}n a 中，11a =，322a a -=，下列结论错误的是（ ） A ．1a ，2a ，5a 成等比数列 B ．981S = C ．71a = D ．47a =
【答案】C 【解析】 【分析】
根据条件得到公差d ，然后得到等差数列的通项，从而对四个选项进行判断，得到答案. 【详解】
等差数列{}n a 中，11a =，322a a -= 所以2d =，
所以()11221n a n n =+-⨯=-，
所以11a =，23a =，35a =，47a =，59a =，
611a =，713a =，815a =，917a =，
所以122
5a a a =，所以1a ，2a ，5a 成等比数列，故A 选项正确，
()1999812
a a S +==，故B 选项正确，
713a =，故C 选项错误， 47a =，故D 选项正确.
故选：C. 【点睛】
本题考查求等差数列的项，等差数列求前n 项的和，属于简单题.
7．边长为1的正方形ABCD 上有一动点P ，则向量AB AP ⋅的范围是（ ）
A ．0,1
B ．⎡⎣
C ．⎡⎣
D ．{}1
【答案】A 【解析】 【分析】
分类，按P 在正方形的四条边上分别求解． 【详解】
如图，分别以,AB AD 为,x y 建立平面直角坐标系，(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)A B C D ，设(,)P x y ，
(1,0),(,)AB AP x y ==，∴AB AP x ⋅=，
当P 在边AB 或CD 上时，01x ≤≤，所以01AB AP ≤⋅≤， 当P 在边BC 上时，1x =，1AB AP ⋅=， 当P 在边AD 上时，0x =，0AB AP ⋅=， ∴AB AP ⋅的取值范围是[0,1]． 故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，通过建立坐标系，把向量和数量积用坐标表示，使问题简单化． 8．设a ＞0，b ＞033a 和3b 的等比中项，则14
a b
+的最小值为（ ） A ．6 B ．42C ．8
D ．9
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析： 由题意a ＞0，b ＞0，33a
和3b
的等比中项，即
2
333331a b a b a b +=⋅⇒=⇒=+，
则1414441(+b)=5+529b a b a a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+⋅=+⋅+≥+⋅=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当4b a a b =时，即2b a =时取等号．
考点：重要不等式，等比中项
9．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
【答案】A 【解析】
设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x
y k x ⎧=⎨=-⎩，得
2
2
221
1
1
240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212
1
24
k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342
2
24
k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=
22
122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则
2
2||sin p AB α
=，则2
222||πcos sin (+)2
p p
DE αα==，所以222
221
||||4(cos sin cos p p AB DE ααα
+=+=+ 2222
22222
111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα
=++=++≥⨯+=. 10．已知数列{}n a 满足1212,(*)n n a a a a n +=>∈N ，则（ ） A ．35a a ＞ B ．35a a <
C ．24a a >
D ．24a a <
【答案】B 【解析】 【分析】
分别令1,2,3n =，求得不等式，由此证得35a a <成立. 【详解】
当1n =时，3113,4a a a a >⋅>，当2n =时，41242,2a a a a a >⋅>，当3n =时，51332a a a a >⋅=，所以53333240a a a a a ->-=>>，所以53a a >，故选B. 【点睛】
本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题.
11．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
结合正弦函数的基本性质,抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可. 【详解】 当
时,
,当
,
因为在
只有一条对称轴,可知
,解
得,故选C.
【点睛】
考查了正弦函数的基本性质,关键抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可. 12．在中，如果
，
，
，则此三角形有（ ） A ．无解 B ．一解
C ．两解
D ．无穷多解
【答案】C 【解析】 【分析】 计算出的值，然后比较、
、三者的大小关系，可得出此三角形解的个数.
【详解】 由题意得
，则
，因此，该三角形有两解，故选C.
【点睛】
本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形解的个数的判断条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题
13．已知直线:20l x y +=，圆O ：229x y +=上到直线l 的距离等于2的点有________个。

【答案】3； 【解析】 【分析】
根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可通过图形确定所求点的个数.
【详解】
由圆的方程可知，圆心坐标为()0,0，半径3r =
∴圆心到直线l 的距离：212
d -=
=
如上图所示，此时1OA OB ==，2AE = 则到直线l 距离为2的点有：,,C D E ，共3个 本题正确结果：3 【点睛】
本题考查根据圆与直线的位置关系求解圆上点到直线距离为定值的点的个数，关键是能够根据圆心到直线的距离确定直线的大致位置，从而根据半径长度确定点的个数. 14．已知cot m α=（02
π
α-
<<），则cos α=________.（用m 表示）
【答案】2211
m m +-
+ 【解析】 【分析】
根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解. 【详解】
因为cot m α=，02
π
α-<<
所以
cos sin m α
α
=，0m < 故22222cos cos sin 1cos m αααα==-，解得21cos m m α+= 又02
π
α-
<<，0m <，
所以21cos m m α+=. 故填21m m +【点睛】
本题主要考查了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题. 15．经过点(1,1)A 且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________. 【答案】2x y +=或0x y -= 【解析】 【分析】
当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=，把点(1,1)A 代入求得a 的值，即可求得直线方程，当直线过原点时，直线的方程为y x =，综合可得答案. 【详解】
当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=， 把点(1,1)A 代入可得：11a +=，即2a = 此时直线的方程为：2x y +=
当直线过原点时，直线的方程为y x =，即0x y -= 综上可得：满足条件的直线方程为：2x y +=或0x y -= 故答案为：2x y +=或0x y -= 【点睛】
过原点的直线横纵截距都为0，在解题的时候容易漏掉.
16．直线120kx y k -+-=与圆:C ()2
213x y -+=的位置关系是______. 【答案】相交 【解析】 【分析】
由直线系方程可得直线过定点()2,1P ，进而可得点P 在圆内部，即可得到位置关系. 【详解】
化直线方程120kx y k -+-=为()
210k x y --+=，令20
10x y -=⎧⎨-=⎩
，解得21x y =⎧⎨=⎩， 所以直线120kx y k -+-=过定点()2,1P ，
又圆:C ()2
213x y -+=的圆心坐标为()1,0，半径r =
而CP =
=
所以点P 在圆C 内部，故直线与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判断，考查直线系方程的应用，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()=--f x x bx c (,b c R ∈)，设函数()()g x f x =在区间[]1,1-上的最大值为M . (1)若1b c ==，求M 的值；
(2)若≥M k 对任意的,b c 恒成立，试求k 的最大值. 【答案】 (1)54
M =；(2)12
【解析】 【分析】
（1）根据二次函数的单调性得()f x 在区间⎡-⎢⎣⎦，1,12⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦单调递减，在区间12⎤⎥⎣⎦单调递增，从得而得1
max (),(1)2
M f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩
⎭
；
（2）①当2b ≥时，()f x 在区间[]1,1-上是单调函数，则{}max (1),(1)M g g =-，利用不等式的放缩法求得2M ≥；②当2b <时，对b 进行分类讨论，求得12M ≥；从而求得k 的最大值为12
. 【详解】
(1)当1b c ==时，2()1f x x x =--，结合图像可知，
()f x 在区间⎡-⎢⎣⎦，1,12⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦单调递减，在区间12⎤⎥⎣⎦单调递增. 15
max (),(1)24
⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭M f f .
(2)①当2b ≥时，()f x 在区间[]1,1-上是单调函数，则{}max (1),(1)M g g =-， 而(1)1g b c -=+-，(1)1g b c =--，
2(1)(1)1124M g g b c b c b ≥-+=+-+--≥≥，
∴2M ≥.
②当2b <时，()g x 的对称轴2
b
x =
在区间[]1,1-内， 则max (1),(1),()2b M g g g ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，又2
()24
b b f
c =--，
（ⅰ）当20b -<≤时，有，()(1)(1)2
b
f f f <-<，则
11max (1),()((1)())((1)())22222b b b M g g g g f f ⎧
⎫=≥+≥-⎨⎬⎩
⎭211(1)222b =-≥，
（ⅱ）当02b <≤时，有，()(1)(1)2
b
f f f ≤<-则
11max (1),()((1)())(()(1))22222b b b M g g g g f f ⎧
⎫=-≥-+≥--⎨⎬⎩
⎭211(1)222b =+≥，
所以，对任意的,b c 都有1
2
M ≥， 综上所述0b =，12c =
时2
1()2g x x =-在区间[1,1]-的最大值为12
，
所以k 的最大值为1
2
. 【点睛】
本题考查一元二次函数的图象与性质、含参问题中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.
18．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？ （角度精确到1°，参考数据：3sin 417︒≈
，4
cos 417
︒≈）
【答案】乙船应朝北偏东约71︒的方向沿直线前往B 处救援. 【解析】 【分析】
根据题意，求得CAB ∠，利用余弦定理求得BC 的长，在ACB ∆中利用正弦定理求得3
sin 7
ACB ∠=，根据题目所给参考数据求得乙船行驶方向. 【详解】
解：由已知9030120CAB ∠=︒+︒=︒， 则90ACB ∠<︒，在ACB ∆中，由余弦定理， 得222201022010cos120700BC =+-⨯⨯︒=，
∴
BC =.
在ACB ∆中，由正弦定理，有
sin
20ACB ∠=，
解得sin ACB ∠=
，则41ACB ∠≈︒， 故乙船应朝北偏东约413071︒+︒=︒的方向沿直线前往B 处救援. 【点睛】
本小题主要考查解三角形在实际生活中的应用，考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题. 19．（1）任意向x 轴上()0,1这一区间内投掷一个点，则该点落在区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
内的概率是多少？ （2）已知向量()2,1a =-，(),b x y =，若x ，y 分别表示一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足0a b ⋅>的概率. 【答案】（1）1
2（2）16
【解析】 【分析】
（1）几何概型的计算公式求解即可；
（2）求出该骰子先后抛掷两次的基本事件总数，根据数量积公式得出满足0a b ⋅>包含的基本事件个数，由古典概型概率公式求解即可. 【详解】
解：（1）由题意可知，任意向0,1这一区间内掷一点，该点落在0,1内哪个位置是等可能的.
令1|02A x x ⎧
⎫
=<<
⎨⎬⎩
⎭
，则由几何概型的计算公式可知：()11212
P A ==.
（2）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有6636⨯=个基本事件. 由0a b ⋅>，得2y x >
满足0a b ⋅>包含的基本事件(),x y 为()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,5，()2,6共6种情形， 故()
610366
P a b ⋅>==. 【点睛】
本题主要考查了利用几何概型概率公式以及古典概型概率公式计算概率，属于中档题. 20．若2sin(
)
3
, 且(,0)2απ
∈-, 求tan α的值.
【答案】tan 5
α=- 【解析】 【分析】
本题首先可根据2
sin()
3以及诱导公式得出2sin 3
，然后根据(,0)2απ
∈-以及同角三角函
数关系计算出5
cos α，最后根据sin tan cos ααα=即可得出结果．
【详解】 因为2
sin()
3，所以2sin 3
， 因为(,0)2
απ
∈-
，所以cos 0α>， 因为22sin cos 1αα+=，所以解得5
cos α3
，sin 25
tan cos 5
． 【点睛】
本题考查同角三角函数关系的应用，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos α
αα
=
以及sin()sin ，考查计算能力，是简单题．
21．设ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且满足
()sin sin cos cos ?sin A B A B C π⎡⎤+=--⎣⎦.
（1）试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若1a b c ++=ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）090C ∠=；（2）1
4
. 【解析】
试题分析：（1）由()sinA sinB cosA cosB sinC +=+，利用正、余弦定理，得
222222b c a c a b a b ?
c 2bc 2ca ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭
，化简整理即可证明：ΔABC 为直角三角形；
（2）利用a b c 1++=+222a b c +=，根据基本不等式可得：
(
1a b 2=++≥=+ΔABC 面积的最大值.
试题解析：
解法1：（1）∵()sinA sinB cosA cosB sinC +=+， 由正、余弦定理，得
222222b c a c a b a b ?
c 2bc 2ca ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭
， 化简整理得：()(
)()2
2
2
a b a b
a b c
++=+，
∵a b 0+>，所以222a b c +=， 故ΔABC 为直角三角形，且0C 90∠=；
（2）∵222a b c 1b c ++=+=，
∴(1a b 2=++≥=+
当且仅当a b =时，上式等号成立，∴2
≤
.故2
ΔABC 111S ab 2224
⎛⎫=≤⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 即ΔABC S 面积的最大值为1
4
. 解法2
（1）由已知：()sinA sinB cosA cosB sinC +=+， 又∵()sinB sin A C sinAcosC cosAsinC =+=+，
()sinA sin B C sinBcosC cosBsinC =+=+，
∴()sinA sinB cosC 0+=，
而0A B C π<<、、，∴sinA sinB 0+>， ∴cosC 0=，
故0C 90=，∴ΔABC 为直角三角形.
（2）由（1）0C 90=，∴a csinA,b ccosA ==.
∵
a b c 1++=∴1c 1sinA cosA
+=
++，
∴2
2ΔABC
1111S ab c sinAcosA ?·sinAcosA 2221sinA cosA ⎛⎫+=== ⎪ ⎪++⎝⎭
，
令sinA cosA t +=，∵π
0A 2
<<
，∴1t <≤
∴2
2ΔABC
11t 13t 132S ?···121t 24t 14t 1⎛+-+-+⎛⎫===- ⎪ +++⎝⎭⎝⎭
.
而()32f t ?14t 1+⎛⎫=
- ⎪+⎝⎭
在(
上单调递增，
∴(
)ΔABC max 1S f
4
==
. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()(
)*
112n n n a na n N
+--=-∈，且6
3a
S =，数列{}n b 满足，对
任意的*n N ∈，且112,,,n n n n n n n S b S b S b -+≥+++成等比数列，其中12b =. （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式 （2
）记)*n c n N =
∈，证明：当*n N ∈且2n ≥
时，)
()*1232
1n c c c c n N <++++<∈
【答案】（1）2n a n =.；()1n b n n =+.（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）当2n ≥时，由()(
)*
112n n n a na n N
+--=-∈，()()1
212n
n n a n a
----=-
两式相减得112n n n a a a +-=+，用等差中项确定{}n a 是等差数列再求通项公式.令
111,,n n n n n n n n n n n T S b S b T a S b T a -++=++=-+=+，根据112,,,n n n n n n n S b S b S b -+≥+++成等比数列，
求得()1
21n n n a a T n n d
+=
=+，从而得到()1n n n b T S n n =-=+ （2）由（1
）知
n c =
=
2
2
n c <<，再相消法求和.
【详解】
（1）当2n ≥时，由()(
)*
112n n n a na n N +--=-∈，
得()()1212n n n a n a ----=-， 两式相减得112n n n a a a +-=+， 当1n =时，12a =， 所以{}n a 是等差数列. 又因为63a S =， 所以11353a a d d =++， 所以12a d ==，
所以2n a n =.
()1n S n n =+.
令111,,n n n n n n n n n n n T S b S b T a S b T a -++=++=-+=+， 因为112,,,n n n n n n n S b S b S b -+≥+++成等比数列， 所以()()2
1n n n n n T T a T a +=-+，
所以()1
21n n n a a T n n d
+=
=+， 所以()1n n n b T S n n =-=+， 又因为12b =.， 所以()1n b n n =+. （2）由（1
）知
n c =
=
=
<
=
所以2
n c
<
=
，
)
()*1232
1 (2)
1n c c c c n N +++
+
<+
=
∈.
=
>=
所以
2
n c
=
>
=
所以1232 (6)
6
n c c
c c
++++>
+
=所以当*n N ∈且2n ≥时，)
()*1232
1n c c c c n N <++++<∈
【点睛】
本题主要考查了数列递推关系和等比数列的性质，放缩法证明数列不等式问题，属于难题.。