高考数学一轮总复习第八章平面解析几何 2直线的交点坐标与距离公式课件

1 ： = ，直线2 ： = ，则1 与2 的关系为_______.
2.两条直线的交点坐标
1 + 1 + 1 = 0,
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组ቊ
若方程组有唯
2 + 2 + 2 = 0.
相交
一解，则两条直线______，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共
: + 2 + 3 = 0的距离为(
A.2
√
5
3 5
B.
2
)
C. 5
3 5
D.
4
2 − − 4 = 0, = 3,
解：由题意，联立ቊ
得ቊ
故 3,2 .则点到直线的距离为
= 2,
+ − 5 = 0,
=
3+4+3
12 +22
= 2 5.故选A.
（3）已知直线1 : 2 + 3 − 1 = 0和2 : 4 + 6 − 9 = 0，若直线到直线1 的距离与到
则两直线平行⇔ 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等.③判定两直线垂直的方
法.一是判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若1 2 = −1，则两
直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直.二是
直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论.设直线1 : 1 + 1 + 1 = 0，
（2）1 ⊥ 2 ⇔ 1 2 + 1 2 = 0.
2.常见直线系方程
（1）过定点 1 , 1 的直线系方程： − 1 = − 1 和 = 1 .
（2）平行于直线 + + = 0的直线系方程： + + = 0 ≠ .
（3）垂直于直线 + + = 0的直线系方程： − + = 0.
1 = 2
1 //2
________，特别地，当直线
1 ，2 的斜率都不存在时，1 与2 的关系为_______.
（2）垂直：如果两条直线1 ，2 的斜率都存在，且分别为1 ，2 ，则有1 ⊥ 2 ⇔
1 2 = −1
1 ⊥ 2
___________，特别地，若直线
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）当直线1 和2 斜率都存在时，1 = 2 ⇒ 1 //2 .
( ×)
（2）已知两条直线1 ：1 + 1 + 1 = 0与2 ：2 + 2 + 2 = 0不重合，则
1 2 + 1 2 = 0是直线1 ⊥ 2 的充要条件.
2 + − 6 = 0.故选A.
3.圆 + 1
2
+ 2 = 2的圆心到直线 = + 3的距离为(
A.1
解：圆 + 1
C. 2
√
B.2
2
直线的距离 =
)
D.2 2
+ 2 = 2的圆心坐标为 −1,0 .由 = + 3得 − + 3 = 0，则圆心到
−1−0+3
第八章 平面解析几何
8.2 直线的交点坐标与距离公式
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直
线间的距离.
【教材梳理】
1.两条直线的位置关系
（1）平行：对于两条不重合的直线1 ，2 ，其斜率分别为1 ，2 ，有1 //2 ⇔
平行
点，此时两条直线______.
3.距离公式
（1）两点间的距离公式：两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 间的距离为 1 2 =
2 − 1 2 + 2 − 1 2
_______________________.特别地，原点
0,0 与任一点 , 间的距离为 =
2 + 2
__________.
（2）点到直线的距离公式：点0 0 , 0 到直线： + + = 0的距离 =
0 +0 +
___________.
2 +2
（3）两条平行直线间的距离：两条平行直线1 ： + + 1 = 0与
1 −2
2 ： + + 2 = 0 1 ≠ 2 间的距离 =_______.
考点一 两条直线的平行与垂直
例1（1） “ = 4”是“直线 + 3 − 4 + 3 = 0与直线2 + + 3 = 0平行”的
(
)
A.充分不必要条件
C.充要条件
√
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解：当 = 4时，两直线方程分别为4 + 8 + 3 = 0，2 + 4 + 3 = 0，满足两直线
sin + + = 0与 − sin + sin = 0的位置关系是(
A.平行
解：由正弦定理
B.重合

sin
=

，得sin
sin
C.垂直
√
)
D.相交但不垂直
− sin = 0，所以两直线垂直.故选C.
考点二 两条直线的相交、距离问题
例2（1） 若三条直线 + − 3 = 0， − + 1 = 0， + − 5 = 0相交于同一点，
解：设平行于直线 − 2 + 3 = 0的直线方程为 − 2 + = 0.把点 2,2 代入,可得
2 − 2 × 2 + = 0，所以 = 2.
设垂直于直线 − 2 + 3 = 0的直线方程为2 + + = 0.把点 2,2 代入,可得
2 × 2 + 2 + = 0，所以 = −6.故所求直线的方程分别为 − 2 + 2 = 0，
3.对称常用结论
（1）点 , 关于直线 = 的对称点为 , ，关于直线 = −的对称点为
−, − .
（2）点 , 关于直线 = 的对称点为 2 − , ，关于直线 = 的对称点为
, 2 − .
（3）点 , 关于点 , 的对称点为 2 − , 2 − .
（2）已知直线 − 3 − 7 = 0与直线 2 − 1 + + = 0互相垂直，则 =(
A.0
B.1
C.2
D.0或2
√
解：①当 = 0时，两直线的方程分别为3 + 7 = 0和 = 0，故两直线垂直.
②当 ≠
1−2
1−2
0时，两直线的斜率分别为 和
，由题意,得
12 + −1 2
= 2.故选C.
4.（教材题改编）若三条直线 = 2, + = 3, + 2 + 5 = 0相交于一点，则的
-9
值为___.
= 2,
= 1,
解：由ቊ
得ቊ
所以点 1,2 满足方程 + 2 + 5 = 0,即

=
2. + =来自3, × 1 + 2 × 2 + 5 = 0,所以 = −9.故填-9.
，解得
−1
= −4， ≠ −2，即直线6 + + = 0可化为

2
3 − 2 + = 0.
又两平行线之间的距离为
2 13
，所以
13

+1
2
32 + −2 2
=
2 13
，解得
13
= 2或−6.故填2或−6.
【点拨】①点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此
时直线方程必须为一般式.②两平行直线间的距离，可直接用公式求,也可利用“化归”
D.若1 //2 ，则 = 2
√
C.若1 //2 ，则 = −2
解：由题意，若1 ⊥ 2 ，则1 2 =

2
= −1，解得 = −2；若1 //2 ，则1 = 2 ，所
以Δ = 16 − 8 = 0，解得 = 2.故选AD.
（2）设，，分别是△ 中内角，，所对边的边长，则直线
( √ )
2.过点 2,2 且平行、垂直于直线 − 2 + 3 = 0的直线方程分别为(
)
A. − 2 + 2 = 0，2 + − 6 = 0
√
B. − 2 + 7 = 0，2 + − 6 = 0
C. − 2 + 2 = 0，2 + − 1 = 0
D. − 2 + 7 = 0，2 + − 1 = 0
得交点为 1,2 .又由题意，知所求直线斜率为−2,则其方程为
− 2 + 3 = 0,
− 2 = −2 − 1 ,即为2 + − 4 = 0.故填2 + − 4 = 0.
（2）已知直线1 : 2 − − 4 = 0，2 : + − 5 = 0相交于点，则点到直线
（3）点 0 , 0 到直线 = + 的距离为
( √ )
0 +
1+ 2
.
（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.
（5）若点，关于直线： = + ≠ 0
段的中点在直线上.
( ×)
( √ )
1
对称，则直线的斜率等于− ，且线

2 +2
常用结论
1.两条直线平行、垂直的充要条件
设直线1 与2 的方程分别为1 + 1 + 1 = 0（1 ，1 不同时为0），
2 + 2 + 2 = 0（2 ，2 不同时为0），则
1 2 − 2 1 = 0,
（1）1 //2 ⇔ ቊ
1 2 − 2 1 ≠ 0或1 2 − 2 1 ≠ 0.
则点 , 到原点的距离的最小值为(
A.
√
5
B. 6
)
C.2 3
D.2 5
+ − 3 = 0,
= 1,
解：联立ቊ
解得ቊ
= 2.
− + 1 = 0,
因为三条直线 + − 3 = 0， − + 1 = 0， + − 5 = 0相交于同一点，所以
+ 2 = 5.
（4）过两条已知直线1 + 1 + 1 = 0与2 + 2 + 2 = 0的交点的直线系
方程：1 + 1 + 1 + (2 + 2 + 2 ) = 0（不包括直线2 + 2 + 2 = 0）
和2 + 2 + 2 = 0.
2 +1
C.−
1
3
D.− 或−
√
1
3
1
3
)
7
9
7
9
，化简得 3 + 3 = 6 + 4 .解得 = − 或 = − .
（3）若两平行直线3 − 2 − 1 = 0，6 + + = 0之间的距离为
2 13
，则的值是
13
2或−6
_______.
6
解：依题意，知
3
=

−2
≠

2 : 2 + 2 + 2 = 0，1 ⊥ 2 ⇔ 1 2 + 1 2 = 0.
变式1（1） 【多选题】直线1 ,2 的斜率1 ,2 是关于的方程2 2 − 4 + = 0的两个
根，则下列说法正确的是(
)
A.若1 ⊥ 2 ，则 = −2
√
B.若1 ⊥ 2 ，则 = 2
3


综上, = 0或 = 2.故选D.

3
⋅ = −1，解得 = 2.
)
【点拨】 ①当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要
考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意，
的系数不能同时为零这一隐含条件.②在判断两直线平行时，若两直线的斜率存在，
平行.
由直线 + 3 − 4 + 3 = 0与直线2 + + 3 = 0平行，得2 − 2 3 − 4 = 0，
解得 = 2或 = 4.
当 = 2时，两直线重合，故“ = 4”是“直线 + 3 − 4 + 3 = 0与直线
2 + + 3 = 0平行”的充要条件.故选C.
则点 , 到原点的距离的最小值为原点到直线 + 2 = 5的距离 =
选A.
5
12 +22
= 5.故
（2）已知点 −3, −4 ， 6,3 到直线: + + 1 = 0的距离相等，则 =(
1
3
A.− 或−
9
7
解：由题意,得
故选D.
B.−
−3−4+1
2 +1
=
7
9
6+3+1
法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
变式2（1） 经过两条直线 + − 3 = 0和 − 2 + 3 = 0的交点，且与直线
2 + − 4 = 0
2 + − 7 = 0平行的直线方程为______________.
+ − 3 = 0,
解：联立ቊ