七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元 期末复习同步练习试卷

七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元 期末复习同步练习试卷
一、选择题
1．小明要用40元钱买A 、B 两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买．．．．，40元钱全部用尽，A 型每个6元，B 型口罩每个4元，则小明的购买方案有（ ）种． A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．5种
2．已知∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（ ）
A ．18030x y x y +=⎧⎨=-⎩
B ．180
+30x y x y +=⎧⎨=⎩
C ．90
30x y x y +=⎧⎨=-⎩
D ．90
+30x y x y +=⎧⎨=⎩
3．下列各组数中①2
2x y =⎧⎨=⎩； ②21x y =⎧⎨=⎩；③22x y =⎧⎨=-⎩；④16
x y ⎧⎨⎩==是方程410x y +=的解
的有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A ．(5，44)
B ．(4，44)
C ．(4，45)
D ．(5，45)
5．为了节省空间，食堂里的饭碗一般是摆起来存放的，如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摆起来的高度为15cm ，9只饭碗摆起来的高度为21cm ，食堂的碗橱每格的高度为35cm ，则一摞碗最多只能放( )只． A ．20
B ．18
C ．16
D ．15
6．两位同学在解方程组时，甲同学由278ax by x
cx y +=⎧⎨-=⎩正确地解出32x y =⎧⎨=-⎩，乙同学因把C
写错了解得2
2
x y =-⎧⎨=⎩，那么a 、b 、c 的正确的值应为
A ．452a b c ===-，，
B ．451a b c ===-，，
C ．450a b c =-=-=，，
D ．452a b c =-=-=，，
7．如图，长方形ABCD 被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD 的周长为l ，若图中3个正方形和2个长方形的周长之和为9
4
l ，则标号为①正方形的边长为（ ）
A ．
112
l B ．
116
l C ．
516
l D ．
118
l 8．方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，…”译文：“已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛，…“则一个大桶和一个小桶一共可以盛酒斛，则可列方程组正确的是（ ）
A ．5253x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．53
52x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．53
52x y x y +=⎧⎨=+⎩
D ．5=+3
52x y x y ⎧⎨+=⎩
9．下列方程组的解为3
1x y =⎧⎨=⎩的是（ ）
A ．2
24x y x y -=⎧⎨+=⎩
B ．25
3x y x y -=⎧⎨+=⎩
C ．3
2x y x y +=⎧⎨-=⎩
D ．25
36x y x y -=⎧⎨+=⎩
10．方程组1
25x y x y +=⎧⎨
+=⎩
的解为（ ）
A ．12x y =-⎧⎨
=⎩ B ．2
1x y =⎧⎨
=⎩
C ．4
3x y =⎧⎨
=-⎩
D ．2
3x y =-⎧⎨
=⎩
二、填空题
11．甲乙两人共同解方程组515(1)
42(2)ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，由于甲看错了方程（1）中的a ，得到方程
组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩；乙看错了方程（2）中的b ，得到方程组的解为5
4x y =⎧⎨=⎩
；计算
2019
2018
110a
b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
________．
12．方程组11111
21132x y x z y z ⎧+=⎪⎪
⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩
的解为______.
13．某科技公司推出一款新的电子产品，该产品有三种型号.通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A 型、B 型、C 型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售(三种型号的成本相同).经过一个季度的经营后，发现C 型产品的销量占总销量的
3
7
，且三种型号的总利润率为35%.第二个季度，公司决定对A型产品进行升级，升级后A 产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B、C产品的销量和成本均不变，且三种产品在二季度成本基础上分别加价20%，30%，45%出售，则第二个季度的总利润率为______. 14．如图，长方形ABCD被分成若干个正方形，已知32cm
AB=，则长方形的另一边AD=_________cm.
15．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植
这三种中药材，经测算需将余下土地面积的
9
16
种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种
中药材种植总面积的19
40
．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村
还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____．
16．我校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调査表，且只选了一个项目），统计后趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作榜上有名．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8人；选趣味数学的人数不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24人．则参加调查问卷的学生有________人．
17．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过________小时车库恰好停满．
18．关于x，y的二元一次方程组
5323
x y
x y a
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是正整数，试确定整数a的值为
_________________.
19．若方程
1
2
3
x y
-=的解中，x、y互为相反数，则32
x y
-=_________
20．若m1，m2，…m2016是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2016=1546，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2016﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2016中，取值为2的个数为____．
三、解答题
21．阅读材料：对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为()F n ．例如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213321132666++=，6661116÷=，所以
(123)6F =．
（1）计算：(134)F ；
（2）若s ，t 都是“相异数”，其中10025s x =+，360t y =+（19x ≤≤，
19y ≤≤，x ，y 都是正整数），当()()20F s F t +=时，求s
t
的值．
22．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,
2n P m +⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；
（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y 的方程组333x y p q x y p q
⎧+=+⎪
⎨
-=-⎪⎩解为坐标的点
(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．
23．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B
b 满足
|21|280a b a b --++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：
3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．
24．李师傅要给-块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖.如图，现有A 和B 两种款式的瓷
砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等, B款瓷砖的长大于宽.已知一块A 款瓷砖和-块B款瓷砖的价格和为140元; 3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等.请回答以下问题:
(1)分别求出每款瓷砖的单价.
(2)若李师傅买两种瓷砖共花了1000 元，且A款瓷砖的数量比B款多，则两种瓷砖各买了多少块?
(3)李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖.若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长和宽分别为_ 米(直接写出答案).
25．学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同.
(1)求这两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个.某商店有两种优惠活动，如图所示.请根据以上信息，购进A种魔方多少个时，两种活动费用相同？
26．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A型车a
辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)l辆A型车和l辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A型车每辆需租金200元／次，B型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据题意得出方程，进而得出方程的整数解解答即可．
【详解】
解：设A型x个，B型口罩y个，由题意得
6x+4y=40，
因为x，y取正整数，
解得：
4
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
6
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
2
7
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以小明的购买方案有三种，
故选：B．
【点睛】
此题考查二元一次方程的应用，关键是根据题意列出二元一次方程解答．2．D
解析：D
【解析】
试题解析：∠A比∠B大30°，
则有x=y+30，
∠A，∠B互余，
则有x+y=90．
故选D．
3．B
解析：B
【详解】
解：把①2
2x y ==⎧⎨⎩
代入得左边=10=右边； 把②2
{1
x y ==代入得左边=9≠10； 把③2
{2x y ==-代入得左边=6≠10； 把④1{
6
x y ==代入得左边=10=右边；
所以方程4x +y =10的解有①④2个． 故选B ．
4．B
解析：B 【分析】
根据跳蚤运动的速度确定：(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第8(24)次，到(0,3)是
第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第2
25(5)次，到(0,6)是第48(68)次，
依此类推，到(0,45)是第2025次，后退5次可得2020次所对应的坐标． 【详解】
解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第
8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第225(5)次，到
(0,6)第48(68)次，依此类推，到(0,45)是第2025次．
202514
2020，
故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是(4,44)． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
5．D
解析：D 【解析】 【详解】
试题分析：设1个碗的高度为xcm ，没加一个碗的高度增加的高度为ycm ，列方程组
515
{
821x y x y +=+= ，解得5
2x y =⎧⎨=⎩
，
设可摆k 个碗，则5+2k≤35，解得：k≤15， 故选D ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组求
解．
6．A
解析：A 【分析】 把32x y =⎧⎨
=-⎩代入278ax by x
cx y +=⎧⎨-=⎩
得，3223148a b c -=⎧⎨+=⎩由方程组中第二个式子可得：c=-2．用排
除法，可以直接解答. 【详解】 解：把32x y =⎧⎨
=-⎩代入278
ax by x
cx y +=⎧⎨-=⎩得：
3223148a b c -=⎧⎨
+=⎩
①
②， 由②得：c 2=-，
四个选项中行只有A 符合条件． 故选择：A. 【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的解，做这类题目时要用代入法或排除法，这样可以提高做题效率．
7．B
解析：B 【分析】
设两个大正方形边长为x ，小正方形的边长为y ，由图可知周长和列方程和方程组，解答即可． 【详解】 解：
长方形ABCD 被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，
∴两个大正方形相同、2个长方形相同．
设小正方形边长为x ，大正方形的边长为y ，
∴小长方形的边长分别为()y x -、()x y +，大长方形边长为()2y z -、()2y x +．
长方形周长l =，即：()()222y x y x l -++⎤⎣⎦=⎡， 8y l ∴=，
1
8
y l ∴=．
3个正方形和2个长方形的周长和为
9
4
l ， ()()9
244224y x x y y x l ∴⨯++⨯⨯+⎤⎣⎦=⎡+-，
9
1644y x l ∴+=，
1
16
x l ∴=
． ∴标号为①的正方形的边长
1
16
l ． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数量关系．
8．B
解析：B 【分析】
设一个大桶盛酒x 斛，一个小桶盛酒y 斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x 、y 的二元一次方程组． 【详解】
设一个大桶盛酒 x 斛，一个小桶盛酒 y 斛，
根据题意得：53
52x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，故选B. 【点睛】
根据文字转化出方程条件是解答本题的关键.
9．D
解析：D 【解析】 把3
1
x y =⎧⎨
=⎩代入选项A 第2个方程24x y +=不成立，故错误； 把3
1
x y =⎧⎨
=⎩代入选项B 第2个方程3x y +=不成立，故错误； 把3
1
x y =⎧⎨
=⎩代入选项C 第1个方程3x y +=不成立，故错误； 把31x y =⎧⎨=⎩代入选项D 两个方程均成立，故正确； 故选D. 10．C
解析：C 【分析】
根据解二元一次方程组的方法可以解答本题． 【详解】
解：
1
25 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
②﹣①，得
x=4，
将x=4代入①，得y=﹣3，
故原方程组的解为
4
3 x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法．
二、填空题
11．0
【分析】
根据题意，将代入方程（2）可得出b的值，代入方程（1）可得出a的值，将a与b的值代入所求式子即可得出结果．
【详解】
解：根据题意，将代入方程组中的4x-by=-2得：-12+b=-2
解析：0
【分析】
根据题意，将
3
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
代入方程（2）可得出b的值，
5
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程（1）可得出a的
值，将a与b的值代入所求式子即可得出结果．【详解】
解：根据题意，将
3
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
代入方程组中的4x-by=-2得：-12+b=-2，即b=10；
将
5
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=-1，
∴
2019
2018
1
10
a b
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
=1-1=0．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解为能使方程组中两方程成立的未知数的值．12．【分析】
先将三个方程依次标号，然后相加可得④，由④-①，④-②，④-③即可得出答
案.
【详解】
解：由方程组，可得：，
所以④，
由可得：，由可得：，由可得
综上所述方程组的解是.
【点睛】 解析：43445x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩
【分析】 先将三个方程依次标号，然后相加可得11194
x y z ++=④，由④-①，④-②，④-③即可得出答案.
【详解】 解：由方程组1111121132x y x z
y z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩
①
②③
，++①②③可得：111922x y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 所以11194
x y z ++=④， 由-④①可得：154,45
z z =∴=，由-④②可得：11,44y y =∴=，由-④③可得13,4
x = 43
x ∴= 综上所述方程组的解是43445x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩
.
【点睛】
本题考查的是三元一次方程组的解法，利用加减消元的思想是解题的关键.
13．34%
【分析】
由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A 型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意
解析：34%
【分析】
由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B 型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销
量为z，由题意列出方程组，解得
1
3
x z
y z
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
；第二个季度A产品成本为(1+25%)a＝
5
4
a，
B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝6
5
x，B产品销量为y，C产品销量为z，则第
二个季度的总利润率为：
56
20%30%45%
45
56
45
a x ay az
a x ay az
⨯⨯++
⨯++
＝34%.
【详解】
解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，
设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，
由题意得：
20%ax30%ay45%az35%a(x y z)
3
(x y z)z
7
++=++
⎧
⎪
⎨
++=
⎪⎩
，
解得：
1
3
x z
y z
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
第二个季度A产品的成本提高了25%，成本为：(1+25%)a＝5
4
a，B、C的成本仍为a，
A产品销量为(1+20%)x＝6
5
x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：
56
20%30%45%
45
56
45
a x ay az
a x ay az
⨯⨯++
⨯++
＝
0.30.30.45
1.5
x y z
x y z
++
++
＝1
0.30.30.45311.53
z z z z z z ⨯++⨯++＝34%， 故答案为：34%.
【点睛】
本题考查了利用二元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键.
14．【解析】
【分析】
可以设最小的正方形的边长为x ，第二小的正方形的边长为y ，根据已知AB=CD=32cm ，可得到两个关于x 、y 的方程，求方程组即可得解，然后求长方形另一边AD 的长即可．
【详解】
解析：76843
【解析】
【分析】
可以设最小的正方形的边长为x ，第二小的正方形的边长为y ，根据已知AB=CD=32cm ，可得到两个关于x 、y 的方程，求方程组即可得解，然后求长方形另一边AD 的长即可．
【详解】
设最小的正方形的边长为x ，第二小的正方形的边长为y ，将各个正方形的边长都用x 和y 表示出来（如图），
根据AB=CD=32cm ，可得：643322532y x y x x y -+-⎧⎨+⎩
＝＝ 解得：x=12843cm ，y=22443
cm ． 长方形的另一边AD=3y-x+y=4y-x=
76843 cm ． 故答案为：
76843
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用和正方形的性质，解题的关键是读懂图意根据矩形的性质列出方程组并求解．
15．3:20
【解析】
【分析】
设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x、黄连已种植面积x，依题意列出方程组，用y的代数
解析：3:20
【解析】
【分析】
设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为
（x+y），川香已种植面积1
3
x、贝母已种植面积
1
4
x、黄连已种植面积
5
12
x，依题意列出
方程组，用y的代数式分别表示x、y，然后进行计算即可.
【详解】
解：设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为
（x+y），川香已种植面积1
3
x、贝母已种植面积
1
4
x、黄连已种植面积
5
12
x
依题意可得，
5919
()
121640
191
:3:4 3164
x y x y
x y y z x z
⎧
+=+
⎪⎪
⎨⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
⎪+--+=
⎪ ⎪
⎢⎥
⎪⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
⎩
①
②
由①得
3
2
x y =③
将③代入②得
3
8 z y =
∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比=
3
3
8
320
2
y
z
x y y y
==
++
故答案为3：20.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键
16．48
【分析】
设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的有a（x+8）人，根据题意列出方程组，结合实际情况讨论求解即可.
【详解】
设选信息技术的有x人，选
解析：48
【分析】
设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的有a（x+8）人，根据题意列出方程组，结合实际情况讨论求解即可.
【详解】
设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的有a（x+8）人，
根据题意得：
()()()
()()
185
8824
a x x y
a x y x x
⎧++=+
⎪
⎨
++--+=
⎪⎩
①
②
，
②可变形为：（a-1）（x+8）=24+x-y③，①+③，得2a（x+8）=24+6x+4y，
即a=1232
8
x y
x
++
+
；
①-③，得x+3y=20．∵x、y都是正整数，
∴
17
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
14
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
11
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
8
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
5
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
当
17
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
、
14
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
、
11
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
、
8
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
、
5
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
a=1232
8
x y
x
++
+
都不是整数，不合题意．
当
2
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
时，a=
1232
8
x y
x
++
+
=3．
∴选信息技术的有2人，选演讲与口才的有6人，选手工制作的有10人，选趣味数学的有30人，
由于每名学生都填了调査表，且只选了一个项目，
所以参加调查问卷的学生有2+6+10+30=48（人）．
故答案为48
【点睛】
本题考查了二元一次方程的正整数解、二元一次方程组等知识点，题目难度较大，根据方程组得到二元一次方程，是解决本题的关键．
17．【解析】
【分析】
设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2
个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 解析：3215
【解析】
【分析】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 、y ，进一步代入求得答案即可．
【详解】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得： 82375%23275%x y a x y a （）（
）-=⎧⎨-=⎩ 解得：316332x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 则60%a ÷（2x -y ）=60%a ÷（316a ×2332-a ）＝3215
（小时）． 故答案为
3215
． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 18．7或5
【解析】
分析：首先用含a 的代数式分别表示x ，y ，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a 的不等式组，求出a 的取值范围，再根据a 为整数确定a 的值． 详解：
①-②×3，得
2x=2
解析：7或5
【解析】
分析：首先用含a 的代数式分别表示x ，y ，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a 的不等式组，求出a 的取值范围，再根据a 为整数确定a 的值．
详解：5323x y x y a +=⎧⎨+=⎩
①② ①-②×3，得
2x=23-3a
解得x=233
2
a
-
把x=233
2
a
-
代入②得y=
523
2
a-
∵关于x，y的二元一次方程组
5323
x y
x y a
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是正整数
∴233
2
a
-
＞0，
523
2
a-
＞0
解得2323 53
a
＜＜
即a=5、6、7
∵x、y为正整数
∴a为5或7.
故答案为：5或7.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于a的方程．
19．【解析】试题分析：根据x、y互为相反数，可得x+y=0，然后和方程构成方程组，解得，所以3x-2y=.
20．520
【解析】
试题分析：解决此题可以先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组
求解即可．设0有a个，1有b个，2有c个，由题意得，解得，
故取值为2的个数为502个
考点：(1
解析：520
【解析】
试题分析：解决此题可以先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组
求解即可．设0有a个，1有b个，2有c个，由题意得，解得
，
故取值为2的个数为502个
考点：(1)、规律型：(2)、数字的变化类．
三、解答题
21．（1）(134)8F =；（2）
325361
s t =． 【分析】
（1）由题意直接根据()F n 的定义把“相异数”任意两个数位上的数字对调后得到的三个不同的新三位数进行代入计算即可；
（2）根据题意由“相异数”的定义进行分析，并根据()F n 的定义求出()F s 和()F t ，进而依据()()20F s F t +=建立不定方程进行分析即可求解．
【详解】
解：（1）(134)(314431143)1118F =++÷=；
（2）∵s ，t 都是“相异数”，10025s x =+，360t y =+，
∴()(2051052010052)1117F s x x x x =+++++÷=+， ()(6301006330610)1119F t y y y y =+++++÷=+．
∵()()20F s F t +=，
∴791620x y x y +++=++=，
∴4x y +=，
∵19x ≤≤，19y ≤≤，且x ，y 都是正整数，
13x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩
，31x y =⎧⎨=⎩ ∵s 是“相异数”，
∴2x ≠，5x ≠．
∵t 是“相异数”，
∴3y ≠，6y ≠．
∴31x y =⎧⎨=⎩
是符合条件的解 ∴100325325s =⨯+=，3601361t =+= ∴
325361
s t =． 【点睛】 本题属于材料阅读题，考查代数以及二元一次方程中不定方程的应用，读懂题干所给的定义和分析解决二元一次方程是解题的关键．
22．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23
- 【分析】
（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，
22n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；
（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，22
n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；
（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，即可求出p 、q 的值．
【详解】
解：（1）A 点为“爱心点”，理由如下：
当A （5，3）时，m ﹣1＝5，22
n +＝3， 解得：m ＝6，n ＝4，则2m ＝12，8+n ＝12，
所以2m ＝8+n ，
所以A （5，3）是“爱心点”；
当B （4，8）时，m ﹣1＝4，22
n +＝8， 解得：m ＝5，n ＝14，显然2m ≠8+n ，
所以B 点不是“爱心点”；
（2）A 、B 两点的中点C 在第四象限，理由如下：
∵点A （a ，﹣4）是“爱心点”，
∴m ﹣1＝a ，
22
n +＝﹣4， 解得：m ＝a +1，n ＝﹣10． 代入2m ＝8+n ，得2（a +1）＝8﹣10，解得：a ＝﹣2，
所以A 点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B （4，b ）是“爱心点”，
同理可得m ＝5，n ＝2b ﹣2，
代入2m ＝8+n ，得：10=8+2b ﹣2，解得：b ＝2．
所以点B 坐标为（4，2）．
∴A 、B 两点的中点C 坐标为（2442,22
-+-+），即（1，﹣1），在第四象限．
（3）解关于x ，y
的方程组3x y q x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，
得：2x q y q ⎧=-⎪⎨=⎪⎩． ∵点B （x ，y ）是“爱心点”，
∴m ﹣1
﹣q ，22
n +＝2q ， 解得：m
﹣q +1，n ＝4q ﹣2．
代入2m ＝8+n ，得：
﹣2q +2＝8+4q ﹣2，
整理得
﹣6q ＝4．
∵p ，q 为有理数，若使
p ﹣6q 结果为有理数4，
则P ＝0，所以﹣6q ＝4，解得：q ＝﹣
23． 所以P ＝0，q ＝﹣
23． 【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
23．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）证明见解析
【分析】
（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；
（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；
（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．
【详解】
解：（1
）210a b --=，
又∵|21|0a b --≥0，
|21|0a b ∴--=0=，即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩，
解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23a b =⎧⎨=⎩
， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；
（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，
∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）， 根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦， 化简，得3||42
t =， 解得，83
t =±
， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143
个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭
；
（3）证明：过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，如图所示，
则ECD CEF ∠=∠，
2BCE ECD ∠=∠，
33BCD ECD CEF ∴∠=∠=∠，
过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，如图所示，
则OGP BPE ∠=∠，
PE 平分OPB ∠，
OPE BPE
∴∠=∠，
OGP OPE
∴∠=∠，
由平移得//
CD AB，
//
OG FE
∴，
FEP OGP
∴∠=∠，
FEP OPE
∴∠=∠，
CEP CEF FEP
∠=∠+∠，
CEP CEF OPE
∴∠=∠+∠，
CEF CEP OPE
∴∠=∠-∠，
3()
BCD CEP OPE
∴∠=∠-∠．
【点睛】
本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．
24．（1）A款瓷砖单价为80元，B款单价为60元.（2）买了11块A款瓷砖，2块B款;
或8块A款瓷砖，6块B款.（3）B款瓷砖的长和宽分别为1，3
4
或1，
1
5
.
【解析】
【分析】
（1）设A款瓷砖单价x元，B款单价y元，根据“一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元；3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等”列出二元一次方程组，求解即可；（2）设A款买了m块，B款买了n块，且m>n，根据共花1000 元列出二元一次方程，求出符合题意的整数解即可；
（3）设A款正方形瓷砖边长为a米，B款长为a米，宽b米，根据图形以及“A款瓷砖的
用量比B款瓷砖的2倍少14块”可列出方程求出a的值，然后由9
2
b
b
-
+
是正整教分情况求
出b的值.
【详解】
解: (1)设A款瓷砖单价x元，B款单价y元，
则有
140
34
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
80
60 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答: A款瓷砖单价为80元，B款单价为60元；
(2)设A款买了m块，B款买了n块，且m>n，
则80m+60n=1000，即4m+3n=50
∵m，n为正整数，且m>n
∴m=11时n=2；m=8时，n=6，
答：买了11块A款瓷砖，2块B款瓷砖或8块A款瓷砖，6块B款瓷砖；
(3)设A款正方形瓷砖边长为a米，B款长为a米，宽b米.
由题意得：
7997 22114 22
b b
a a
b a b a
--
⎛⎫
⨯⨯=+⨯-
⎪
++
⎝⎭
，
解得a=1.
由题可知，9
2
b
b
-
+
是正整教.
设9
2
b
k
b
-
=
+
(k为正整数)，
变形得到
92
1
k
b
k
-
=
+
，
当k=1时，
77
(1
22
b=>,故合去)，
当k=2时，
55
(1
33
b=>，故舍去)，
当k=3时，
3
4
b=，
当k=4时，
1
5
b=，
答: B款瓷砖的长和宽分别为1，3
4
或1，
1
5
.
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，（1）（2）较为简单，（3）中利用数形结合的思想，找出其中两款瓷砖的数量与图形之间的规律是解题的关键.
25．（1）A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个；（2）购进A种魔方45个时，两种活动费用相同.
【解析】
【分析】
（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种魔方m个（0＜m≤50），则购进B种魔方（100-m）个，根据图片描述列出两种活动方案需花费的总价格，使得两种价格相等求得m．
【详解】
解：(1)设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，
根据题意，得
2613034x y x y +=⎧⎨=⎩
解此方程组，得
2015x y =⎧⎨=⎩
答：A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个.
(2)设购进A 种魔方m 个，则购进B 种魔方(100－m)个，
根据题意，得
0.8×20m ＋0.4×15(100－m)＝20m ＋15(100－m －m)，
解此方程，得m ＝45.
答：购进A 种魔方45个时，两种活动费用相同.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、解题的关键是找准等量关系，列出关于x 、y 的二元一次方程组.
26．(1) A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货3吨、4吨;(2) 最省钱的租车方案是方案一：A 型车8辆，B 型车2辆，最少租车费为2080元.
【分析】
（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，根据题目中的等量关系：用3辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A 型车和3辆B 型车载满货物一次可运货l8吨，列方程组求解即可；
（2）由题意得出3a+4b=35，然后由a 、b 为整数解，得到三中租车方案；
（3）根据（2）中的所求方案，利用A 型车每辆需租金200元／次，B 型车每辆需租金240元／次，分别求出租车费用即可.
【详解】
解：（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，
依题意列方程组为：32172318x y x y +=⎧⎨+=⎩
解得34x y =⎧⎨=⎩
答：1辆A 型车辆装满货物一次可运3吨，1辆B 型车装满货物一次可运4吨.
（2）结合题意，和（1）可得3a+4b=35
∴a=3543
b - ∵a、b 都是整数
∴92a b =⎧⎨=⎩或55a b =⎧⎨=⎩或18a b =⎧⎨=⎩。