2018-2019湖北省宜昌市高二上学期期末考试数学（文）试题

2018-2019学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期末考
试数学（文）试题
一、单选题
1．圆的圆心和半径分别为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由圆的一般方程可知圆心坐标为（－2，3），
半径故选C.
【考点】圆的一般方程.
2．若复数满足，则的虚部为( )
A．B．C．1 D．-1
【答案】B
【解析】由复数的除法运算化简即可得解.
【详解】
由，可得.
z的虚部为-1，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.
3．若且，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：因为，，则
，故选B 。

【考点】（1）诱导公式（2）同角三角函数的基本关系 4．在区间
上随机取一个数,则事件 “
”发生的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C
【解析】先确定在区间[0，π]内满足sin x ≥cos x 的x 的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论． 【详解】
∵sin x ≥cos x ，x ∈[0，π]，
∴≤x ≤π，
∴事件“sin x ≥cos x ”发生的概率为＝．
故选：C ． 【点睛】
本题考查几何概型的概率求法，属于基础题. 5．若直线
1(0,0)x y
a b a b
+=>>过点()1,1，则a b +的最小值等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C
【解析】试题分析：∵直线
1x y
a b
+=（，）过点，∴．则
()11a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
222
4b a b a a b a b =++≥+⨯=，当且仅当时取等
号．故答案为：C ． 【考点】基本不等式.
6．在图1的程序框图中，若输入的值为2，则输出的值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，本程序框图为求y的和
循环体为“直到型”循环结构，输入x=2，
第一次循环：y=×2−1=0，|0−2|=2>1；x=0，
第二次循环：y=×0−1=-，|−0|=1，x=-1；
第三次循环：y=×(-1)−1=−，|−+1|⩽1，
结束循环，输出y=−.
故选：D.
7．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．至少有一个黑球与都是黑球B．有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
【答案】D.
【解析】D 恰有1个黑球与恰有2个黑球不可能同时成立，但除了这两个事件外，还有2个红球的情况。

因而D选项符合互斥而不对立的条件。

8．已知数据是宜昌市个普通职工的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数
据中，下列说法正确的是（）
A．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
【答案】B
【解析】解：∵数据x1，x2，x3，…，x n是上海普通职工n（n≥3，n∈N）个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入
则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大
故选B
9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )
B．C．D．
【答案】A
【解析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．【详解】
由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．
又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为，底面积为
观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为，
则该几何体的表面积为：．
故选C.
【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
10．下列叙述中错误的个数是()
①“”是“”的必要不充分条件；
②命题“若，则方程有实根”的否命题为真命题；
③若命题“”与命题“”都是真命题,那么命题一定是真命题；
④对于命题，使得，则，均有；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对每一命题逐一分析判断得解.
【详解】
①“”不可以推出“”，“”可以推出是“”，所以“”是“”的必要不充分条件，所以该命题是真命题；
②命题“若，则方程有实根”的否命题为“若m≤0，则方程
没有实根”，不一定小于零，所以该命题是假命题；
③若命题“”与命题“”都是真命题,那么命题一定是真命题，所以该命题是真命题；
④对于命题：，使得，则：，均有，所以该命题是假命题.
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查充要条件的判断和四种命题及其真假，考查命题的否定和复合命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线过点且与双曲线的一条渐进线垂直，直线与两条渐进线分别交于，两点，若，则双曲线的渐进线方程为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵，∴为的中点，又∵，∴，
又∵，∴，∴双曲线的渐进线的斜率为=，
即双曲线的渐进线方程为.
故选：B
12．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，若,则与的面积之比为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】画出抛物线的图象如图所示．
由抛物线方程，得焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x=−1．过点作准线的垂线，垂足分别为．
由消去y整理得，
设，则．
由条件知，
∴．
∴，
∴．
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴．选D．
点睛：本题将抛物线的定义和平面几何知识综合在一起，考查学生分析问题解决问题的能力．解题中先根据平面几何知识将三角形的面积比转化为三角形边的长度比，并根据抛物线的定义将问题转化为相似三角形对应边的比．同时解题中还要注意直线和抛物线位置关系的运用，通过代数方法得到点A,B的坐标之间的关系也是解题的关键点．
二、填空题
13．在一个袋子中装有分别标注1,2，3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为6的概率等于__________
【答案】
【解析】试题分析：从5个球任取2个球共有种取法，而数字和为6的只有
两种取法，所以所概率为.
【考点】古典概型.
14．计算：__________．
【答案】
【解析】先将数列的通项进行裂项，然后利用裂项相消即可求和.
【详解】
令,
则
，
故答案为：
【点睛】
本题考查利用裂项相消法求数列的和，属于基础题.
15．若在中，，则是_____三角形．
【答案】等腰直角
【解析】根据正弦定理可求得，由此求得，进而得出三角形为等腰直角三角形.
【详解】
由正弦定理得，故，故.同理，由正弦定理得
，故，故.故.所以三角形为等腰直角三角形.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查正弦值和余弦值相等时，角的大小.属于基础题.
16．已知函数，①，且关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是__________．②若关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是__________
【答案】
【解析】①若，此时，作出函数的图象如图搜索所示：若关于的付出有两个不同的实根，则，则实数k的取值范围是；
②若关于的方程有且只有一个实根，设，则当时，由，得则，
当时，
若此时有无数个解，不满足条件．
则，此时此时方程无解．
当时，由有一个解，
则若方程有且只有一个实根，
则等价为当时，
则当时，满足
则，
综上实数的取值范围是，
故答案为
点睛：本题主要考查分段函数的应用，利用换元法转化为标准函数，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．、
三、解答题
17．设命题实数满足不等式，命题的解集为.已知“” 为真命题，并记为条件，且条件：实数满足,若是的必要不充分条件，求正整数的值.
【答案】m=1.
【解析】求出“p∧q”为真命题，实数a的取值范围，结合r是t的必要不充分条件，可得满足条件的正整数m的值．
【详解】
由3a≤9，得a≤2，即p：a≤2．
∵x2+3（3﹣a）x+9≥0的解集为R，得△＝9（3﹣a）2﹣4×9≤0，解得1≤a≤5，
即q：1≤a≤5．
∵“p∧q”为真命题，∴⇒1≤a≤2,即条件r：1≤a≤2，
∵条件t：
∵若是的必要不充分条件，则是的真子集，
∴，解得1≤m≤
∵m∈N，
∴m＝1
【点睛】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，指数不等式的解法，二次不等式的解法，复合命题等，属于基础题．
18．在锐角中，分别为角所对的边，且．
（1）确定的大小；（2）若，且的周长为，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意结合正弦定理可得．结合△ABC为锐角三角形可得．（2）由题意结合周长公式和余弦定理求得ab的值，然后求解三角形的面积即可.
【详解】
（1）因为，由正弦定理得，
因为,所以．
所以或．
因为是锐角三角形，所以．
（2）因为,且的周长为，所以①
由余弦定理得，即②
由②变形得，所以，
由面积公式得．
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
19．4月18日摩拜单车进驻宜昌市西陵区，绿色出行引领时尚，西陵区对市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查统计，若将单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，抽取一个容量为200的样本，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”。

使用次数为5次或
不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知“经常使用单车用户”有120人，其中是“年
轻人”，已知“不常使用单车用户”中有是“年轻人”. (1)请你根据已知的数据，填写下列
列联表：
年轻人非年轻人合计
经常使用单车用户
不常使用单车用户
合计
(2)请根据(1)中的列联表，计算值并判断能否有的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？(附：当时，有的把握说事件与
有关；当时，有的把握说事件与有关；当时，认为事件与是无关的)
【答案】（1）见解析；（2）没有的把握认为经常使用共享单车与年龄有关.
【解析】试题分析：（1）根据对200进行调查统计可得：经常使用单车的120名用户中包括年轻人100人，非年轻人20人；而不经常使用单车的80名用户中包括年轻人60人，非年轻人20人，得到列联表；（2）根据观测值的计算公式代入数据做出观测值，把所得的观测值同临界值进行比较，得到没有的把握认为经常使用共享单车与年龄有关.
试题解析：(1)补全的列联表如下：
年轻人非年轻人合计
经常使用单车用户10020120
不常使用单车用户602080
合计16040200
(2)于是.
∴，
没有
的把握认为经常使用共享单车与年龄有关.
20．设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4， 1n a +=2n S +1， *N n ∈. （Ⅰ）求通项公式n a ；
（Ⅱ）求数列{|2n a n --|}的前n 项和.
【答案】（1）1*
3,n n a n N -=∈；（2）2*
2,1,
{ 3511
,2,.
2
n n n T n n n n N ==--+≥∈.
【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.
试题解析：（Ⅰ）由题意得12214{ 21
a a a a +==+，则121{
3.a a ==， 又当2n ≥时，由()()1121212n n n n n a a S S a +--=+-+=， 得13n n a a +=.
所以，数列{}n a 的通项公式为1*
3,n n a n N -=∈.
（Ⅱ）设132n n b n -=--， *n N ∈， 122,1b b ==.
当3n ≥时，由于132n n ->+，故1
32,3n n b n n -=--≥.
设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.
当3n ≥时， (
)()()2
2913723
511
313
2
2
n n
n n n n n T --+---+=+
-=-，
所以， 2*
2,1,
{ 3511
,2,.
2
n n n T n n n n N ==--+≥∈
【考点】等差、等比数列的基础知识.
【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列{}n n a b 的求和，其中{}
n a 是等差数列， {}n b 是等比数列；（2）裂项法：形如数列()()1f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
或
()()f n g n ⎧⎫⎨
⎬±⎪⎪⎩⎭
的求和，其中()f n ， ()g n 是关于n 的一次函数；
（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分． 21．如图，在四棱锥
中，
底面
，
和
交于点,
，
，
，为棱
上一点.
（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若
面
，
，
，求三棱锥
体积.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）通过线面关系得到
⊥面
，进而得到线线垂直；（Ⅱ）
，通过相似以及平行线分线段成比例得到
进而得到结果.
【详解】 （Ⅰ）
PD⊥底面ABCD ， ABCD ，
⊥
．
又 AD⊥CD ,则 ⊥面
． 又
PAD CD⊥AE．
（Ⅱ）由和交于点O ，AB∥DC 所以和相似，相似比为1:2.则
．
因为若
面
当为的三等分点时，有，即．
．
【点睛】
这个题目考查线线垂直的证明;证明线线垂直也可以从线面垂直入手,还考查了棱锥体积的求法，这个过程中会涉及到点面距离的求法，可以通过等体积法求点面距离，也可以通过线面垂直得到点面距离.
22．在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线椭圆于另一点，点在直线上，且．若，求直线的斜率．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由椭圆经过点A（2，0）和（1，3e），列出方程组，求出a＝2，b，c ＝1，由此能求出椭圆的方程；
（2）设直线l的方程是y＝k（x﹣2），联立方程组，求出点B坐标，点M的坐标为（1，﹣k），由MF1⊥BF2，即可求出直线l的斜率．
【详解】
（1）因为椭圆经过点和点，
所以
解得，所以椭圆的方程为．
（2）由（1）可得，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x-2)
由方程组消去y，
整理得，
解得x=2或，所以B点坐标为．
由OM=OA知，点M在OA的中垂线x=1上，
又M在直线l上，所以M点坐标为(1,-k)．
所以，．
若，则．
解得，所以，即直线l的斜率．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的简单性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．。