北京市丰台区高一数学下学期期末考试试题(含解析)-人教版高一全册数学试题

丰台区2016—2017学年度第二学期期末练习
高一数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
1. 如果，那么下列不等式中一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由不等式的性质，如果，则.
本题选择A选项.
2. 等比数列中，，，则
A. B. 4 C. D. 8
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知，成等比数列，则： .
本题选择B选项.
3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的等于
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】B
【解析】流程图等价于分段函数：，
则： .
本题选择B选项.
点睛：在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．
4. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是
A. 96
B. 128
C. 140
D. 152
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，底面积为等腰三角形，其中底为6，底边上的高为4，三棱柱的高为8，该几何体的体积为： .
本题选择A选项.
5. 在△中，角，，的对边分别为，，，且，，则△一定是...
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=ac，
化为(a−c)2=0，解得a=c.
又B=60°，
可得△ABC是等边三角形，
本题选择C选项.
6. 二次函数的部分对应值如下表：
则一元二次不等式的解集是
A. B.
C. D. ...
【答案】C
【解析】由题意可知：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为−2,3(a<0)，
则ax2+bx+c>0解为−2<x<3，
故不等式的解集为{x|−2<x<3}，
本题选择C选项.
点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．
7. 在数列中，，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，数列是首项为，公差的等差数列，则通项公式：，且：，
据此可得：
本题选择A选项.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．8. 已知各项均为正数的等比数列中，如果，那么这个数列前3项的和的取值X 围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则：
，
当且仅当时等号成立，即这个数列前3项的和的取值X围是.
9. 已知n次多项式，在求值的时候，不同的算法需要进行的运算次数是不同的．例如计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法运算，按这种算法进行计算的值共需要9次运算（6次乘法运算，3次加法运算）．现按右图所示的框图进行运算，计算的值共需要次运算．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】阅读流程图可得，该流程图表示的是秦九韶算法，由秦九韶算法的特征结合所给多项式的特点可得计算的值共需要2n次运算，其中加法、乘法运算各n次.
本题选择B选项.
10. 如图，在正方体中，点在正方体表面运动，如果，那么这样的点共有...
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 无数个
【答案】C
【解析】设点A到直线的距离为，则满足题意的点位于以为轴，以位半径的圆柱上，即满足题意的点为圆柱与正方体的交点，由几何关系可得，交点的个数为个.
本题选择C选项.
第二部分（非选择题共60分）
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 从某企业生产的某种产品中抽取100件样本，测量这些样本的一项质量指标值，由
测量结果得如下频数分布表：
质量指
标
值分组[75，85) [85，95)
[95，
105)
[105，
115)
[115，
125]
频数 6 26 38 22 8
则样本的该项质量指标值落在[105，125]上的频率为_____．
【答案】0.3
【解析】由频率计算公式可得，样本的该项质量指标值落在[105，125]上的频率为 .
12. 函数的最大值是_____．
【答案】1...
【解析】题中所给的二次函数开口向下，对称轴为，则函数的最大值为： .
13. 如图，样本数为的三组数据，它们的平均数都是，频率条形图如下，则标准差
最大的一组是_____．
【答案】第三组
【解析】由题意，标准差越大，数据的波动越大，观察题中所给数据，第一组和第二组均没有波动，则标准差最大的一组是第三组.
点睛：D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．
14. 已知两条不重合的直线和两个不重合的平面,，给出下列命题：
①如果，，那么；②如果，，那么；
③如果，，那么；④如果，，那么．
上述结论中，正确结论
．．．．的序号是_____（写出所有正确结论的序号）．
【答案】②③
【解析】由线面关系逐一考查所给的各个命题：
①如果，，那么不一定有，该命题错误；
②如果，，那么，该命题正确；
③如果，，那么，该命题正确；
④如果，，那么不一定有，该命题错误．
综上，正确的结论为②③ .
15. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离．观察者找到了一个点，从可以观察
到点；找到了一个点，从可以观察到点；找到了一个点，从可以观察到点．并测量得到图中一些数据，其中，，，
，，，则_____．
【答案】
【解析】由特殊三角形的特征可得：，在△ABC中应用余弦定理：
.
16. 数列满足，，其前项和为，则
（1）_______；
（2）_______．
【答案】 (1). 4 (2).
【解析】由递推关系可得：，
两式做比值可得：，
则：，
由可得：，...
则奇数项、偶数项分别为首项为1，公比为2的等比数列，
则：
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，
或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 在△中，角，，的对边分别为，，，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如果，求的值及△的面积．
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.
【解析】试题分析：
(1)由正弦定理结合题意可得;
(2)由余弦定理结合三角形的面积公式可得.
试题解析：
（Ⅰ）因为以及，
所以，因为
所以
（Ⅱ）因为以及
所以，因为，
所以
因为，，
所以
所以.
18. 某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生座谈，求每组抽取的学生人数；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值在第几组（只需写出结论）．
【答案】（1）;（2）从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生;(3) 第3组.
【解析】试题分析：
(1)由小长方形面积和为1列方程可得；
(2)由分层抽样比可得从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生；...
(3)由频率分布直方图计算平均值的特点结合中点值的特征可得随机抽取学生所得测试分数的平均值在第三组.
试题解析：
（1）因为各组的频率之和为1，，
解得
（2）由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为．
所以，每组抽取的人数分别为：
第组：；第组：；第组：．
所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生．
（3）第3组
点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；
二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点是棱的中点，，平面平面．
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
(Ⅲ) 设,试判断平面⊥平面能否成立；若成立，写出的一个值（只需写出结论）．
【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析(Ⅲ) 不能成立.
【解析】试题分析：
(1)由题意可得EO// PC，利用线面平行的判定定理可得PC//平面BDE；
(2)利用题意证得PC⊥AC,PC⊥BD，结合线面垂直的判定定理即可证得结论；
(3)由空间关系可知面面垂直的关系不能成立.
试题解析：
证明：（Ⅰ）证明：设，连接，
因为底面为正方形，
所以是的中点，又点是棱的中点，
所以EO是的中位线，
所以EO// PC
因为EO平面，平面，
所以PC//平面BDE；
（Ⅱ）证明：(法一）在和中，
因为，，，
所以≌，又点是棱的中点，
所以，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面，
所以EO⊥AC,EO⊥BD,
因为EO//PC
所以PC⊥AC,PC⊥BD,又AC∩BD=O
所以PC⊥平面ABCD．
（法二）连接PO
因为底面ABCD是正方形，
所以O是BD的中点，BD⊥AC,又PB=PD,
所以PO⊥BD,又PO∩AC=O,PO平面PAC,AC平面PAC
所以BD⊥平面PAC
又OE平面PAC, 所以BD⊥OE，
因为平面平面，平面平面，
平面
所以平面，
所以EO⊥AC,EO⊥BD,
因为OE∥PC,
所以PC⊥AC,PC⊥BD,又AC∩BD=O
所以所以PC⊥平面ABCD．
(Ⅲ) 不能成立
20. 设数列满足，；数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）把数列和的公共项
．．．从小到大排成新数列,试写出，，并证明为等比数列．...
【答案】（Ⅰ），; （Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：
(1)累加求和可得，结合的通项公式可得
(2)由(1)的结论可知，，结合题意和(1)中的结果即可证得数列为等比数列. 试题解析：
（Ⅰ）由已知，当时，
．
又因为，所以数列的通项公式为．
因为，所以，
两式做差可得，且也满足此式，
所以.
（Ⅱ）由，，可得，.
假设,
则.
所以,不是数列中的项；
，是数列中的第项. 所以，
从而.
所以是首项为,公比为的等比数列.。