高三数学一轮复习基础导航 4.3定积分及微积分基本原理 试题

卜人入州八九几市潮王学校【考纲要求】
1、理解定积分的实际背景，理解定积分的根本思想，理解定积分的概念.
2、理解微积分根本定理的含义. 【根底知识】
1、曲边梯形的定义 我们把由直线,(),0x a x
b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形。

2、曲边梯形的面积的求法
分割→近似代替〔以直代曲〕→求和→取极限 3、定积分的概念 一般地，设函数
()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x 〔b a
x
n
〕，在每个小区间
1,i i
x x 上
任取一点1,2,,i
i n
，作和式：
假设
x 无限接近于0〔亦即n →+∞〕时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为
函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()b
a
S f x dx =
⎰
，
其中
⎰
是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区
间，(
)f x dx 是被积式。

说明：〔1〕定积分
()b
a
f x dx ⎰
是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无
限趋近的常数S 〔n →+∞时〕记为
()b
a
f x dx ⎰
，而不是n S ．
〔2〕用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间
,a b
；②近似代替：取点[]1,i
i i x x ξ-∈；
③求和：1()n
i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1
()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰
4．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1()()()b
b
a a
kf x dx k f x dx k =⎰
⎰为常数〔定积分的线性性质〕；
性质2
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰〔定积分的线性性质〕；
性质3()()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰
⎰⎰其中〔定积分对积分区间的可加
性〕
5．定积分的几何意义
〔1〕从几何上看，假设在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有
()0f x ≥，
那么定积分()b
a
f x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x 所围成的曲边梯形(如图中的阴影局部)的面
积。

〔2〕从几何上看，假设在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤，
那么定积分()b
a
f x dx ⎰表
示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x 所围成的曲边梯形(如图中的阴影局部)的面积
的相反数。

〔3〕从几何上看，假设在区间
,a b 上函数()f x 连续，且函数
()y f x =的图像有一局部在x 轴
上方，有一局部在x 轴下方，那么定积分()b
a
f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯
形的面积。

〔4〕图中阴影局部的面积S=12[()()]b
a
f x f x dx -⎰
6、微积分根本定理
一般地，假设
()
f x 是区间
[,]
a b 上的连续函数，并且
1()()
F x f x =，那么
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
，这个结论叫做微积分根本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。

为了方便，我
们常把()()F b F a -记成()b
a
F x ，即
()()
()()b
b a
a
f x dx F x F b F a ==-⎰。

计算定积分的关键是找到满足1
()()F x f x =的函数()F x 。

7、公式 〔1〕1
()
cx c =〔2〕1
(sin )
cos x x =〔3〕1(cos )sin x x -=
(4)11(
)(1)1n n m x mx n n +=≠-+(5)(ln )a
a x x
'=；(6)x x e e =')( 8、定积分的简单应用
〔1〕在几何中的运用：计算图形的面积
方法：画图→定域→分割面积→用定积分表示面积→计算 〔2〕在物理中的应用: 9、求定积分的方法
(1)数形结合利用面积求〔2〕利用微积分根本原理求 【例题精讲】
例1设f (x )＝求f (x )d x . 解：f (x )d x ＝f (x )d x ＋f (x )d x ＝(x －1)d x ＋(x 2
＋6)d x
＝(x 2
－x )|＋(x 3
＋6x )|
＝－(＋1)＋＋6＝.
例2设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2. (1)求y ＝f (x )的表达式；
(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，
那么f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2， 所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2
－2x ＋c .
又方程f (x )＝0有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2
－2x ＋1.
(2)依题意，所求面积为
S ＝(x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )|＝.
【根底精练】
1.f (x )为偶函数且
6
⎰
f (x )d x ＝8，那么
66
-⎰
f (x )d x 等于〔〕
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16 2.设f (x )＝那么
2
⎰
f (x )d 等于()
A.B.C.D ．不存在
3．如图，函数y ＝－x 2
＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影局部)，那么该闭合图形的面积是()
A ．1B.C.D ．2
4.一质点运动时速度与时间是的关系为v (t )＝t 2
－t ＋2，质点作直线运动，那么此物体在时间是内的位移为() A.B.C.D.
5．假设1N 的力能使弹簧伸长1 cm ，如今要使弹簧伸长10 cm ，那么需要花费的功为() A ．0.05JB ．0.5JC ．0.25JD ．1J 6.假设y ＝
x
⎰
(sin t ＋cos t sin t )d t ，那么y 的最大值是()
A ．1
B ．2
C ．－
D ．0
7．函数y ＝x 2
与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影局部(如下列图)的面积为，那么k ＝________.
8．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2
向点A (2,4)挪动，
记直线OP 、曲线y ＝x 2
及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2，假设S 1＝S 2，那么点P 的坐标为________．
9．一辆汽车的速度—时间是曲线如下列图，那么该汽车在这一分钟内行驶的路程为______ 米．
10.假设f (x )是一次函数，且1
⎰
f (x )d x ＝5，
1
⎰
xf (x )d x ＝，那么
2
1
⎰
d x 的值
是________． 11．计算以下定积分： (1)
2
1⎰(2x 2
－)d x ；
(2)
32
⎰
(＋)2
d x ；
(3)
3
π
⎰
(sin x －sin2x )d x ；
12．如图，y ＝x 2
向点A (2,4)挪动，记直线OP 、曲线y ＝x 2
及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2，假设S 1＝S 2，求点P 的坐标．
13．f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．
【拓展进步】
1．设f (x )＝
1
⎰
|x 2
－a 2
|d x .
(1)当0≤a ≤1与a ＞1时，分别求f (a )；(2)当a ≥0时，求f (a )的最小值．
【根底精练参考答案】
解析：原式＝
06
-⎰
f (x )d x ＋
6
⎰
f (x )d x ，
∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 2.C 【解析】数形结合
2
⎰
f (x )dx =
1
⎰
x 2
dx +
2
1
⎰
(2-x )dx
=321211(2)3021
x x x +- =
3115(422)326
x +--+=. 解析：函数y ＝－x 2
＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于
2
⎰
(－x
2
＋2x ＋1－1)d x ＝
2
⎰
(－x 2
＋2x )d x ＝.
4.D 【解析】s ＝
2
1
⎰
(t 2
－t ＋2)d t ＝(t 3
－t 2
＋2t )|＝.
5.B 【解析】设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1N 时，x ＝0.01 m ，可解得k ＝100N/m ，那么F ＝100x ，
所以W ＝
0.1
⎰
100x d x ＝50x
2
0.1
0＝0.5J.
6.B 【解析】y ＝
x
⎰
(sin t ＋cos t sin t )d t ＝
x
⎰
(sin t ＋sin2t )d t
＝(－cos t －cos2t )
x
＝－cos x －cos2x ＋ ＝－cos x －(2cos 2
x －1)＋＝－cos 2
x －cos x ＋
＝－(cos x ＋1)2
＋2≤2.
【解析】直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为，
再由
k
⎰
(kx －x 2
)d x ＝(－)
k
＝＝求得k ＝2. 8.(，)【解析】设直线OP 的方程为y ＝kx,P 点的坐标为(x ，y )，
那么
x
⎰
(kx －x 2
)d x ＝
2x
⎰
(x 2
－kx )d x ，
即(kx 2－x 3
)
0x ＝(x 3
－kx 2
)2x
， 解得kx 2
－x 3
＝－2k －(x 3
－kx 2
)，
解得k ＝，即直线OP 的方程为y ＝x ，所以点P 的坐标为(，)． 【解析】据题意，v 与t 的函数关系式如下：
v ＝v (t )＝
所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为
s ＝
60
()d v t t ⎰
＝20
3
d 2
t t ⎰
＋4020(50)d t t -⎰＋604010d t ⎰
＝t
2
200＋(50t －t 2
)4020＋10t 40
20
＝900米． 10.4＋3ln2
【解析】∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由
1
⎰
(ax ＋b )d x ＝5
得(ax 2
＋bx )1
＝a
＋b ＝5，① 由
1
⎰
xf (x )d x ＝得
1
⎰
(ax 2
＋bx )d x ＝，即
(ax 3
＋bx 2
)1
＝，∴a ＋b ＝，②
解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， 于是
2
1
⎰
d x ＝
2
1
⎰
d x ＝
2
1
⎰
(4＋)d x
＝(4x ＋3ln x )2
1
＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.
11.【解析】(1)
2
1
⎰
(2x 2－)d x ＝(x 3
－ln x )
21
＝－ln2－＝－ln2. (2)
32
⎰
(＋)2
d x ＝
32
⎰
(x ＋＋2)d x
＝(x 2
＋ln x ＋2x )
32
＝(＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4) ＝ln ＋.
(3)
30
π
⎰
(sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋cos2x )
30
π
＝(－－)－(－1＋)＝－.
12.【解析】设直线OP 的方程为y ＝kx ，P 点的坐标为(x ，y )， 那么(kx －x 2
)d x ＝(x 2
－kx )d x ，
即(kx 2
－x 3
)|＝(x 3
－kx 2
)|，
解得kx 2
－x 3
＝－2k －(x 3
－kx 2
)，
解得k ＝，即直线OP 的方程为y ＝x ， 所以点P 的坐标为(，)．
13.【解析】(1)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，
那么f ′(x )＝2ax ＋b .
由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得，即. ∴f (x )＝ax 2
＋(2－a )．
又f (x )d x ＝[ax 2
＋(2－a )]d x
＝[ax 3
＋(2－a )x ]|＝2－a ＝－2.
∴a ＝6，∴cf (x )＝6x 2
－4.
(2)∵f (x )＝6x 2
－4，x ∈[－1,1]，
所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2. 【拓展进步参考答案】
∴f (a )＝32
241(0),
33
1(>311).
a a a a a ⎧-+⎪⎪⎨
⎪-⎪⎩
≤≤
(2)当a ＞1时，由于a 2
－在时，f ′(a )＝4a 2
－2a ＝2a (2a －1)， 由f ′(a )＞0知：a ＞或者a ＜0， 故在上递减，在[，1]上递增． 因此在上，f (a )的最小值为f ()＝. 综上可知，f (x )在[0，＋∞)上的最小值为.。