基于IN-SAR地面沉降缺失数据拟合

摘要
我国的地面沉降现象一直比较严重。

地面沉降破坏建筑物和生产设施、损坏地下线路设施等，给人们的生产、生活带来严重的影响。

基于地面沉降对环境及经济建设破坏的严重性，当前许多地区及城市已将地面沉降监测作为防灾减害的一项重要工作。

近年来大量的研究和实践表明， InSAR（合成孔径雷达干涉测量）技术可以高精度监测地表的微小地表形变，具有全天候、全天时、覆盖面广、高度自动化和高精度监测地表变形的优势，能够有效弥补水准测量和GPS测量空间分辨率不足的问题，是目前沉降灾害监测的一种重要技术手段。

然而，InSAR监测手段也有自己的不足，InSAR技术虽然具有很高的空间分辨率，但是雷达卫星因其固有的运行周期，无法满足监测的要求。

另外，时间失相干或山区SAR影像的顶底倒置等易导致干涉图出现数据缺失，从而难以达到区域监测的目的。

本文针对数据缺失现象，研究基于多项式拟合和多面函数拟合的缺失数据拟合方法，重点探讨多面函数拟合中心节点以及核函数的选择问题，最后以西安市地面沉降监测数据为例，对比分析不同拟合模型的拟合效果，以此来探讨拟合模型的优选问题。

关键词：地面沉降，InSAR，D-InSAR，多项式拟合，多面函数拟合
ABSTRACT
Serious land subsidence phenomenon happen in china for a long time. Subsidence damage to buildings and production facilities, damage to underground line facilities to the people's production and life seriously affected. Based on land subsidence damage to the environment and the gravity of economic development, the current number of regions and cities have land subsidence monitoring harm reduction as an important prevention work. In recent years, extensive research and practice shows that, InSAR (Interferometric Synthetic Aperture Radar) technology to high-precision monitoring of the surface of the small surface deformation, all-weather, all-time, wide coverage, high degree of automation and high precision ground deformation monitoring of the advantages of effective to make up for leveling and GPS measurements the problem of inadequate spatial resolution, is the subsidence is an important side lesson plan techniques.
However, InSAR monitoring tools also have their own deficiencies, InSAR technology, while high spatial resolution, but the operation of the radar satellite because of its inherent cycle can not meet monitoring requirements. In addition, the time lost coherence or mountain top and bottom inverted SAR image of the interferogram so easily lead to data loss occurs, and thus difficult to achieve regional monitoring purposes.
In this paper, the phenomenon of missing data, research is based on polynomial fitting and multi-faceted function fitting of the missing data fitting method, focusing on the multi-faceted function fitting the selection of nodes, and finally to ground subsidence monitoring data of Xi'an, comparative analysis fitting results of different fitting models in order to fit the model of optimization problem.
KEY WORDS Land subsidence，InSAR，Polynomial fitting，Multisurface function fitting，isoline
目录
第一章绪论 (1)
1.1 地面沉降性质及监测意义 (1)
1.2 地面沉降监测常用方法 (1)
1.3 D-InSAR简介及国内外发展情况 (2)
1.4 缺失数据拟合研究意义 (3)
1.5 本论文研究内容 (3)
第二章 InSAR及D-InSAR基本原理及数据处理流程 (4)
2.1 引言 (4)
2.2 InSAR基本原理 (5)
2.3 D-InSAR监测地表形变基本原理 (7)
2.4 干涉测量的数据处理流程 (8)
第三章缺失数据拟合 (11)
3.1 引言 (11)
3.2 多项式曲面拟合模型 (11)
3.2.1曲面拟合基本原理 (11)
3.2.2曲面函数的选取 (12)
3.3 多面函数拟合模型 (12)
3.3.1多面函数的基本原理 (12)
3.3.2多面函数相关参数的确定 (14)
3.3.3 InSAR沉降数据拟合内插精度评定 (16)
第四章地面沉降监测中InSAR沉降数据内插模型实例分析 (16)
4.1 西安市地面沉降概况 (16)
4.2 缺失数据拟合实例分析 (17)
4.2.1多项式曲面拟合模型实例分析 (17)
4.2.2多面函数拟合模型实例分析 (21)
4.3地面沉降量等值线图的提取 (24)
4.3.1等值线简介 (24)
4.3.2提取地面沉降等值线图 (24)
总结 (25)
致谢 (26)
参考文献 (27)
附录 1 多项式内插MATLAB代码 (28)
附录 2 多面函数内插MATLAB代码 (30)
附录 3 地面沉降等值线图MATLAB代码 (33)
第一章绪论
1.1 地面沉降性质及监测意义
地面沉降是在自然和人为因素作用下,由于地壳表层土体压缩而导致区域性地面标高降低的一种环境地质现象,是一种不可补偿的永久性环境和资源损失,是地质环境系统破坏所导致的恶果[1]。

地面沉降大多是在过度抽取地下水、开采地下资源等自然或人为因素作用下而产生的一种地面变形，属于一种缓变形地质灾害。

多年来，由于地面沉降导致建筑物变形甚至坍塌、管网断裂、道路毁坏、自然环境破坏等地质灾害现象时有发生，给人们的生产和生活带来严重的影响，是目前阻碍矿区和城市可持续发展的重要因素之一。

实时地进行地面沉降监测则能为地面沉降理论研究和灾害评价提供基础资料和数据；能对地面沉降严重区域进行重点监测，预测预报地面沉降的发展趋势；为政府部门预防控制地面沉降，合理开发和利用地下资源提供规划和决策依据；能为后续的科学研究提供数据和技术支持。

综合所述，对地面沉降的监测不仅必要，而且十分重要，尤其是在我国许多地面沉降严重，环境破坏严重、经济损失严重的地区，进行监测并综合防治已经迫在眉睫。

1.2 地面沉降监测常用方法
目前，地面沉降监测的手段多种多样。

传统的地面沉降测量监测手段有区域面积水准测量和分层标等。

水准测量是通过布设水准路线，定期高精度地测定若干水准点，以此获取该区域沉降变化规律的一种常用作业手段分层标是通过对各含水层地下水位变化、土层变形动态规律的分析，确定影响地面沉降的主要因素及其权重，提出具体的地面沉降防治方案。

传统监测手段监测精度较高，但是可监测区域范围有限，空间分辨率低，而且作业强度高,耗费人力、财力较高，只能做小范围的监测。

近年来，随着高新技术的不断涌现，可用于地面沉降监测的手段越来越多。

其中GPS可用于连续和动态地监测本地区的地面沉降情况，大部分GPS网的时间分辨率为30秒，基本满足实时动态监测的要求，但是，GPS监测网构建花费巨大，空间分辨率却只有几十公里，另外由于受各种自然条件限制，GPS的布网和联测仍然费时费力、自动化程度较低，且难以掌握区域面的沉陷信息。

相比而言，近年来大量的研究和实践表明，D-InSAR（合成孔径雷达差分干涉测量）技术可以高精度监测地表的微小地形变化，具有全天候、全天时、覆盖面广、高度自动化和高精度监测地表变形的优势，是水准测量和GPS测量的有效补充，在目前地表形变监测中具有不可比拟的优势。

然而，InSAR监测手段也有自己的不足，InSAR技术虽然具有很高的空间分辨率，但是雷达卫星因其固有的运行周期，所以时间分辨率还满足不了要求。

另外大气参数的变化，
卫星轨道误差等问题单纯依靠InSAR数据本身难以解决，必须加入其它的辅助数据和必要的技术手段来加以改善。

1.3 D-InSAR简介及国内外发展情况
InSAR，（Interferometric Synthetic Aperture Radar），即合成孔径雷达干涉测量技术，简称：干涉雷达测量，是以同一地区的两张SAR图像为基本处理数据，通过求取两幅SAR图像的相位差，获取干涉图像，然后经相位解缠，从干涉条纹中获取地形高程数据的空间对地观测新技术。

D-InSAR, Differential InSAR,即重复轨道差分干涉测量技术，是InSAR应用的一个拓展，雷达干涉图的差分可用于监测雷达视线方向厘米级或更微小的地球表面形变，以揭示许多地球物理现象，如地震形变、火山运动、冰川漂移、地面沉降以及山体滑坡等。

D-InSAR有很大的优势和广阔的应用潜力。

高精度水准和GPS技术只能监测有限的离散控制点，而D-lnSAR一幅图像就可以进行l万平方公里面积内的地表形变监测，其空间分辨率可达5m*20m，这也是其它大地测量方法所不能比拟的。

作为一种新兴的地面形变研究方法，D-InSAR技术在地面沉降监测方面发挥了愈来愈明显的作用，国内外已有许多实例。

德国GFZ的夏耶等人(1996)利用角反射器和D-InSAR技术监测德国图林根州的铀矿开采导致的地面沉降，结果显示固定的角反射器可以监mm级的垂直形变[2]。

Galloway(1998)和Join Hoffmann(2003)研究加利福尼亚地区Antelope Valley山谷由于抽取地下热水资源发电而导致的地面沉降，并且研究了其含水层的周期性变化与地面沉降的关系，由于该地区是地热资源丰富的地区，植被稀少，图像相关性好，研究表明差分干涉测量能以毫米级的精度监测该地区每年周期性的沉降[3]。

当前，国内对D-InSAR这一新技术已展开应用研究和理论研究，中科院遥感所的王超、张红(2002)等人，他们利用D-InSAR干涉图反演了张北同震形变场，探测了苏州地区的地面沉降，取得了令人鼓舞的结果，并且在D-InSAR理论和差分干涉处理系统开发上进行了研究，取得了一定的成果[4][5][6][7]。

2000年天津市控制地面沉降工作办公室和荷兰Delft大学合作，利用ERS-1/2卫星数据生成的干涉图与天津已有的部分水准资料进行对比，两种监测结果的一致性很好，表明D-InSAR可以用于天津地区的地面沉降监测[4]。

总之，D-InSAR技术作为新兴的用于地面沉降监测的手段已突显其优势。

相信在未来一段时间D-InSAR的应用会越来越广，用于监测的精度也会随着GIS产业和IT产业的发展得到逐步的提高。

1.4 缺失数据拟合研究意义
在本文1.2中曾经提到InSAR技术虽然具有很高的空间分辨率，但是时间分辨率还满足不了要求。

另外大气参数的变化，卫星轨道误差等问题常常会造成数据的缺失或错误，单纯依靠InSAR数据本身难以解决，必须加入其它的辅助数据和必要的技术手段来加以改善。

数据的缺失情况主要发生在检测时失相干的情况下。

一般情况下，要得到干涉条纹，卫星两次飞行期间要有近似的轨道，并且不能超出临界基线并保持在在一定的多普勒质心差范围之内。

但是在卫星重复轨道飞行时，两次成像时的轨道并不完全相同，存在一定的视角差异，会造成地面物体的散射特性发生随机变化，导致失相干，并且垂直基线越长，失相关越严重，这就是空间失相干。

产生空间失相干就会导致一些数据的不匹配或缺失。

而时间失相干则是卫星两次飞行期间，由于地表扰动(如农业活动)、植被生长、风的影响或地物湿度的变化引起地面物体散射特性的变化，导致失相干。

一般情况下，时间基线越长，时间失相干越严重。

另外，包含在雷达信号中的大气延迟也会导致额外的可以改变视线向距离的相位，大气延迟在各个影像的差异主要表现为其空气中水蒸气的含量不同。

通常情况下，大气相位延迟在短时间段上相关的，但是当时间基线超过一个月时，便会产生时间失相干。

同样时间上的失相干也会引起数据的缺失。

InSAR在进行地面沉降监测时可能会产生时间失相干和空间失相干，这样可能会导致干涉数据的错误或缺失，而数据的错误或缺失则会影响对地面形变的监测，甚至可能得出错误的结论或者因缺少数据无法进行监测。

因此应用空间数据插值方法对因为空间失相干和时间失相干以及大气参数变化等导致缺失的数据进行拟合内插非常重要，直接关系到地面沉降监测结果的可用性和可靠性。

1.5 本论文研究内容
本文在阐述、总结、分析InSAR监测原理和数据处理方法的基础上，重点研究缺失数据的拟合问题。

论文结合西安市地面沉降InSAR监测数据，探讨多项式拟合和多面函数拟合方法。

在对多项式拟合模型的研究上简述了多项式拟合的一般函数模型，主要集中在多项式次大小对拟合结果的影响。

重点对多面函数拟合模型进行了讨论，本文着重以基于正交最小二乘多面函数进行拟合，在核函数的选择上进行综合讨论，最终得到最好的高程异常拟合模型来内插未知点的沉降量。

最后，提取出地面沉降等值线图，用于对地面沉降趋势的分析预测以及适时的进行防治。

第二章 InSAR及D-InSAR基本原理及数据处理流程
2.1 引言
干涉测量的概念和方法早已在应用物理和光学中出现，也用于距离测量，通常是利用两个光源向一个目标发射相干光，根据两束相干光照射的相位差可以高精度地计算出目标的距离，雷达干涉测量的原理与此类似。

InSAR技术主要利用SAR影像的后向散射强度进行两幅SAR图像的相关性计算和图像配准，而利用其相位信息，根据雷达波长和周期以及雷达天线位置推算出地面散射
单元的位置，即利用SAR 干涉影像的相位成分来算出地面散射单元的位置从而形成有关地球表面的地形图。

重复轨道干涉模式，一般用于星载SAR 。

利用重复轨道干涉模式监测形变，需要卫星飞行多次采集数据，所采用的技术称为差分干涉测量。

如果对某一地物两次成像时天线都处于相同的空间位置，雷达信号往返的路径之差应该是天线视线方向的变化，具体可以表现为相位差。

但是，实际上两次重复观测(或成像)在技术上不可能达到完全重复的轨道和其他参数，通过比较两幅SAR 影像的相位变化还不足以求出地表的形变，但可以由干涉图导出视差的变化，从而反推出地形信息。

为了提取干涉相位中的形变信息，必须将具有显著影响的参考面相位和地形相位从初始干涉图中予以去除。

2.2 InSAR 基本原理
如图2.1所示，设A1和A2是卫星两天线位置，天线之间的距离即基线距用B 表示，其平行和垂直于视线向分量分别为//B 和⊥B 。

基线与水平方向的夹角为α，H
表示天线飞行高度，地面一点O 到天线A1，A2的路径分别为R1，R2（R2=R1+ΔR ），θ是雷达波入射角，O 点高程为 Z 。

设S1是在位置A1被拍摄到的相位为1φ的影像， S2是在位置A2被拍摄到的相位为2φ的影像。

根据合成孔径雷达成像原理有
141R λπφ= 242R λπφ= (2.1)
λπλπφφφR R R ∆-=-=-=∆4)
(42121 (2.2)
图2.1 InSAR 成像示意图 在由天线A1，A2和地面点O 组成的三角形中，利用余弦定理，经计算整理有： )2)((arcsin 901221210αθ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯--∆+-=R B B R R R (2.3)
由于在星载系统中，R>>B ，所以有ΔR≈B //，则（2.2）式可近似的写成：
//4B λπφ-=∆ (2.4)
于是，干涉测量中的雷达波入射角计算公式应该为：
απφλθ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∆⨯=B 4a r c s i n （2.5）
θcos 1R H Z -= （2.6）
在合成孔径雷达干涉测量处理中，雷达天线飞行高度H 、基线B 和基线倾
角α都可以从雷达系统参数辅以卫星星历等信息获得，
φ∆和斜距R 可以从干涉图上求得，通过公式（2.5）可求得精确的θ值，由公式（2.6）可计算得到目标的精确高程。

其精度在理论上可达到波长的量级（cm 级）。

以上给出的解释模型是针对两部天线分别独立的发射与接收回波的系统推导而来的，对于一部天线发射、两部天线同时接收回波的系统，只要把公式中的π4代之以π2就可以了。

Z
Y
X
Z
O
H R1
R2
A2 B A1 θ
⊥B
//B α
2.3 D-InSAR 监测地表形变基本原理
图2.3是三轨法差分干涉测量成像的几何示意图。

假设S1与S3同在形变前获取， S2是在形变发生后获取。

则SAR 卫星在地表未发生形变前获取第一幅SAR 图像时，由p 点返回的信号可表示为: )4exp()()(11111R R S R s ⨯-
=λπ (2.7)
图2.2 差分干涉测量示意图
在地表发生形变后获取第二幅SAR 图像时(假设这种形变与雷达分辨单元相比很小，可认为雷达信号仍是相关的)，由p 点返回的信号为:
)()4exp()()(22222d R R R S R s ∆+⨯-=λπ （2.8）
其中，d R ∆为视线向的形变量，这两幅SAR 图像所形成的干涉纹图的相位2,1φ既包含了区域的地形信息，又包含了观测期间地表的形变信息：
d d R B R R R ∆+-⨯-≈∆+--=λπαθλπλπλπφ4)sin(44)(411212,1 （2.9）
如果要获取地表的形变信息，必须要去除干涉相位中的地形相位。

假设在发生形变前又获取第三幅图像，则接收到的p 点的信号为:
)4exp()()(33333R R S R s ⨯-=λπ （2.10）
第三幅图像与第一幅图像形成的干涉纹图干涉相位3,1φ只包含地形信息。

2α
P
S3 d R ∆
R3
R2
R1
z
S1 S2
⊥B //
B 1α S2
)sin(4)(422313,1αθλ
π
λ
π
φ-⨯-
≈--
=B R R （2.11）
由视线向形变量d R ∆所引起的相位为：
d
d R B
B ∆-
=-
=λ
π
φφφ42'//
//1 （2.12）
上式左边各量可由干涉纹图的相位和轨道参数计算得到，进而可确定图像每点的视线向形变量d R ∆。

2.4干涉测量的数据处理流程
干涉测量数据处理流程主要分为以下五个部分：1．SAR 数据的读取，2．图像配准和重采样，3．生成干涉图及相干图，4．相位解缠，5．地理编码。

这五个流程每一个流程都生成相应的图像数据和参数文件，通常情况下，只要获得了每一个环节所生成的相应图像数据和参数，那么下个流程就可以实现了。

以下简要说明这五个主要步骤所采用的处理方法： 1、SAR 数据的读取
从单视复数图SLC 数据中读取干涉测量所必需的参数以及SAR 图像的基本参数是差分干涉测量的第一步。

不同卫星，不同SLC 产品数据格式会存在略微差异，因此需采用相应的数据读取软件模块来完成此项工作。

这一步骤是把SLC 数据中的基本参数和SAR 图像数据分别写入相应文件用于后续的干涉处理。

2、图像配准和重采样
a 、图像配准
遥感影像的配准，是将取自同一目标区域的两幅或多幅影像在空间位置上最佳地套合起来，这些影像或者是由同一传感器在不同时相或不同角度获取的，或者是来自不同传感器的影像等。

重复轨道SAR 干涉测量的图像配准有其自身的特殊性，通常有两类方法：一、基于精密卫星星历和相干系数的配准。

二、基于地面控制点的配准。

方法一不需要外部信息，直接通过卫星的基本参数就可以达到精度在1/10像元的配准要求，但是这需要两幅图像有很好的相关性，卫星的轨道信息很精确等较强的约束条件。

方法二需要在图像上选取控制点，根据控制点的坐标来配准两幅雷达影像，通常这些控制点是SAR 图像上的一些容易辨认的特征点或者布设的角反射器。

b 、重采样
获取了从图像相对于主图像的配准参数之后，需要对从图像进行重采样，使从图像上的每一个像元值精确的对应于主图像上的每一个像元。

重采样的方法通常有最近邻法(nearestneighbor)、线性内插法(1inearinterpolation)、(4点，6点)立方体卷积插值法(cubic convolution)、(6，8或16点)有限长sine 函数法(truncated sinc)。

对于ERS 一1/2卫星，6点立方卷积插值可以提供较好的采样精度，但是计算较费时间，本文所做干涉处理基本都利用这一方法进行重采样。

3、生成干涉图、复相关图和干涉图相位滤波
a 、生成干涉图
由于SAR 图像在距离向和方位向上的分辨率不同，在干涉后一般需将方位向像元做多视处理，使得干涉图符合实际的纵横比例。

ERS 系列的SAR 图像通常选取5：1的多视比例，这是因为其距离向分辨率约为20m 左右，而方位向分辨率约为4m 左右，那么多视处理后的干涉图分辨率约为20mX20m 左右。

b 、去除平地效应
根据SAR 卫星精密轨道星历和SAR 图像中心点经纬度概略坐标，可以求得参考椭球体平面与垂直基线之间的几何关系参数：对应于P 点的雷达侧视倾角、α(基线的水平倾角)。

因而可以计算每一个像元所对应的相位变化，从干涉图中减去所计算的相位值就是所谓的去除平地效应。

c 、复相关图
复相关系数的计算如下所示：
{
}
{}{}
S S E M M E S
M E c
∙∙∙∙=
*
γ
(2.13)
其中：E{·}为数学期望，上标*为复共轭,c γ是复相关系数，M 为主图像的复值，S 为从图像的复值。

d 、干涉图相位滤波
当图像的相关性不是很好的时候，原始干涉图存在大量噪声，这些噪声会给相位解缠带来不便甚至造成解缠失败，通常在解缠前会对干涉图相位进行滤波。

但是过度滤波会使相位发生一定的偏移，也会使一些高频信号丢失，合理的选择滤波算法很关键。

4、大气延迟改正
电磁波在大气传播过程中，将受到大气，尤其是水蒸气散射的影响，导致电磁波传播路径发生弯曲，其实际传播路径与理沦路径相比发生视延长，这在GPS 中称为伪距。

大气的这种影响使雷达回波信号发生相位延迟，干涉测量中称之为大气效应或大气延迟。

大气效应对形变测量的影响的分析对重复轨道形变测图来说，可以从形变模型入手，推倒出形变误差和相位误差的关系。

5、相位解缠
相位解缠的方法有很多，目前没有一种算法是最优的，针对地形起伏程度的陡峭与否和干涉图相关性的强弱等因素，在不同的情况下，如何选择适当的解缠算法值得深入研究。

6、地理编码
干涉图地理编码实际上就是把干涉图雷达坐标系中以方位向像元号和距离向像元号为坐标的图元坐标系统，转化为椭球坐标系下的直角坐标系统。

由于雷达卫星本身的姿态偏转以及卫星轨道的误差，ERS 系列雷达图像如果不借助外部控制点，其图像的定位精度大约在一个像元以内(20米左右)。

有地面控制点的定位水平可达到一个像元以下，甚至更高的精度。

干涉测量的数据处理流程图如下：
图2.3干涉测量的数据处理流程图
配准重采样 基线估计
相干系数 差分干涉图
相位解缠
基于地面控制点
去除平地效应，相位滤波
SAR 数据读取
ERS-1/2 JERS
RADASAT
地理编码
大气延迟改正 外部DEM
第三章 缺失数据拟合
3.1 引言
在文章的绪论中曾提及过，SAR 在进行形变监测观测时可能会出现时间失相干、空间失相干等现象，另外大气参数的变化，卫星轨道误差等问题可能会造成沉降监测数据的错误或缺失，单纯依靠InSAR 数据本身难以解决，必须加入其它的辅助数据和必要的技术手段来加以改善。

对于缺失数据，通常可采用空间数据插值方法加以拟合填补。

其基本思想是依据已有数据点，根据空间相关性原理，构建函数模型，使此模型逼近这些已知的空间数据，由此获取区域范围内其它未知点的形变量。

根据模型的不同，可以有多种不同的拟合方法，本章以多项式曲面拟合和多面函数拟合为例，探讨InSAR 形变监测数据中缺失数据的拟合问题。

3.2多项式曲面拟合模型
3.2.1曲面拟合基本原理
在空间数据插值拟合中，若任一点地面沉降量，可用曲面函数),(i i i y x f =ξ表示，则任一点地面沉降量i ζ，可以用该曲面函数求解。

由于受观测误差及函数形式的影响，很难找到能够正确反映各点地面沉降量的曲面函数，因此在确定曲面函数时，要求
),(i i i y x f =ξ能够与地面沉降量变化实际曲面最佳逼近
[8,9]
,曲面函数模型可表示为:
εξξ+=ˆ (3.1)
ξˆ为地面沉降量，ε为地面沉降量的误差，要求解模型的系数，则上式可表示为：
εβξ+=A ˆ (3.2)
其中ξ=[ξ1 , ξ2 , ξ3 ,…ξn ]T 为观测值，A 为设计系数矩阵，通常由曲面函数的形式确定，β为待求的曲面函数系数项参数，ε为地面沉降量的误差。

误差方程可表示为：
εβ+=A V (3.3)
根据最小二乘原理，解得：
)()(1A A A A T T -=β (3.4)
将上式解得的β代入(3.2.2)式，便可获得确定的曲面函数模型，从而插求出其它未知点的地面沉降量。

3.2.2曲面函数的选取
曲面拟合中，函数形式的选择很关键，常用的函数形式主要有平面函数、相关平面函数、在X 方向或者在Y 方向上变化明显的函数形式、二次曲面函数形式及高次曲面函数形式[10]。

1、
平面函数(线性内插)
y x y x f 210),(βββ++= (3.5)
其中)2,1,0(=i i β为未知参数，此时要求公共点至少为3个。

2、
相关平面函数(双线性内插)
xy y x y x f 3210),(ββββ+++= (3.6) 其中)3,2,1,0(=i i β为未知参数，此时要求公共点至少为4个。

3、
沿X 或Y 方向变化明显的曲面函数
2
43210),(x
xy y x y x f βββββ++++= (3.7)
243210),(y xy y x y x f βββββ++++= (3.8) 其中)4,3,2,1,0(=i i β为未知参数，此时要求公共点至少为5个。

4、
二次曲面函数
2
52
43210),(y
x xy y x y x f ββββββ+++++= (3.9)
其中)5,4,3,2,1,0(=i i β为未知参数，此时要求公共点至少为6个。

3.3多面函数拟合模型
多面函数拟合法，1971年由美国哈笛(Hardy)提出。

1976年将此法应用于美国大地测量、拟合重力异常、大地水准面差距、垂线偏差等，1978年将此法用于地壳形变。

它的基本思想是任何一个规则或不规则的连续曲面均可以由若干简单面(或称单值数学面)来叠加逼近。

具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，可以尽量使大部分数据点通过这个连续曲面。

3.3.1多面函数的基本原理
根据数据逼近原理，已知曲面函数),(y x f ，称满足方程：
∑=-m in )),(),((2i i i i y x y x f ϕ (3.10)。