上海罗星中学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(答案解析)

一、选择题
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A ．21
1
x y x -=-与1y x =+
B ．y x =与log x
a y a =（0a >且1a ≠）
C
．y =
1y x =-
D ．lg y x =与21
lg 2
y x =
2．2017年5月，世界排名第一的围棋选手柯洁0：3败给了人工智能“阿法狗”.为什么人类的顶尖智慧战胜不了电脑呢？这是因为围棋本身也是一个数学游戏，而且复杂度非常高.围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361⨯=个落子点.每个落子点都有落白子､落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈.则下列各数中与M
N
最接近的是（ ）(参考数据：lg30.48≈) A ．3310
B ．5310
C ．7310
D ．9310
3．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（ ）
A ．21a b a
++
B ．21a b a
+
C ．21a b a
D ．21a b a
-
4．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点
对”，已知函数()23,0
2,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩
，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知函数3
()22
x f x =
+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
（ ） A ．
212
B ．
214
C ．7
D ．
152
6．函数
()2
13
log 23y x x =-++的单调递增区间是（ ） A ．(]1,1-
B ．(1)∞－，
C ．[) 1,3
D ．(1
)∞，＋ 7．已知实数1
2
12a ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，2log 3b =，4log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．b a c <<
D ．a c b <<
8．若函数()(
)2
0.3log 54f x x x
=+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，
0.32c =，则
A ．b a c <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．c b a <<
9．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
10．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩
，212
(log )(log )2(1)
f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围
是（ ）
A ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
C ．[]1,2
D ．(]
0,2 11．已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为 A ．e -
B ．1e
-
C ．e
D ．
1e 12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．
212a b
+= B ．
111a b
+= C ．
122a b
+= D ．
1212
a b += 二、填空题
13．已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log 3a =____________. 14．()()
2
lg 45f x x x =--+的单调递增区间为______.
15．已知函数()2log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2
,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________.
16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩
则方
程1
()2
f x =
的所有实根之和为________. 17．方程(
)(
)1
22log 44log 2
3x
x x ++=+-的解为____；
18．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____. 19．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ . 20．若()34
,0m
n
m n =≠，则4log 3=______.（用m n ，表示）
三、解答题
21．已知函数(
)
2()log 41x
f x kx =++是偶函数. （1）求k 的值；
（2）若函数()y f x =的图像与直线y x a =+没有交点，求实数a 的取值范围；
（3）设函数()()221f x x
x g x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的
最小值为0？若存在，求出m 的值；否则，说明理由.
22．已知函数()22
2
1log 2m x f x x -=-（0m >且1m ≠）
（1）求()f x 的解析式；
（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（3）若关于x 的方程()1log m f x x =+有解，求m 的取值范围. 23．已知函数()log (31)a f x x =+，()log (13)a g x x =-(0a >且1)a ≠． （1）求()()()F x f x g x =-的定义域； （2）判断函数()F x 的奇偶性；
（3）若()()0f x g x ->，求x 的取值范围．
24．已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠），满足(2)(1)6f f +=； （1）求()f x 的解析式；
（2）若方程()(2),[0,1]m f x f x x =-∈有解，求m 的取值范围；
（3）已知()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，函数()()()f x g x h x =+；若存在[1,2]x ∈使得
2()(2)0ag x h x +≤，求a 的取值范围．
25．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有
()0f x >．
（1）求证：()00=f ．
（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数． （3）若()11f =，解不等式(
)42
2x
x
f -<．
26．计算：(1)0
11
3
27(0.064)0.258-
⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
； (2)22
lg25lg8lg5lg20(lg2)3
+
+⋅+.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】
A ．21
1
x y x -=-的定义域为{}
1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；
B ．y x =与log x
a y a =的定义域均为R ，且log x
a y a =即为y x =，所以是同一个函
数；
C ．y =(]
[),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个
函数；
D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21
lg 2
y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】
思路点睛：同一函数的判断步骤：
（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；
（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.
2．D
解析：D 【分析】
设361
80310
M x N ==，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出M N . 【详解】
解：设361
80310
M x N ==，两边取对数
361
36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810
x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，
故选：D . 【点睛】 关键点睛:
本题考查了对数的运算，关键是结合方程的思想令361
80310
x =，两边取对数后进行化简整理.
3．C
解析：C 【分析】
利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】
根据对数的换底公式得，
5lg12lg3lg 4lg32lg 2
2log 12lg5lg10lg 21lg 21a b
a
+++=
===---， 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.
4．C
解析：C 【分析】
由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】
由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则
称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,0
2,0x
x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧
部分()3,0x
y x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3x
y -=，()0x >，作
函数3x
y -=，()0x >和()2
2,0y x x x =-≥的图象如下：
由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】
本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.
5．B
解析：B 【分析】
先利用解析式计算3
()(2)2
f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3
()22
x
f x =
+， 所以23
32(2)22224
x
x x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573
321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫++++++=⨯+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题解题关键是通过指数式运算计算3
()(2)2
f x f x +-=
，再配对求和即解决问题. 6．C
解析：C 【分析】
由不等式2230x x -++>，求得函数的定义域()1,3-，令()2
23g x x x =-++，得到
()g x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减，结合复数函数的单调性的判定
方法，即可求解. 【详解】
由题意，函数
2
13
()log 23y x x =-++有意义，则满足2230x x -++>， 即2
23(3)(1)0x x x x --=-+<，解得13x
，即函数的定义域为()1,3-，
令()2
23g x x x =-++，则函数()g x 表示开口向下，对称轴方程为1x =的抛物线， 所以函数()g x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减， 又由函数
13
log y x =在定义上是递减函数，
结合复数函数的单调性的判定方法，可得函数
2
13
()log 23y x x =-++的递增区间为[1,3). 故选：C. 【点睛】
函数单调性的判定方法与策略：
定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；
图象法：如果函数()f x 是以图象形式给出或函数()f x 的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间；
导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；
复合函数法：先将函数(())y f g x =分解为()y f t =和()t g x =，再讨论这两个函数的单
调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.
7．D
解析：D 【分析】
本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >，然后根据1a <以及1c >得出
c a >，即可得出结果.
【详解】 因为2log 3b =，42log 7log 7c ，函数2log y x =在()0,∞+上是增函数，
所以b c >，
因为0
12
11122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎝⎭
=⎭，44log 7log 41c ， 所以c a >， 综上所述，a c b <<， 故选：D. 【点睛】
指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.
8．A
解析：A 【分析】
求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a 的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案． 【详解】
由5+4x-x 2＞0，可得-1＜x ＜5， 函数t=5+4x-x 2的增区间为（-1，2），
要使f(x)＝log 0.3(5+4x−x 2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，
则11
12a a -≥-⎧⎨+≤⎩
，即0≤a≤1． 而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
9．A
解析：A
【分析】
由5
51112
,2332log -<<<，81
52
log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】
5
2
1122
43--<=<，11325551152532log log log =<<=，1
2881582log log >=， a b c ∴<<.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
10．A
解析：A 【分析】
根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212
(log )(log )2(1)
f a f f a ≤+转化为
2log 1a ≤进行求解即可.
【详解】
当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2
()2()-=+=f x x x f x ， ∴函数()f x 为偶函数，
∴222122
(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.
又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，
∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得1
22
a ≤≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
11．D
解析：D 【分析】
根据指数函数与对数函数的关系，以及函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，求得()ln g x x =-，再由()1g a =，即可求解. 【详解】
由题意，函数()y f x =与x
y e =互为反函数，所以()ln f x x =，
函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，所以()ln g x x =-， 又由()1g a =，即ln 1a -=，解得 1a e
= 故选D. 【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数()g x 的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．B
解析：B 【分析】
根据指数式与对数的互化公式，求得11
lg2,lg5a b
==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】
因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以
11
lg2,lg5a b
==， 则
11
lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
二、填空题
13．【分析】利用已知式两边同时取以e 为底的对数化简计算再利用换底公式代入计算即可【详解】正实数a 满足两边取对数得即故解得故故答案为：【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数化简计算 解析：716
-
【分析】
利用已知式两边同时取以e 为底的对数，化简计算ln a ，再利用换底公式ln 3
log 3ln a a
=代入计算即可. 【详解】
正实数a 满足8(9)a
a
a a =，两边取对数得8ln ln(9)a
a
a a =，即ln 8ln(9)a a a a =，
故()ln 8ln9ln a a =+，解得16ln ln 37
a =-，故ln 3ln 37
log 316ln 16ln 37
a a ===-
-.
故答案为：716
-. 【点睛】
本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数，化简计算得到ln a 的值，再结合换底公式即突破难点.
14．【分析】由复合函数的单调性只需求出的增区间即可【详解】令则由与复合而成因为在上单调递增且在上单调递增所以由复合函数的单调性知在上单调递增故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性对数函数的单调 解析：(]5,2--
【分析】
由复合函数的单调性，只需求出245t x x =--+的增区间即可. 【详解】
令245t x x =--+，
则()()
2
lg 45f x x x =--+由lg y t =与245t x x =--+复合而成，
因为lg y t =在(0,)t ∈+∞上单调递增，
且2
45(0)t x x t =--+>在(5,2]x ∈--上单调递增，
所以由复合函数的单调性知，()()
2
lg 45f x x x =--+在(5,2]x ∈--上单调递增.
故答案为：(]
5,2-- 【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.
15．【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：【点睛】本题
解析：5
2
【分析】
先画出函数图像并判断01m n <<<，再根据范围和函数单调性判断2x=m 时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】
如图所示：根据函数2()log x f x =的图象
得01m n <<<，所以201m m <<<．结合函数图象，
易知当2x=m 时()f x 在2
,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()22
2
log
2f m m
==
又01m <<，所以1
2
m =
， 再结合()()f m f n =，可得2n =，所以21522
m n +=+=. 故答案为：5
2
【点睛】
本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.
16．【分析】画出分段函数的图像根据图像结合解析式进行求解【详解】根据分段函数的解析式以及函数为奇函数作图如下：由图容易知因为在区间上关于对称且在区间上关于对称故其与直线的所有交点的横坐标之和为0故所有根 解析：21-
【分析】
画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】
根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：
由图容易知，因为31y x =--在区间[
)1,+∞上，关于3x =对称， 且31y x =---+在区间(]
,1-∞上，关于3x =-对称， 故其与直线1
2
y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1
()2
f x =
所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根， 此时()21
log 12
x +=
，解得21x =. 21.
【点睛】
本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.
17．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【详解】解：可得即：解得（舍去）可得经检验是方程的解故答案为：【点睛】本题考查方程的解的求法对数的运算法则的应用考查计算能力 解析：2
【分析】
直接利用对数的运算法则化简求解即可． 【详解】 解：
()()122log 44log 23x x x ++=+-
()()1222log 44log log 232x x x +∴+=+-
可得()()122log 44log 232x x x
++=-⎡⎤⎣⎦，
即：()
144232x x x
++=-，
()
2
23240x
x -⋅-=，解得21x =-（舍去）24x =，
可得2x =．经检验2x =是方程的解． 故答案为：2． 【点睛】
本题考查方程的解的求法，对数的运算法则的应用，考查计算能力．
18．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析：[)6,+∞
【分析】
由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+，得到2224x xy y xy ++，所以
2()4
x y xy +，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围．
【详解】 解：
正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，
22log (3)log x y xy ∴++=，
3x y xy ∴++=，
又2220x xy y -+，
所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++，
所以2
()4
x y xy +，
由3x y xy ++=得到2
()34
x y x y +++，
设x y a +=即2412a a +，
解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．
根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞． 故答案为：[)6,+∞． 【点睛】
本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．
19．【解析】由于对数函数y=lnx 在区间(0＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x 所以函数y ＝x2比函数y ＝xlnx 在区间(0＋∞)上增长较快填 解析：2y
x
【解析】
由于对数函数y=lnx 在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x ，所以函数y ＝x 2比函
数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快，填2
y x =.
20．【分析】利用换底公式化简即可【详解】设则故故答案为：【点睛】本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用属于中档题 解析：
n m
【分析】
利用换底公式化简即可. 【详解】
设()34,0m n
a m n ==≠,则34log ,log m a n a ==,
故344341
log 3log log log 31log 4log log a a a a n
a m a
=
===. 故答案为：n m
【点睛】
本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用,属于中档题.
三、解答题
21．（1）1-；（2）0a ≤；（3）存在，1m =-. 【分析】
（1）由(1)(1)f f -=得1k =-，再验证此时()f x 为偶函数；
（2）化简()g x ，换元，令2x t =化为关于t 的二次函数，分类讨论对称轴，求出最小值，结合已知最小值可解得结果. 【详解】
（1）因为函数()
2()log 41x
f x kx =++是偶函数，
所以(1)(1)f f -=，即()()12
2
log 41log 41k k -+-=++，即
2
25
2log log 54
k =-2=-， 解得1k =-；
当1k =-时，(
)
2()log 41x
f x x =+-，(
)2()log 4
1x
f x x --=++，
()()22()()log 41log 412x
x
f x f x x ---=+-+-241lo
g 241
x x x -+=-+2log 42x
x
=-220x x =-=，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，
所以1k =-符合题题.
（2）因为函数()y f x =的图像与直线y x a =+没有交点，
所以()2241()()log 412log 4x x
x
f x x a x a a ⎛⎫+-+=+--=- ⎪⎝⎭
21log 104x a ⎛
⎫=+-= ⎪⎝⎭无解，而21log 104x
⎛
⎫
+> ⎪⎝
⎭
，故0a ≤. （3）
()()221f x x x g x m +=+⋅-2log (4
1)221
x
x x
x m +-+=+⋅-()
2
41214222x
x
x
x
x x
m m m =++⋅-=+⋅=+⋅2
2(2)24
x
m m =+-
， 令2x t =，因为[]20,log 3x ∈，所以[1,3]t ∈，
令22()24
m m y t =+-，[1,3]
t ∈，
当12m -≤，即2m ≥-时，2
2()24
m m y t =+-单调递增，所以y 的最小值为10m +=，
解得1m =-；
当32m -≥，即6m ≤-时，2
2()24
m m y t =+-单调递减，所以y 的最小值为
2330m +=，解得3m =-（舍）；
当132m <-<，即62m -<<-时，y 的最小值为2
04
m
-=，解得0m =（舍）.
综上所述：1m =-. 【点睛】
关键点点睛：化简()g x ，换元，令2x t =化为关于t 的二次函数，利用二次函数知识求解
22．（1）()1
log 1m x f x x
+=-；（2）()f x 为奇函数，理由见解析；（3
）3m ≥+. 【分析】
（1）令21t x =-，采用换元法求解函数解析式；
（2）先确定函数的定义域，再由函数奇偶性的定义判断即可； （3）由条件可转化为()
1
1x m x x +=-在()0,1x ∈上有解问题即可.
【详解】
（1）令21t x =-，则21x t =+，则()()11
log log 211m m t t f t t t
++==-+-，
所以()1
log 1m x f x x
+=-； （2）由
101x
x
+>-得11x -<<， 又()()()11log log 11m
m x x
f x f x x x
---===---+，所以()f x 为定义域上的奇函数；
（3）由11
0x x -<<⎧⎨>⎩得01x <<，
又1log 1log log 1m
m m x x mx x +=+=-，1
1x mx x +=-在()0,1x ∈上有解， ()
11x m x x +=-，令()11,2u x =+∈，
2132323t m u u u u =
=≥=+-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，
当且仅当u =,
所以3m ≥+.
【点睛】 易错点睛：
（1）判断函数的奇偶性一定不要忘记先判断定义域是否关于原点对称； （2）利用基本不等式求解范围，一定要注意满足“一正二定三相等”的条件. 23．（1）11,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（2）奇函数；（3）分类讨论，答案见解析． 【分析】
（1）根据对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得()F x 的定义域. （2）通过()()F x F x -=-证得()F x 是奇函数.
（3）对a 进行分类讨论，结合对数型函数的单调性求得x 的取值范围.
（1）()log (31)log (13)a a F x x x =+--，310130
x x +>⎧⎨->⎩，解得：11
33x -<<，
所以()F x 的定义域为11,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）可知()F x 的定义域关于原点对称，
又()log (13)log (31)()a a F x x x F x -=--+=-，所以()F x 是奇函数，. （3）()()0f x g x ->，即log (31)log (13)a a x x +>-，
当1a >时，3101303113x x x x
+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩
，解得：1
03x <<，
当01a <<时，310
1303113x x x x
+>⎧⎪
->⎨⎪+<-⎩
，解得：103x -<<.
【点睛】
判断函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称性. 24．（1）()2x f x =；（2）[2,0]-；（3）17,12⎛⎤
-∞- ⎥⎝
⎦
． 【分析】
（1）根据(2)(1)6f f +=求解出a 的值，即可求解出()f x 的解析式；
（2）采用换元法构造函数2
(),[1,2]F t t t t =-∈，将m 的取值范围与()F t 的最值联系在
一起，由此求解出结果；
（3）先根据函数的奇偶性求解出()(),h x g x 的解析式，然后采用分离参数法得到
1222222x x x x a --⎡⎤≤--+⎢⎥-⎣⎦，采用换元法求解出1222222x
x x x --⎡⎤--+⎢⎥-⎣⎦的最大值，从而求解出a 的取值范围.
【详解】
（1）因为(2)(1)6f f +=，所以260,2a a a +-==或3a =-（舍去），所以
()2x f x =；
（2）由（1）知，()2x f x =，所以()2
22222x x x x
m =-=-，令2,[1,2]x
t t =∈，
令2
(),[1,2]F t t t t =-∈，所以()F t 的对称轴为1
2
t =
，且()F t 为开口向下的二次函数，所以()F t 在[]1,2上单调递减，
所以()()ma min x (2)2,(1)0F t F F t F -====，所以m 的取值范围为[2,0]-；
（3）因为()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，所以()(),()()g x g x h x h x -=--=．
由题()()()f x g x h x =+知，2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+-⎩，即2()()
2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+⎩
解得2222(),()22
x x x x
h x g x --+-==
将上式代入2()(2)0ag x h x +≤，得(
)()22122
2202
x x
x
x a ---+
+≤， 易知()2
2222212211222222222222x x
x x
x x x
x x x x x a -------++⎡⎤≤-
⋅
=-⋅=--+
⎢⎥---⎣⎦
． 令12,[1,2]2x x
t x =-
∈，则315,24t ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，122a t t ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭， 因为存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤，
所以max
1213217322212
2a t t ⎛⎫ ⎪⎡⎤
⎛⎫≤-
+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝
⎭
所以a 的取值范围是17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
． 【点睛】
方法点睛：不等式在指定区间上有解或恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；
（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的关系.
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x < 【分析】
（1）令0m n ==，代入等式，可求得()00=f ；
（2）令n m =-，代入等式，结合()00=f ，可得到()()f m f m -=-，从而可知
()y f x =是奇函数，然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数；
（3）原不等式可化为(
)()42
2x x
f f -<，结合函数()f x 的单调性，可得出
422x x -<，解不等式即可.
【详解】
（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f . （2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-， ∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，
∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数． 在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，
∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.
（3）原不等式可化为(
)()()()42
11112x
x
f f f f -<+=+=，
由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x
-<，即()()12022
x x
+<-，
∵210x +>，∴220x -<，解得1x <， 故原不等式的解集为{}|1x x <. 【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 26．(1)10；(2)3. 【分析】
（1）根据根式定义化根式为分数指数幂，再由幂的运算法则计算； （2）由对数运算法则计算． 【详解】
(1)解：原式()()
1323
12
0.4
10.5-=-+
1
321511218105222-⎛⎫
=-++=-++= ⎪⎝⎭
.
(2)解：原式2
322
lg5lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)3
=+
+++ 222lg52lg 22lg5lg 2(lg5)(lg 2)=++++ 22(lg5lg 2)(lg5lg 2)213=+++=+=.
【点睛】
本题考查根式与分数指数幂的互化，考查幂和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题关键．。