2021年四川省成都市四川师范大学实验外国语学校(高中部)高二数学理模拟试卷含解析

2021年四川省成都市四川师范大学实验外国语学校(高中部)高二数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数,（）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
参考答案：
C
.故选C. 2. 下列命题是真命题的为 ( )
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
参考答案：
A
3. 黑白两种颜色的正方形地砖依照如图的规律拼成若干个图形，现将一粒豆子随机撒在第10个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
4. 函数f（x）=x2﹣lnx的递减区间为（）
A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）
参考答案：
B
【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=x﹣=，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故函数f（x）在（0，1）递减，
故选：B．
5. 若则关于的不等式的解集是（）
ＡＢ
ＣＤ
参考答案：
C
6. 一个几何体的三视图和尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．60 B．84 C．96 D．120
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图还原原图形，可得原几何体是底面边长6的正四棱锥，且侧面斜高为5．然后由正方形面积及三角形面积公式求得该几何体的表面积．
【解答】解：由三视图还原原几何体，原几何体是底面边长6的正四棱锥，且侧面斜高为5．
∴该几何体的表面积为：
S=6×6+4×=96．
故选：C．
7. 设集合A={x|x2﹣3x＞0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）
A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（2，3）
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A、B，再求A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x＞0}={x|x＜0或x＞3}=（﹣∞，0）∪（3，+∞），
B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），
∴A∩B=（﹣2，0）．
故选：A．
8. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)为奇函数，则函数f(x)在区间上的值域是（）
A. B.(－2,2) C. D.
参考答案：
A
【分析】
根据对称轴之间距离可求得最小正周期，得到；利用平移变换得到，根据为奇函数可求得，从而可得到解析式；根据的范围求得的范围，从而可求得函数的值域.
【详解】由相邻两条对称轴之间的距离为，可知最小正周期为即：
向左平移个单位长度得：
为奇函数，
即：，
又
当时，
本题正确选项：
【点睛】本题考查余弦型函数的值域问题的求解，关键是能够根据函数的性质和图象平移变换的原则得到函数的解析式，进而可通过整体对应的方式，结合余弦函数的解析式求解出函数的值域.
9. 若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
10. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）
A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1
参考答案：
D
【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．
【分析】由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积
为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1．利用，即可求得椭圆方程．
【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上
∴
又∵
∴
∴a2=4b2
∴a2=20，b2=5
∴椭圆方程为： +=1
故选D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示的程序框图，输出的n的值是．
参考答案：
5 【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的n 的值，当n=5时，满足条件2n＞20，退出循环，输出n的值为5．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可得：
n=0，
执行循环体，n=1，
不满足条件2n＞20，执行循环体，n=2，
不满足条件2n＞20，执行循环体，n=3，
不满足条件2n＞20，执行循环体，n=4，
不满足条件2n＞20，执行循环体，n=5，
满足条件2n＞20，退出循环，输出n的值为5．
故答案为：5
12. 在平行六面体中，若两两所成的角都为，且它们的长都为，则
的长为．
参考答案：
略
13. 已知，，则__________．参考答案：
【分析】
由诱导公式化简，再利用二倍角公式求解即可即可求解
【详解】
由得2，则,则
当,解得(舍去)
故答案为
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,考查二倍角公式,熟记公式准确计算是关键,注意角的范围取舍函数值,是易错题
14. 已知曲线在点处的切线的斜率为8，则= ______ ．
参考答案：
略
15. 命题“，”的否定是．
参考答案：
对
略
16. 下表是关于新生婴儿的性别与出生时间段调查的列联表，那么，A= ，B= ，C= ，
D= 。

参考答案：
A=47, B=53
C=88, D=82
略
17. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若是一个直角三角形的三个
顶点，则点到轴的距离
为（）
A．B．C．或D．或
参考答案：
C
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线
相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）直线与轨迹相切于第一象限的点, 过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨
迹于异于点的点，求直线的方程及的长。

参考答案：
解（1）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为，则
，且———2分
可得．
由于圆C1在直线的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线的上方，所以有，从而得
，整理得，即为动圆圆心C的轨迹的方
程．
———5分
（2）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所
以直线PQ的方程为．由于该直线经过点A（0,6），所以有，得
．因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为
．———9分
把直线PQ的方程与轨迹的方程联立得，解得或4
———12分
略
19. 在中，角所对的边分别为,设为的面积，满足
.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
参考答案：
(Ⅰ)解：由题意可知ab sinC=,2ab cosC. 所以tan C=.因为0<C<，所以C=. （Ⅱ)解：由已知sin A+sin B=sin A+sin(-C-A)=sin A+sin(-A) =sin A+cos A+sin A =sin(A+)≤.
当△ABC为正三角形时取等号，所以sin A+sin B的最大值是.
20. （12分）（2013?怀化二模）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．参考答案：
【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．
【专题】综合题．
【分析】（I）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知，AC=2，故AO2+CO2=AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD．
（II）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所
成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．
（III）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，，故
=，由AO=1，知，由此能求出点E到平面ACD的距离．
【解答】（I）证明：连接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由题设知，AC=2，
∴AO2+CO2=AC2，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵AO⊥BD，BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（II）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，
知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在△OME中，，…（6分）
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴，…（7分）
∴，
∴异面直线AB与CD所成角大小的余弦为…（8分）
（III）解：设点E到平面ACD的距离为h．
…（9分）
在△ACD中，，
∴=，
∵AO=1，，
∴==，
∴点E到平面ACD的距离为．
【点评】本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．
21. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为
，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求圆心的极坐标；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．
参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为
ρ2=，把代入即可得出．
（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为
ρ2=，
把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．
∴圆心坐标为（1，﹣1），
∴圆心极坐标为；
（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，
∴圆心到直线l的距离，
∴|AB|=2==，
点P直线AB距离的最大值为，
．
22. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点．
（Ⅰ）证明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若BC=2BE=2AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．．
参考答案：
【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离．
【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量PE ，AF 的坐标，得到其数量积为0即可证明结论．
（Ⅱ）先根据条件求出D 的坐标以及，
的坐标，进而求出平面PDE 的法向量的坐标，再代入向
量的夹角计算公式即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．设AP=AB=2，BE=a 则A （0，0，0），B （0，2，0），P （0，0，2），F （0，1，1），E （a ，2，0） 于是，，
， 则
，
所以AF⊥PE．… （Ⅱ）若，则
，
，
=（2
，2，﹣2），
设平面PDE 的法向量为=（x ，y ，z ），
由，得：，令x=1，则
，
于是
，而
设直线AP 与平面PDE 所成角为θ，
则sinθ==．
∴直线AP 与平面PDE 所成角为60°．。