新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合的表示学案

第2课时集合的表示
教材要点
要点集合的表示方法
1．列举法
把集合中的元素____________出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做________．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有____________P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为________．
状元随笔
1．列举法表示集合时的4个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，\”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．( )
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合{x|x2＝1}与集合{－1，1}相等．( )
(4)集合{x|x＞3}与集合{t|t＞3}相等．( )
2．集合{x∈N|x－3＜2}用列举法表示是( )
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，4}
3．把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为( )
A．{1，3}B．{x|x＝1，x＝3}
C．{x2－4x＋3＝0}D．{x＝1，x＝3}
4．由大于2且小于100的实数组成的集合用描述法表示为________．
题型1 列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
方法归纳
用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么．是数，是点，还是其他元素．
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.
题型2 描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有非负整数构成的集合；
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
(4)集合{1，3，5，7，…}．
方法归纳
1．用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素．
2．若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
跟踪训练2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
题型3 集合表示方法的综合应用
角度1 用适当的方法表示集合
例3 用适当的方法表示下列集合
(1)被3除余1的自然数组成的集合；
(2)自然数的平方组成的集合；
(3)方程组{x +y =3x −y =1
的解集； (4)二次函数y ＝x 2
＋2x －10的图象上所有点的集合．
方法归纳
根据集合中元素所具有的属性选择适当的方法，列举法的特征是能清楚地展现集合的元素，通常用于元素个数较少的集合，当集合中元素个数较多或无限时，通常不宜采用列举法，应选择描述法．描述法形式简单，用于元素具有明显的共同特征的集合，当元素的共同特征不易寻找，或元素的限制条件较多时，则不宜采用描述法．
跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合：
(1)所有奇数组成的集合B；
(2)二次函数y＝x2的图象上所有点的纵坐标组成的集合；
(3)D＝{(x，y)|x＋y＝5，x∈N*，y∈N*}．
(4)构成英文单词mathematics的全体字母．
角度2 已知集合中元素个数求参数
例4 已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．
变式探究已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m 的取值范围．
方法归纳
1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点．
2．解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果，需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
跟踪训练4 已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
易错辨析混淆点集与数集致误
例5 用列举法表示集合正确的是( )
A．(－1，1)，(0，0) B．{(－1，1)，(0，0)}
C．{x＝－1或0，y＝1或0}D．{－1，0，1}
解析：解方程组{y=x 2，
y=−x 可得{x=−1，
y=1
或{x=0，
y=0.
故答案为{(－1，1)，(0，0)}．故
选B.
答案：B
易错警示
课堂十分钟
1．用列举法表示集合{x|x－2＜3，x∈N*}为( )
A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}
2．设集合A＝{－1，1，2}，集合B＝{x|x∈A且2－x∉A}，则B＝( ) A．{－1}B．{2}
C．{－1，2}D．{1，2}
3．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
4．若集合A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝________．
5．用另一种方法表示下列集合．
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x＜5且x∈Z}；
(4){(x，y)|x＋y＝6，x，y均为正整数}；
(5){－3，－1，1，3，5}．
第2课时集合的表示
新知初探·课前预习
要点
1．一一列举列举法
2．共同特征描述法
[基础自测]
1．(1)×(2)×(3)√(4)√
2．答案：D
3．答案：A
4．答案：{x∈R|2<x<100}
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合为{(0，1)}．
(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．
跟踪训练1 解析：(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}．
(3)由{y=x+2，
y=−2x+5，得{
x=1，
y=3，
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，所以D＝{(1，3)}．
例2 解析：(1)小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x |0≤x <10，x ∈Z }；
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x ||x |>3}；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的特征是横、纵坐标符号相反，因此，构成的集合用描述法可表示为{(x ，y )|xy <0}；
(4)集合{1，3，5，7，…}内的元素是全体正奇数，用描述法可表示为{x |x ＝2k －1，k ∈N ＋}．
跟踪训练2 解析：(1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N ＋.所以正偶数可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N ＋}．
(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．
(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．
例3 解析：(1)描述法：{x |x ＝3k ＋1，k ∈N }．
(2)列举法：{0，12，22，32，…}，也可用描述法：{x |x ＝n 2
，n ∈N }．
(3)列举法：{(2，1)}．
(4)描述法：{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．
跟踪训练3 解析：(1)描述法：B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }．
(2)描述法：{y |y ＝x 2}．
(3)列举法：{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
(4)列举法：{m ，a ，t ，h ，e ，i ，c ，s }．
例4 解析：①当m ＝0时，原方程为－2x ＋3＝0，x ＝32，符合题意；
②当m ≠0时，方程mx 2－2x ＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m ≤0，得m ≥13，即当m ≥13时，方程mx 2－2x ＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m ＝0或m ≥13. 变式探究 解析：A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素，由例题可知，当m ＝0或m ＝13时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－12m >0，即m <13且mA 中至少
有一个元素时，m 的取值范围为m ≤13.
跟踪训练4 解析：(1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，A ＝{2}；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x
＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}．综上所述，k＝0时，集合A＝{2}；k＝1时，集合A＝{4}．
[课堂十分钟]
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：D
4．答案：－4
5．答案：(1){－2，－1，0，1，2}；
(2){3，6，9}；
(3){0，1，2，3，4}；
(4){(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}；
(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．。