2021年高考数学的平面向量多选题附解析

2021年高考数学的平面向量多选题附解析
一、平面向量多选题
1．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且
AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ） A ．0AC BD ⋅=
B ．0OA OE ⋅=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712
【答案】BCD 【分析】
根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.
【详解】
由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅， ||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，
同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.
2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.
如图建立坐标系，30,2A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,4O ⎛ ⎝⎭
， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；
1323,,,2233AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，AC BD ⋅=12331=023236⨯--≠，故A 错误； 32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确；
1,63ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，12BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD.
【点睛】
如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b ⋅进行求解.
2．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A ．()a c b c a b c ⋅-⋅=-⋅
B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直
C ．a b a b -<-
D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-
【答案】ACD 【分析】 A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
【详解】
选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；
选项B ，()()()()
()()()()
0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误； 选项C ，∵a 与b 不共线， ∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；
选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD
【点睛】
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
3．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ）
A ．EG PG ⊥
B ．EG B
C ⊥ C ．//FG BC
D ．FG EF ⊥
【答案】ABD
【分析】
取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案.
【详解】
如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底，
则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233
PG PH a b a b ==⨯+=+， 1121111,3333333
EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-， 11113333
FG PG PF a b b a =-=+-=， 1121133
333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭， ∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；0FG EF ⋅=，D 正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.
4．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ）
A ．若a b ⊥，则0k =
B ．若//a b ，则1k =
C ．若a b >，则1k <
D ．若a b a b +=-，则a b ⊥ 【答案】AD
【分析】
先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式22224(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.
【详解】
解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误； 因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则22224(3)(4)3k k +>+，解得11k -<<，故选项C 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确.
故答案为：AD.
【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.
5．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ
B ．1233BP BA B
C =+ C ．0PA PC ⋅>
D ．4S =
【答案】BD 【分析】
利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D.
【详解】
由20PA PC +=，2QA QB =，
可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点，
且B 为AQ 的中点，如图所示：
对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点，
所以PB 与CQ 不平行，故A 错误；
对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+
=+-=+, 故B 正确； 对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误；
对于D ，设ABC 的高为h ，132ABC S
AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233
APQ S
AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD
【点睛】
本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题
6．下列说法中错误的为 （）
A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为a
D ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭
，则O 是ABC 的内心
【答案】AC
【分析】
对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C ，利用向量投影的定义即可判断；
对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+= ⎪⎝⎭
，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心.
【详解】
对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，
可得()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++，
即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+， 解得53λ>-
且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-
且0λ≠， 故A 不正确； 对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 124e e =，
∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；
对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误；
对于D ，AB CA
AB CA +表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，
由0AB CA OA AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+= ⎪⎝⎭
，可知OA 垂直于角A 的外角平分线， 所以，点O 在角A 的平分线上，
同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，
故点O 是ABC 的内心，D 正确. 故选：AC.
【点睛】
本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.
7．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A ．||||||a b a b ⋅≤
B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】AC
【分析】 根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.
【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，
可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53
λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=
所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53
λ>-
且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.
【点睛】 本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
8．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ）
A ．A
B B
C =
B ．AB B
C = C ．AB C
D AD BC -=+
D ．AD CD CD CB +=-
【答案】BCD 【分析】 由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】 菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；
因为AD CD BC CD BD +=+=， ||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ）
A ．a 为单位向量
B ．//b B
C C ．a b ⊥
D ．()6a b BC +⊥ 【答案】ABD
【分析】
求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()
6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于A 选项，
3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，
3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正
确； 对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=
⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()22
60a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.
10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个
【答案】BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，
设(,)B m n ，若10OA OB -=
22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，
得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．
当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．
若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。