天津市南开区2020年高二下数学期末考试试题含解析

天津市南开区2020年高二(下)数学期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去.”丙说：“是丁去了.”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 2．已知随机变量(6,1)X N ，且(57),(48)P X a P X b <<=<<=，则(47)P X <<= A ．2b a - B ．+2b a C ．12b - D ．12
a - 3．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．数列{}n a 满足()11n
n n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100 B ．-100 C ．-110 D ．110
5．设实数x ，y 满足约束条件202301x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
,则z x y =-的取值范围是（ ） A ．3[,3]2- B ．[1,3]- C ．3[,0]2- D ．[1,0]-
6．正弦函数是奇函数，()sin(1)f x x =+是正弦函数，因此()sin(1)f x x =+是奇函数，以上推理（ ） A ．结论正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．大前提、小前提、结论都不正确 7．已知11252f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，且()6f a =，则a 等于( ) A ．74 B ．74- C ．43 D ．43
- 8．函数121x y x -=
+在()1,0处的切线与直线l :y ax =垂直，则a =（） A ．-3 B ．3 C ．13
D ．13- 9．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是 ( )
A ．120
B ．120-
C ．100
D ．100-
10．若等比数列{}n a 的各项均为正数，23a =，23174a a a =，则5a =（ ）
A ．34
B ．38
C ．12
D ．24
11．已知函数()2
2ln 3f x x a x =++，若[)()1212,4,x x x x ∀∈+∞≠，[]2,3a ∃∈，()()21122f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是（ ）
A ．[)2,-+∞
B ．)5,2⎡-+∞⎢⎣
C ．9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．19,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
12．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）
A ．250x y ++=或250x y +-=
B
．20x y ++=
或20x y +-= C ．250x y -+=或250x y --= D
．20x y -+=
或20x y --=
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
cos 4sin ρθθ=，l 与C 交于,A B 两点，则AB =_______.
14．设等差数列{}n a 的公差为d ，若1234576,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =________．
15．已知随机变量2~(1,)N ξσ，且(1)0.1P ξ≤-=，(23)0.15P ξ≤≤=，则(02)P ξ≤≤=_______. 16．在ABC 中，已知1tan 2tan tan A B A
-=，则cos(2)A B -的值为________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．椭圆长轴右端点为A ，上顶点为M ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且21MF FA ⋅=
，离心率为2
. （1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l 交椭圆于P 、Q 两点，判断是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
18．近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有2300m 的坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天26m 的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积23m ，该部门需
支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x 名人员参与抢修，需要k 天完成抢修工作．
()1写出k 关于x 的函数关系式；
()2应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．
（总损失＝因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）
19．（6分）电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：
（1）求图中x 的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；
（2）若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为ξ，求ξ的数学期望和方差.
20．（6分）已知函数1()1()f x x a nx a R x =-
-∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)当517[]24
a ∈，时,记()f x 的极大值为M ,极小值为N ,求M N -的取值范围.
21．（6分）已知函数()2ln 1f x x ax x =-+-- . （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）函数()f x 在(2,4)上是减函数，求实数a 的取值范围.
22．（8分）已知函数()(1)(0,)x f x ax e x a R =->∈（e 为自然对数的底数）.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =时，()2f x kx >-恒成立，求整数k 的最大值.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．A
【解析】
【分析】
逐一假设成立，分析，可推出。

【详解】
若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.故选A.
【点睛】
本题考查合情推理，属于基础题。

2．B
【解析】
【分析】
根据正态分布的对称性即可得到答案.
【详解】 由于(47)(45)(57)22
b a b a P X P X P X a -+<<=<<+<<=
+=，故选B. 【点睛】
本题主要考查正态分布中概率的计算，难度不大.
3．B
【解析】
【分析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，
故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，
故选B ．
【点睛】
本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
4．B
【解析】
【分析】
数列{a n }满足1(1)n n n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．
【详解】
∵数列{a n }满足1(1)n n n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．
则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-
=-1．
故选：B ．
【点睛】 本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．A
【解析】
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=|x|﹣y 对应的直线进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化，即可得出z 的取值范围．
详解：作出实数x ，y 满足约束条件202301x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，
其中A （﹣1，﹣2），B （0，32
），O （0，0）． 设z=F （x ，y ）=|x|﹣y ，将直线l ：z=|x|﹣y 进行平移，
观察直线在y 轴上的截距变化，
当x ≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l 经过B 与O 点时，
取得最值z ∈[0，32
]， 当x ＜0时，直线是图形中的蓝色直线， 经过A 或B 时取得最值，z ∈[﹣
32，3] 综上所述，z ∈[﹣
32
，3]． 故答案为：A ．
点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法，考查学生分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是对x 分x≥0和x ＜0讨论，通过分类转化成常见的线性规划问题. 6．C
【解析】
分析：根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得到答案. 详解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；
小前提是：()()sin 1f x x =+是正弦函数，因为该函数()()sin 1f x x =+不是正弦函数，故错误； 结论：()()sin 1f x x =+是奇函数，，故错误.
故选：C.
点睛：本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式.
7．A
【解析】
【分析】
令256x -=，即可求出x ，由112a x =
-即可求出a 【详解】
令256x -=，得112x =，所以11117112224
a x =-=⨯-=，故选A 。

【点睛】
本题主要考查赋值法的应用。

8．A
【解析】
【分析】
先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得a 的值。

【详解】
''2
13()21(21)x y x x -==++ 11,3x y =∴='∴ 函数在（1，0）处的切线的斜率是13
， 所以，与此切线垂直的直线的斜率是3,-
3.a ∴=- 故选A.
【点睛】
本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．
9．B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：3x 的系数,由()512x -的3次项乘以2,和()5
12x -的2次项乘以x 的到,故含3x 的是()()3232355222120C x C x x x -⋅+-⋅=-,选B . 考点：二项式展开式的系数.
【方法点睛】
二项式展开式在高考中是一个常考点.两个式子乘积相关的二项式展开式,首先考虑的是两个因式相乘,每个项都要相互乘一次,这样3x 就可以分解成3x 乘以常数和2x 乘以一次项两种情况,最后将两种情况球出来
的系数求和.如()3
21x x ++要求5x 次方的系数,计算方法就是233C =,也就是说,有两个是取2x 的,剩下一个就是1x 的.
10．D
【解析】
【分析】
由23174a a a =，利用等比中项的性质，求出q ，利用等比数列的通项公式即可求出5a ．
【详解】
解：数列{}n a 是等比数列，各项均为正数，2231744a a a a ==，
所以22
4234a q a ==， 所以2q ．
所以33523224a a q =⋅=⨯=，
故选D ．
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于基础题．
11．D
【解析】
【分析】
根据题意将问题转化为()()112222f x mx f x mx +>+，记()()2g x f x mx =+，从而()g x 在()0,∞+上单调递增，从而()'0g x ≥在[)4,+∞上恒成立，利用分离参数法可得44
a m -≤+，结合题意可得max 44a m ⎛⎫-≤+ ⎪⎝
⎭即可. 【详解】
设12x x >，因为()()2112
2f x f x m x x -<-， 所以()()112222f x mx f x mx +>+.
记()()2g x f x mx =+，则()g x 在()0,∞+上单调递增，
故()'0g x ≥在[)4,+∞上恒成立，即2220a x m x +
+≥在[)4,+∞上恒成立， 整理得a m x x
-≤+在[)4,+∞上恒成立. 因为[]2,3a ∈，所以函数a y x x
=+在[)4,+∞上单调递增， 故有44
a m -≤+.因为[]2,3a ∃∈， 所以max 19444a m ⎛⎫-≤+= ⎪⎝
⎭，即194m ≥-. 故选：D
【点睛】
本题考查了导数在不等式恒成立中的应用、函数单调性的应用，属于中档题.
12．A
【解析】
设所求直线为20x y c =＋＋，
由直线与圆相切得，
=
解得5c =±．所以直线方程为250x y ＋＋＝或250x y ＋－＝．选A.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．8
【解析】
【分析】
将曲线C 极坐标方程化为化为直角坐标方程，将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到韦达定理的形式；利用12AB t t =-可求得结果.
【详解】
曲线2:cos 4sin C ρθθ=的直角坐标方程为：2
4x y =，
把直线,2:12x t l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入24x y =
得：280t --=，
12t t ∴+=128t t =-，则
128AB t t =-=
==.
故答案为：8.
【点睛】 本题考查极坐标与参数方程中的弦长问题的求解，涉及到极坐标化直角坐标，直线参数方程中参数的几何意义等知识的应用；关键是明确直线参数方程标准方程中参数t 的几何意义，利用几何意义知所求弦长为12AB t t =-.
14．12± 【解析】 由题意得2222222411[(3)(2)()0()(2)(3)]47x a d d d d d d d =∴=
-+-+-++++= ，因此12d =± 15．0.5
【解析】
【分析】
利用随机变量()2~1
N ξσ，，关于1x =对称，结合已知求出结果
【详解】 随机变量满足()2~1
N ξσ，，
∴图象关于1x =对称 ()10.1P ξ≤-=，()30.1P ξ∴≥=
则()()()120.5?
23?30.50.150.10.25P P P ξξξ≤≤=-≤≤-≥=--=
()020.5P ξ∴≤≤=
故答案为0.5
【点睛】
本题考查了正态分布，由正态分布的对称性即可计算出结果
16．0
【解析】
【分析】
通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案.
【详解】 由于1tan 2tan tan A B A
-=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1tan 2=1tan tan A A A B =--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以
sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案为0.
【点睛】
本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）2
212x y +=；（2）存在直线l ：43
y x =-满足要求. 【解析】
【分析】
（1）由条件布列关于a ，b 的方程组，即可得到椭圆的标准方程；
（2）由F 为MPQ ∆的垂心可知MF PQ ⊥，利用韦达定理表示此条件即可得到结果.
【详解】
解：（1）设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，半焦距为c . 则(),0A a 、()0,M b 、,0)F
c （、(),MF c b =-、(),0FA a c =-
由=2-1MF FA ⋅，即2ac c -=，又c a =，222a b c =+ 解得2221
a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆的方程为2
212x y += （2）F 为MPQ ∆的垂心，MF PQ ∴⊥
又()0,1M ，()1,0F
1MF K ∴=-，1PQ K ∴=
设直线PQ ：y x m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 将直线方程代入2
212
x y +=，得223+4220x mx m +-= 1243m x x +=-，212223
m x x -⋅= ()()
22
412220m m ∆=-->，m <<1m ≠
又PF MQ ⊥，()111,PF x y =--，()22,1MQ x y =- 2121210x x x y y y ∴--+=，即212121))20m x x x x m m -⋅+-+-=（（
由韦达定理得：2340m m +-= 解之得：43
m =-或1m =（舍去） ∴存在直线l ：43
y x =-使F 为MPQ ∆的垂心. 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
18．（1）100,3,2k x x N x =
≥∈-（2）应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小 【解析】
【分析】
（1）由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得33006kx k =+，所以100,3,2
k x x N x *=≥∈-； （2）损失包＝渗水直接经济损失+抢修服装补贴费+劳务费耗材费，即可得到函数解析式，再利用基本不等式，即可得到结果．
【详解】
()1由题意，可得33006kx k =+，所以100,3,2
k x x N x =≥∈-． ()2设总损失为y 元，则()()3003006600150150y k x kx =++++
()24000012120060022
x x =+-+
-121200212000145200≥+⨯= 当且仅当()24000060022x x -=-，即22x =时，等号成立， 所以应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小．
【点睛】
本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中认真审题是关键，以及合理运用函数与不等式方程思想的有机结合，及基本不等式的应用是解答的关键，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
19． (1) 0.004x =，14000人(2) ()37E ξ=，
()9.62D ξ= 【解析】
【分析】
()1由频率分布直方图计算出频率，然后用样本估计总体
()2计算出消费金额在7000到9000的概率，然后计算ξ的数学期望和方差
【详解】
（1）()10.0120.0560.0180.01010
0.00410x -+++⨯==
消费金额不低于8000元的频率为()0.0180.010100.28+⨯=，
所以共500000.2814000⨯=人.
（2）从购物者中任意抽取1人，消费金额在7000到9000的概率为()0.0560.018100.74+⨯=， 所以()~50,0.74B ξ，
∴()500.7437E ξ=⨯=
∴()500.740.269.62D ξ=⨯⨯=.
【点睛】
本题结合频率分布直方图用样本估计总体，并计算相应值得数学期望和方差，只要运用公式即可得到结果，较为基础．
20．（1）见解析（2）15[523,172]2
ln ln --
【解析】 【试题分析】（1）先对函数()11x x a nx x =-- 求导得到()221'x ax f x x
-+=，再对参数a 分两类进行讨论：2a ≤时，2120x ax x ax +-≥-≥恒成立，即()'0f x ≥ 恒成立，()f x 在区间()0,+∞上单调递
增；2a >时，()'0f x = 有两根，记12x x ==则120x x <<，由()0'0
x f x >⎧⎨>⎩得2010
x x ax >⎧⎨-+>⎩，解得10x x <<或2x x > ，所以递增区间是()()120,,,x x +∞，递减区间是()12,x x ；（2）先借助（1）的结论求出()()12,M f x N f x ==，进而转化为求
11221211ln ln M N x a x x a x x x -=---++的值域，又1212,1x x a x x +=⋅=， 所以11111111111111ln ln M N x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111122ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ，然后构造函数()1122ln g t t t t t t ⎛
⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，求导可得()221111'2121ln 2g t t t t t t t
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()21'21ln g t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，所以当()0,1t ∈时，()'0g t <，即()g t 在()0,1t ∈时单调递减，由212424
a a x a a --==+-，当517,24a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1x 递减，又52a =时，112x =，174a =时，114x =，所以11142x ≤≤，所以()11124g g x g ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后求出M N -的取值范围是15523,1722ln ln ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
． 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞ ，()22
1'x ax f x x -+=， （一）2a ≤时，2120x ax x ax +-≥-≥恒成立，即()'0f x ≥ 恒成立，()f x 在区间()0,+∞上单调
递增；（二）2a >时，()'0f x = 有两根，记221244,22
a a a a x x --+-==，则120x x <<， 由()
0'0x f x >⎧⎨>⎩得2010x x ax >⎧⎨-+>⎩，解得10x x <<或2x x > ， 所以递增区间是()()120,,,x x +∞，递减区间是()12,x x ．
（2）当517,24a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，由（1）得()()12,M f x N f x ==， 所以11221211ln ln M N x a x x a x x x -=-
--++，又1212,1x x a x x +=⋅=， 所以
11111111111111ln ln M N x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-
-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111122ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 记()1122ln g t t t t t t ⎛
⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()221111'2121ln 2g t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()21'21ln g t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，所以当()0,1t ∈时，()'0g t <，即()g t 在()0,1t ∈时单调递减， 由21244
a a x a a --==+-517,24a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1x 递减，
又52a =时，112x =，174a =时，114x =，所以11142x ≤≤，所以()11124g g x g ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以M N -的取值范围是15523,1722ln ln ⎡
⎤--
⎢⎥⎣⎦． 点睛：解答本题的第一问时，先对函数()11x x a nx x =-- 求导得到()221'x ax f x x
-+=，再对参数a 分两类进行讨论：即分2a ≤和2a >两种情形进行讨论；（2）先借助（1）的结论求出()()12,M f x N f x ==，进而转化为求112212
11ln ln M N x a x x a x x x -=---++的值域，又1212,1x x a x x +=⋅=，所以11111111111111ln ln M N x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-
-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111122ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，然后构造函数()1122ln g t t t t t t ⎛
⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，运用导数与函数单调性的关系判定出函数单调性，进而得到
()11124g g x g ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后求出M N -的取值范围是15523,1722ln ln ⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦． 21． (1)减区间为（0，
12），（1，+∞），增区间为（12，1）；(2) 9(,].2
-∞ 【解析】 分析：（1）求导得()2231x x f x x
'-+=-，得到减区间为（0，12），（1，+∞），增区间为（12，1）； （2）()120f x x a x =-+-
≤'，在x∈（2，4）上恒成立，等价于()122,4x a x x
+≥∈在上恒成立，即可求出实数a 的取值范围. 详解：（1）()12f x x a x
-'=+- ()212313,23;x x a f x x x x
-+==-+-=-'时 212310,1,2
x x x x -+>><解得或 函数()f x 的定义域为（0，+∞），在区间（0，
12），（1，+∞）上f ′（x ）＜0. 函数()f x 为减函数；在区间（12
，1）上f ′（x ）＞0. 函数()f x 为增函数. （2）函数()f x 在（2，4）上是减函数，则()120f x x a x =-+-
≤'，在x∈（2，4）上恒成立. ()112022,4.x a x a x x x
-+-
≤⇔+≥∈在上恒成立 ()()()2112,'20,2,4,g x x g x x x x =+=->∈令则
()()122,4.g x x x
=+函数在上为增函数 ()1922.22
g x ∴>⨯+= ∴实数a 的取值范围9,.2∞⎛⎤- ⎥⎝
⎦ 点睛：本题考查导数的综合应用．导数的基本应用就是判断函数的单调性，()'0f x >，单调递增，()'0f x <，单调递减．当函数含参时，则一般采取分离参数法，转化为已知函数的最值问题，利用导数求解. 22． (1)见解析；(2) k 的最大值为1.
【解析】
【分析】
（1）根据a 的不同范围，判断导函数的符号，从而得到()f x 的单调性；（2）方法一：构造新函数()()2g x f x kx =-+，通过讨论k 的范围，判断()f x 单调性，从而确定结果；方法二：利用分离变量法，把问题变为()min k h x <，求解函数最小值得到结果.
【详解】
（1）()()()1,0,x f x ax e x a R =->∈ ()()1x f x ax a e ⎡⎤⇒=--⎣⎦'
当1a ≥时，()0f x '≥ ()f x ⇒在()0,∞+上递增；
当01a <<时，令()0f x '=，解得：1a x a
-= ()f x ⇒在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递增； 当0a ≤时，()0f x '≤ ()f x ⇒在()0,∞+上递减
（2）由题意得：()()1x
f x x e =- 即()12x
x e kx ->-对于0x >恒成立 方法一、令()()()120x g x x e kx x =--+≥，则()()0x
g x xe k x =-≥' 当0k ≤时，()0g x '≥ ()g x ⇒在()0,∞+上递增，且()010g =>，符合题意；
当0k >时，()()1x
g x x e '=+' 0x ⇒≥时，()g x '单调递增 则存在00x >，使得()0000x g x x e k '=-=，且()g x 在(]00,x 上递减，在[
)0,x +∞上递增 ()()()0000min 120x g x g x x e kx ⇒==--+>
000120x k kx x -∴⋅-+> 00211k x x ⇒<⎛⎫+- ⎪⎝
⎭ 由00
12x x +≥得：02k << 又k Z ∈ ⇒整数k 的最大值为1
另一方面，1k =
时，11022
g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，()110g e '=-> 01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()002
1,211x x ∈⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 1k ∴=时成立
方法二、原不等式等价于：()()120x x e k x x
-+<>恒成立 令()()()120x x e h x x x -+=> ()()()2212
0x x x e h x x x +-⇒'-=>
令()()()2120x t x x x e x =-+->，则()()10x
t x x x e '=+> ()t x ∴在()0,∞+上递增，又()10t >
，1202t ⎛⎫=< ⎪⎝⎭ ∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()()
20000120x h x t x x x e ==-+-=' 且()h x 在(]00,x 上递减，在[
)0,x +∞上递增 ()()0min 00
2
11h x h x x x ∴==+- 又01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001311,2x x ⎛⎫⇒+-∈ ⎪⎝⎭ ()04,23h x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
2k ∴< 又k Z ∈，整数k 的最大值为1
【点睛】
本题主要考查导数在函数单调性中的应用，以及导数当中的恒成立问题.处理恒成立问题一方面可以构造新函数，通过研究新函数的单调性，求解出范围；另一方面也可以采用分离变量的方式，得到参数与新函数的大小关系，最终确定结果.。