课程：2014-2015学年浙江省宁波七中九年级(上)月考数学试卷(10月份)

2014-2015学年浙江省宁波七中九年级（上）月考数学试卷（10
月份）
一、选择题
1．（4分）（2016春•福州校级期末）抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣2的顶点坐标是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣3，﹣2）
2．（4分）（2013•泸州校级一模）若x：y=6：5，则下列等式中不正确的是（）A．B．C．D．
3．（4分）（2012•洪山区校级模拟）从1到9这9个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（）
A．B．C．D．
4．（4分）（2014秋•江东区校级月考）由二次函数y=2x2﹣12x+20，可知正确的是（）A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为2 D．当x≤3时，y随x的增大而增大
5．（4分）（2014秋•江东区校级月考）要使△ACD∽△ABC，需要补充的条件是（）
A．B．C．D．
6．（4分）（2007•仙桃）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（）
A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1
7．（4分）（2009•新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
A． B．C．D．
8．（4分）（2014秋•江东区校级月考）鄞州区有两大美丽的公园，分别是鄞州公园和鄞州湿地公园，两大公园的占地面积约达800000平方米，若按比例尺1：2000缩小后的面积大约相当于（）
A．一个篮球场的面积 B．一个乒乓球台的面积
C．《数学》课本封面的面积D．《宁波日报》一个版面的面积
9．（4分）（2012•杭州模拟）已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，则a、b
的大小比较为（）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定
10．（4分）（2015秋•苍南县校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
11．（4分）（2010•威海）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是（）
A．B．C．D．
12．（4分）（2014秋•江东区校级月考）如图，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D 作直线分别交AB，AC于点E，F，若AE=AF，BE=4，CF=2，则EF的长为（）
A．8 B．6 C．2D．4
二、填空题
13．（4分）（2014秋•江东区校级月考）线段2和6的比例中项是．
14．（4分）（2014秋•句容市校级期末）任意抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币一个正面朝上，一个反面朝上的概率是．
15．（4分）（2014秋•江东区校级月考）如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移l个单位，同时向下平移4个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是．
16．（4分）（2014秋•江东区校级月考）如图，点D是△ABC的边BC上一点，已知AC=3，CD=，∠DAC=∠B，则BD的长为．
17．（4分）（2014秋•江东区校级月考）已知一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3，在二
次函数y=x2+bx﹣3的图象上有三点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3），则y1、y2、y3从
大小关系是．（请用＜连接）
18．（4分）（2014秋•江东区校级月考）根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，求出代数式（a+b+c）（+）的值为．
x 3 5 7
y=ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.03 5
三、解答题
19．（6分）（2014秋•江东区校级月考）已知a：b：c=2：3：5，且3a+2b﹣c=﹣21，求下列各式的值：
（1）；
（2）a+b﹣2c．
20．（8分）（2014秋•江东区校级月考）已知一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中3个白球，2个黑球．
（1）求从中随机抽取出两个球均是黑球的概率是多少？（用树状图或列表法求解）
（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机抽出一个白球的概率是，求
y与x之间的函数关系式．
21．（8分）（2009•贵港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E是AB的中点，且CE⊥DE．
（1）请你判断△ADE与△BEC是否相似，并说明理由；
（2）若AD=1，BC=2，求AB的长．
22．（10分）（2012•德州校级模拟）在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园的面积为y（m2）
（1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围．
（2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？
23．（10分）（2014秋•江东区校级月考）如图，在5×5的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）
（1）在图1网格中作出和△ABC有一个公共角∠B且与△ABC相似，但不全等的所有格点三角形．
（2）在网格中若格点三角形△DEF和△ABC相似，设△DEF与△ABC的相似比为k，则满足条件的k的值为（直接填空）
24．（10分）（2014秋•江东区校级月考）如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（2，3），与x轴交于点A（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连结BC、OC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△OBC相似？若存在点P，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）（2014秋•江东区校级月考）定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
如图①：直角三角形可以通过作斜边上的高把直角三角形分割成较小的三角形都与它相似，直角三角形是自相似图形．
解决问题：
（1）任意三角形都是自相似图形．请你在图②中完成分割，并作必要的标注．
（2）对于有一底角为60°，上、下底的比为1：2等腰梯形也是自相似图形，请你在图③中完成分割，并作必要的标注．
（3）现有一个矩形长AD=a，宽AB=b（a＞b）是自相似图形．
①若分割成两块全等矩形，那么原矩形的长和宽应满足怎样的关系？
②若一次纵向分割成n块全等矩形，那么原矩形的长和宽应满足怎样的关系？
③如果要分割出纵向m块全等矩形和横向n块全等矩形，则原矩形的长a和宽b又应满足怎样的关系？直接写出答案．（用含b，m、n的代数式表示a）
26．（14分）（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）
和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P 作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）请直接写出点D的坐标：；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年浙江省宁波七中九年级（上）月考数学试
卷（10月份）
参考答案与题库解析
一、选择题
1．（4分）（2016春•福州校级期末）抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣2的顶点坐标是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣3，﹣2）
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【解答】解：y=﹣（x﹣3）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，﹣2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
2．（4分）（2013•泸州校级一模）若x：y=6：5，则下列等式中不正确的是（）A．B．C．D．
【分析】根据比例设x=6k，y=5k，然后分别代入对各选项进行计算即可判断．
【解答】解：∵x：y=6：5，
∴设x=6k，y=5k，
A、==，故本选项错误；
B、==，故本选项错误；
C、==6，故本选项错误；
D、==﹣5，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k”法表示出x、y可以使计算更加简便．
3．（4分）（2012•洪山区校级模拟）从1到9这9个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，其中是2的倍数或是3的倍数的有2，3，4，6，8，9共计6个．
【解答】解：从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，是2的倍数或是3的倍数的有6个结果，因而概率是．
故选C．
【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．正确写出是2的倍数或是3的倍数的数有哪些是本题解决的关键．
4．（4分）（2014秋•江东区校级月考）由二次函数y=2x2﹣12x+20，可知正确的是（）A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为2 D．当x≤3时，y随x的增大而增大
【分析】先把解析式配成顶点式y=2（x﹣3）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：y=2x2﹣12x+20=2（x﹣3）2+2，
所以抛物线开口向上，对称轴为直线x=3；当x=3时，函数有最小值2；当x＞3时，y随x 的增大而增大．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x ＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
5．（4分）（2014秋•江东区校级月考）要使△ACD∽△ABC，需要补充的条件是（）
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的性质，因为∠A是公共角，必需AC2=AB•AD，故D正确．【解答】解：要使△ACD∽△ABC，且∠A=∠A，
必需：，即AC2=AB•AD，
故A、B、C错误，D正确．
故选D．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．
6．（4分）（2007•仙桃）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（）
A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是﹣3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=﹣1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（﹣3，0），
又图象开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
【点评】主要考查了二次函数图象的对称性．要会利用对称轴和与x轴的一个交点坐标求与x轴的另一个交点坐标．
7．（4分）（2009•新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
A． B．C．D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，
∴AC：BC：AB=：2：=1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
8．（4分）（2014秋•江东区校级月考）鄞州区有两大美丽的公园，分别是鄞州公园和鄞州湿地公园，两大公园的占地面积约达800000平方米，若按比例尺1：2000缩小后的面积大约相当于（）
A．一个篮球场的面积 B．一个乒乓球台的面积
C．《数学》课本封面的面积D．《宁波日报》一个版面的面积
【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式求解即可．
【解答】解：设其缩小后的面积为xm2，
则x：800000=（1：2000）2，
x=0.2m2，其面积相当于报纸的一个版面的面积，
故选D．
【点评】本题考查了数学常识，理解比例尺的概念，进行正确计算．能够正确估计图形的面积，和生活中的物体联系起来．
9．（4分）（2012•杭州模拟）已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，则a、b
的大小比较为（）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定
【分析】根据二次函数y=a（x﹣1）2﹣b（a≠0）有最小值，得出a的符号和b的值，即可比较出a，b的大小．
【解答】解：∵二次函数y=a（x﹣1）2﹣b有最小值，
∴a＞0，b=﹣，
∴a＞b．
故选A．
【点评】此题考查了二次函数的最值，关键是通过二次函数的顶点式和二次函数的性质得出a的符号和b的值，是一道好题．
10．（4分）（2015秋•苍南县校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
【分析】根据平行四边形性质得出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，推出△DEF∽△BAF，求出=（）2=，==，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出===，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∵DE：CE=2：3，
∴DE：AB=2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴=（）2=，==，
∴===（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故选C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
11．（4分）（2010•威海）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】根据几何概率的定义，分别求出两圆中2所占的面积，即可求出针头扎在阴影区域内的概率．
【解答】解：指针指向（1）中2的概率是，指针指向（2）中2的概率是，
指针所指区域内的数字之和为4的概率是×=．
故选B．
【点评】此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．
12．（4分）（2014秋•江东区校级月考）如图，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D 作直线分别交AB，AC于点E，F，若AE=AF，BE=4，CF=2，则EF的长为（）
A．8 B．6 C．2D．4
【分析】利用三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，证明∠5=∠3，∠1=∠6，即可证明△BED∽△DFC．然后根据相似三角形的对应边的比相等求得．
【解答】解：∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠2+∠7+∠4=180°，∠5+∠6+∠7=180°，
∴∠2+∠4=∠5+∠6，即∠1+∠3=∠5+∠6，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠1+∠5=∠3+∠6，
∴∠5=∠3，∠1=∠6，
∴△BED∽△CED，
∴=，
连接AD，则DE=DF，
则ED2=CF•BE=2×4=8，
则ED=2．
∴EF=2ED=4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确证明∠5=∠3，∠1=∠6是关键．
二、填空题
13．（4分）（2014秋•江东区校级月考）线段2和6的比例中项是．
【分析】可设比例中项是x，根据比例中项的概念，得x2=2×6，则x可求出来．
【解答】解：设比例中项是x，
∵x是2和6的比例中项，
∴x2=2×6=12，
解得x=±2（负值舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算．
14．（4分）（2014秋•句容市校级期末）任意抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币一个正面朝上，一个反面朝上的概率是．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两枚硬币一个正面朝上，一个反面朝上的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
正反
正（正，正）（反，正）
反（正，反）（反，反）
所有等可能的情况有4种，其中一个正面朝上，一个反面朝上的情况有2种，
则P==，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）（2014秋•江东区校级月考）如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移l个单位，同时向下平移4个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，得：y=2（x+1）2﹣1，
再向下平移4个单位，得：y=2（x+1）2﹣1﹣4，即y=2（x+1）2﹣5．
故答案为y=2（x+1）2﹣5．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
16．（4分）（2014秋•江东区校级月考）如图，点D是△ABC的边BC上一点，已知AC=3，CD=，∠DAC=∠B，则BD的长为．
【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质：相似三角新的对应边的比相等即可求得BC的长，根据BD=BC﹣CD求解．
【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴=，即=，
解得：BC=，
则BD=BC﹣CD=﹣=．
故答案是：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角新的对应边的比相等，证明△ACD∽△BCA是关键．
17．（4分）（2014秋•江东区校级月考）已知一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3，在二次函数y=x2+bx﹣3的图象上有三点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3），则y1、y2、y3从
大小关系是．（请用＜连接）
【分析】先根据一元二次方程解的定义计算出b=2，则二次函数解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，然后分别把三个点的坐标代入计算出y
1、y
2、y3的值，然后比较大小．
【解答】解：把x=﹣3代入x2+bx﹣3=0得9﹣3b﹣3=0，解得b=2，
所以二次函数解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
当x=﹣时，y1=（x+1）2﹣4=﹣4；当x=﹣时，y2=（x+1）2﹣4=﹣4；当x=时，
y3=（x+1）2﹣4=﹣4，
所以y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．18．（4分）（2014秋•江东区校级月考）根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，求出代数式（a+b+c）（+）的值为．
x 3 5 7
y=ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.03 5
【分析】首先根据表格数据得可得二次函数的对称轴是x==4，进而得到：﹣=4，则﹣=8，再根据对称轴和当x=7时，y=5，可得当x=1时，y=5，进而可得答案．
【解答】解：根据表格可得：此二次函数的对称轴是x==4，则：﹣=4，
∵当x=7时，y=5，
∴当x=1时，y=5，
（a+b+c）（+）=（a+b+c）•（﹣）=5×8=40，
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象是轴对称图形．
三、解答题
19．（6分）（2014秋•江东区校级月考）已知a：b：c=2：3：5，且3a+2b﹣c=﹣21，求下列各式的值：
（1）；
（2）a+b﹣2c．
【分析】（1）首先利用已知设a=2x，b=3x，c=5x，进而求出答案；
（2）利用已知得出a，b，c的值，进而求出即可．
【解答】解：（1）∵a：b：c=2：3：5，
∴设a=2x，b=3x，c=5x，
∴==﹣；
（2）∵3a+2b﹣c=﹣21，设a=2x，b=3x，c=5x，
∴6x+6x﹣5x=﹣21，
解得：x=﹣3，
∴a=﹣6，b=﹣9，c=﹣15，
∴a+b﹣2c=15．
【点评】此题主要考查了比例的性质，利用同一未知数表示出a，b，c是解题关键．
20．（8分）（2014秋•江东区校级月考）已知一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中3个白球，2个黑球．
（1）求从中随机抽取出两个球均是黑球的概率是多少？（用树状图或列表法求解）
（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机抽出一个白球的概率是，求
y与x之间的函数关系式．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽取出两个球均是黑球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）根据题意，直接利用概率公式求解可得：=，继而求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，从中随机抽取出两个球均是黑球的有2种情况，
∴从中随机抽取出两个球均是黑球的概率是：=；
（2）根据题意得：=，
∴4（3+x）=5+x+y，
∴y与x之间的函数关系式为：y=3x+7．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）（2009•贵港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E是AB的中点，且CE⊥DE．
（1）请你判断△ADE与△BEC是否相似，并说明理由；
（2）若AD=1，BC=2，求AB的长．
【分析】根据相似三角形的判定方法及已知可判定其相似，再根据相似三角形的边对应成比例即可求得AB的长．
【解答】解：（1）△ADE∽△BEC．理由如下：
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°．
又∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=∠AED+∠ADE．
∴∠BEC=∠ADE．
∴△ADE∽△BEC．
（2）∵△ADE∽△BEC，
∴AD：BE=AE：BC．
∵AD=1，BC=2，E是AB的中点，
∴1：AB=AB：2．
∴AB=2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质的运用．
22．（10分）（2012•德州校级模拟）在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园的面积为y（m2）
（1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围．
（2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？
【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的BC边长为x（m），可得AB=，然后
根据矩形面积的求解方法，即可求得y与x之间的函数关系式，又由墙长15m，即可求得自变量的x的范围．
（2）根据（1）中的二次函数的增减性，可知当x＜20时，y随x的增大而增大，故可得当x=15时，y最大，将其代入函数解析式，即可求得最大面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵BC=xm，AB+BC+CD=40m，
∴AB=，
∴花园的面积为：y=x•=﹣x2+20x（0＜x≤15）；
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x2+20x（0＜x≤15）；
（2）∵y=﹣x2+20x=﹣（x﹣20）2+200，
∵a=﹣＜0，
∴当x＜20时，y随x的增大而增大，
∴当x=15时，y最大，最大值y=187.5m2．
∴当x取15时花园的面积最大，最大面积为187.5m2．
【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，然后根据二次函数的性质求解．
23．（10分）（2014秋•江东区校级月考）如图，在5×5的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）
（1）在图1网格中作出和△ABC有一个公共角∠B且与△ABC相似，但不全等的所有格点三角形．
（2）在网格中若格点三角形△DEF和△ABC相似，设△DEF与△ABC的相似比为k，则满足条件的k的值为（直接填空）
【分析】（1）先求出三角形三边的长，再分别扩大倍、2倍、倍得到新三角形的三边长，画出三角形即可；
（2）利用网格计算得出符合题意的k的值．
【解答】解：（1）如图1所示：△BCM与△BMN为所求三角形；
（2）在网格中若格点三角形△DEF和△ABC相似，
设△DEF与△ABC的相似比为k，则满足条件的k的值为：1，，2，，．
故答案为：1，，2，，．
【点评】此题主要考查了相似图形的画法，确定三角形的边长后再画图形是解题关键．
24．（10分）（2014秋•江东区校级月考）如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（2，3），与x轴交于点A（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连结BC、OC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△OBC相似？若存在点P，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）求得B（5，0），如图，设对称轴与x轴交点为D，则CD=BD=3，得到∠DCB=∠DBC=45°求得BC=3设P（2，t），①当△PCB∽△OBC时，则=1，求得t=﹣2得到P（2，﹣2）；②当△BCP∽△OBC时，列比例式求得t=﹣，即可得到P（2，﹣）．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（2，3），
∴设二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）2+3，将（﹣1，0）点代入得：a=﹣，
故二次函数的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+3
∴y=﹣x2+x；
（2）存在，
在y=﹣x2+x中，令y=0，则﹣x2+x=0，解得：x1=﹣1，x2=5，
∴B（5，0），
∵抛物线的对称轴方程为：x=2，
如图，设对称轴与x轴交点为D，则CD=BD=3，
∴∠DCB=∠DBC=45°
∴BC=3
设P（2，t），
①当△PCB∽△OBC时，则=1，
∴PC=OB，即3﹣t=5，
∴t=﹣2，∴P（2，﹣2）；
②当△BCP∽△OBC时，则，即，
∴t=﹣，
∴P（2，﹣），
综上所述：存在点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△OBC相似，点P的坐标为（2，﹣2），（2，﹣）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，找准三角形相似是解题的关键．
25．（12分）（2014秋•江东区校级月考）定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
如图①：直角三角形可以通过作斜边上的高把直角三角形分割成较小的三角形都与它相似，直角三角形是自相似图形．
解决问题：
（1）任意三角形都是自相似图形．请你在图②中完成分割，并作必要的标注．
（2）对于有一底角为60°，上、下底的比为1：2等腰梯形也是自相似图形，请你在图③中完成分割，并作必要的标注．
（3）现有一个矩形长AD=a，宽AB=b（a＞b）是自相似图形．
①若分割成两块全等矩形，那么原矩形的长和宽应满足怎样的关系？
②若一次纵向分割成n块全等矩形，那么原矩形的长和宽应满足怎样的关系？
③如果要分割出纵向m块全等矩形和横向n块全等矩形，则原矩形的长a和宽b又应满足怎样的关系？直接写出答案．（用含b，m、n的代数式表示a）
【分析】（1）作△ABC三边的中位线分割成的较小的三角形都与它相似，
（2）在等腰梯形内部作4个全等的等腰梯形即可；
（3）①根据矩形ABEF∽矩形FECD，得出AF：AB=AB：AD，再把a、b代入整理即可，②根据每个小矩形都是全等的，得出边长为b和a，再根据b：a=a：b进行整理即可，
③先求出DN=b，根据矩形FMND∽矩形ABCD，得出FD：DN=AD：AB，求出AF=a ﹣a，得出AG=a，根据矩形GABH∽矩形ABCD，得出AG：AB=AB：AD，再代入得出a=b；根据矩形DFMN∽矩形ABCD，得出FD：DN=AB：AD求出FD=，得出AG=，根据矩形GABH∽矩形ABCD，得出AG：AB=AB：AD，再代入得出a=b．
【解答】解：（1）如图：作△ABC三边的中位线即可；
（2）根据题意画图如下：
（3）①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即a：b=b：a，
∴a=b；
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b：a=a：b，
∴a=b；
③a=b或a=b；
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN=b，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD：b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD：b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣，
∴AG===
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
答：如果要分割出纵向m块全等矩形和横向n块全等矩形，则原矩形的长a和宽b又应满足a=b或a=b．
【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似多边形的判定与性质、中位线、自相似图形，关键是根据有关定义画出图形，做出相似多边形．
26．（14分）（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）
和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P 作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）请直接写出点D的坐标：；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；
（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；
（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．
【解答】解：（1）（﹣3，4）；
（2）设PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
∴l=﹣+=﹣（t﹣）2+
∴当t=时，l有最大值
即P为AO中点时，OE的最大值为；
（3）存在．
①点P点在y轴左侧时，DE交AB于点G，
P点的坐标为（﹣4，0），
∴PA=OP﹣AO=4﹣3=1，
由△PAD≌△EOP得OE=PA=1
∵△ADG∽△OEG
∴AG：GO=AD：OE=4：1
∴AG==
∴重叠部分的面积==
②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），
此时重叠部分的面积为
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．。